数据结构与算法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

图论

握手引理
Σ deg(v) = 2|E|
完全图
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正则图
|E| = n·k/2
树与森林
|E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉
回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
Kn 中的哈密顿回路
(n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径
(Mᴸ)ij

方法

  1. 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
  2. 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
  3. 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
  4. 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
  5. 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

2练习题

1.算法与复杂度中等

一个问题具有最优子结构是什么意思？

  1. A最优解可以由其子问题的最优解构造出来
  2. B该问题可以在常数时间内求解
  3. C该问题恰好有一个最优解，所有子问题共享这个解
  4. D每个子问题的规模都相同
2.算法与复杂度困难

取一个极大匹配中每条边的两个端点，可以得到一个顶点覆盖。这个覆盖有多好？

  1. A至多是最小顶点覆盖大小的两倍
  2. B与最优解相比质量未知
  3. C至多是最小值的 log n 倍
  4. D总是一个最小顶点覆盖
3.数据结构中等

一棵二叉树的根为 1，左子节点为 2，右子节点为 3；节点 2 的子节点为 4（左）和 5（右）。前序遍历的结果是什么？

  1. A1 2 3 4 5
  2. B1 2 4 5 3
  3. C4 2 5 1 3
  4. D4 5 2 3 1
4.数据结构困难

伸展树（splay tree）在每次访问之后做什么？

  1. A对查找路径上的节点重新着色
  2. B把被访问的节点移到叶子
  3. C把整棵树重建成平衡形式
  4. D通过旋转把被访问的节点移到根
5.图论中等

一个连通图有 8 个顶点和 18 条边。必须去掉多少条边 k 才能剩下一棵生成树？

|V| = 8|E| = 18
k =
6.图论困难
109141431011512ABCDEFG

用迪杰斯特拉算法求带权图中从 A 到 F 的最短路径的长度 d(F)。

起点：A终点：F
d(F) =

3溶液

1.算法与复杂度

答案: A · 最优解可以由其子问题的最优解构造出来

为什么是这个答案

贪心算法和动态规划要得出正确答案，都需要问题具有最优子结构。

答案

A · 最优解可以由其子问题的最优解构造出来
2.算法与复杂度

答案: A · 至多是最小顶点覆盖大小的两倍

为什么是这个答案

匹配边之间没有公共顶点，因此最优解对每条边至少需要一个顶点，而这种方法取了两个：这是一个 2-近似算法。

答案

A · 至多是最小顶点覆盖大小的两倍
3.数据结构

答案: B · 1 2 4 5 3

为什么是这个答案

前序遍历先访问 1，然后是其左子树（2、4、5），最后是 3；其他选项分别是中序、后序和层序遍历。

答案

B · 1 2 4 5 3
4.数据结构

答案: D · 通过旋转把被访问的节点移到根

为什么是这个答案

伸展操作通过旋转把被访问的节点移到根；单次操作可能代价为 O(n)，但均摊代价为 O(log n)。

答案

D · 通过旋转把被访问的节点移到根
5.图论

答案: k = 11

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

生成树的边数

8 − 1 = 7

要去掉的边数

k = 18 − 7 = 11

答案

k = 11
6.图论

答案: d(F) = 18

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

迪杰斯特拉算法逐轮过程

每一行：被确定的顶点、它的最终距离，以及距离得到改进的邻点。

A (0): B: 10, C: 9
C (9): E: 23, G: 14
B (10)
G (14): D: 15, E: 16
D (15): F: 18
E (16)
F (18)

最短路径

A → C → G → D → F
d(F) = 18

答案

d(F) = 18

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