数据结构与算法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

图论

握手引理
Σ deg(v) = 2|E|
完全图
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正则图
|E| = n·k/2
树与森林
|E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉
回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
Kn 中的哈密顿回路
(n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径
(Mᴸ)ij

方法

  1. 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
  2. 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
  3. 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
  4. 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
  5. 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

2练习题

1.算法与复杂度中等

Floyd–Warshall 算法计算什么？速度如何？

  1. A以 O(V³) 计算所有顶点对之间的最短路径
  2. B以 O(V + E) 计算从一个源顶点到所有其他顶点的最短路径
  3. C以 O(V²) 计算拓扑序
  4. D以 O(E log V) 计算最小生成树
2.算法与复杂度困难

要证明一个新问题 X 是 NP 难（NP-hard）的，必须做什么？

  1. A把一个已知的 NP 难问题在多项式时间内归约到 X
  2. B把 X 在多项式时间内归约到一个已知的 NP 难问题
  3. C证明 X 对于小规模输入没有多项式算法
  4. D证明 X 能在多项式时间内被验证
3.数据结构中等

如果按已排序的顺序插入键，含 n 个节点的二叉搜索树在最坏情况下的高度是多少？

  1. An（退化为链表）
  2. B1
  3. Clog₂ n
  4. D√n
4.数据结构困难

在使用开放寻址法的哈希表中，为什么删除操作常用"墓碑"（tombstone）标记？

  1. A墓碑可以加快哈希计算
  2. B清空槽位可能会破坏其他键的探测序列
  3. C它能使表变得有序
  4. D出于安全考虑，被删除的键必须永久保留，因此槽位永远不能重用
5.图论中等

一个连通图有 6 个顶点和 8 条边。必须去掉多少条边 k 才能剩下一棵生成树？

|V| = 6|E| = 8
k =
6.图论困难
ABCDEF

从 B 到 C 的长度为 3 的途径有多少条？途径可以重复顶点和边。把这个数记作 N。

M = 邻接矩阵L = 3
N =

3溶液

1.算法与复杂度

答案: A · 以 O(V³) 计算所有顶点对之间的最短路径

为什么是这个答案

Floyd–Warshall 是一种动态规划算法，依次允许每个顶点作为中间点，耗时 O(V³)。

答案

A · 以 O(V³) 计算所有顶点对之间的最短路径
2.算法与复杂度

答案: A · 把一个已知的 NP 难问题在多项式时间内归约到 X

为什么是这个答案

如果一个已知的难题能被高效地转换为 X，那么 X 的快速算法也能解决这个已知问题。

答案

A · 把一个已知的 NP 难问题在多项式时间内归约到 X
3.数据结构

答案: A · n（退化为链表）

为什么是这个答案

有序插入会生成高度为 n 的退化树，使查找变为 O(n)。平衡树可以避免这种情况。

答案

A · n（退化为链表）
4.数据结构

答案: B · 清空槽位可能会破坏其他键的探测序列

为什么是这个答案

如果被删除的槽位变为空，之后的查找可能会提前停止，从而漏掉探测链中更靠后的键。

答案

B · 清空槽位可能会破坏其他键的探测序列
5.图论

答案: k = 3

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

生成树的边数

6 − 1 = 5

要去掉的边数

k = 8 − 5 = 3

答案

k = 3
6.图论

答案: N = 7

度：顶点的度是与它相连的边的条数。每条边有两个端点，所以度数之和等于边数的两倍：Σ deg(v) = 2|E|（握手引理）。因此奇度顶点的个数是偶数。Kn 有 n(n − 1)/2 条边，n 个顶点的 k-正则图有 nk/2 条边，n 个顶点的树有 n − 1 条边。

邻接矩阵

A: 0 1 1 0 0 0
B: 1 0 1 1 1 0
C: 1 1 0 0 1 0
D: 0 1 0 0 1 1
E: 0 1 1 1 0 0
F: 0 0 0 1 0 0

再走一步

(M³)BC = 1·1 + 4·1 + 2·0 + 1·0 + 2·1 + 1·0 = 7

答案

N = 7

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