数据结构与算法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。

新题目返回课程

在打印窗口中选择“另存为 PDF”，即可在设备上保存一份副本。

1公式与方法

图论

握手引理: Σ deg(v) = 2|E|
完全图: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
正则图: |E| = n·k/2
树与森林: |E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉: 回路：所有顶点度数为偶数；通路：恰有 2 个奇度顶点
K_n 中的哈密顿回路: (n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径: (Mᴸ)_ij

方法

写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

2练习题

1.算法与复杂度中等

递推式 T(n) = T(n − 1) + O(n) 的解是什么？

AO(2ⁿ)
BO(n²)
CO(n log n)
DO(n)

2.算法与复杂度困难

停机问题（halting problem）表明：

A每个程序最终都会停机
B应当避免使用循环
C不存在一种算法能对所有程序和输入判定其是否会停机
D有些程序在更快的计算机上运行得更快，所以是否停机取决于硬件

3.数据结构中等

在从下标 0 开始存储于数组中的二叉堆里，下标为 i 的节点的父节点在哪里？

A下标 ⌊(i − 1) / 2⌋
B下标 i − 1
C下标 ⌊i / 2⌋ + 1
D下标 2i + 1

4.数据结构困难

采用按秩合并（union by rank）和路径压缩（path compression）的并查集（union-find，不相交集合），每次操作的均摊代价为：

A恰好 O(log n)
BO(n²)
CO(α(n))，即反阿克曼函数，实际上可视为常数
DO(n)

5.图论中等

这个连通图有欧拉回路、有不是回路的欧拉通路，还是两者都没有？点选你的答案。

|V| = 7|E| = 8

1欧拉回路
2有欧拉通路，无回路
3都不是

6.图论困难

从 C 到 E 的长度为 3 的途径有多少条？途径可以重复顶点和边。把这个数记作 N。

M = 邻接矩阵L = 3

N =

3溶液

1.算法与复杂度

答案: B · O(n²)

为什么是这个答案

工作量之和约为 n² / 2，这是选择排序的递推式，也是基准最差时快速排序的递推式。

答案

B · O(n²)

2.算法与复杂度

答案: C · 不存在一种算法能对所有程序和输入判定其是否会停机

为什么是这个答案

Turing 证明了停机问题是不可判定的（undecidable）：假设存在判定器，就会与一个做相反行为的程序产生矛盾。

答案

C · 不存在一种算法能对所有程序和输入判定其是否会停机

3.数据结构

答案: A · 下标 ⌊(i − 1) / 2⌋

为什么是这个答案

i 的子节点位于 2i + 1 和 2i + 2，因此 i 的父节点位于 ⌊(i − 1) / 2⌋；若下标从 1 开始，则为 ⌊i / 2⌋。

答案

A · 下标 ⌊(i − 1) / 2⌋

4.数据结构

答案: C · O(α(n))，即反阿克曼函数，实际上可视为常数

为什么是这个答案

同时使用两种优化后，操作的均摊时间为 O(α(n))；对于任何实际的 n，α(n) ≤ 4。

答案

C · O(α(n))，即反阿克曼函数，实际上可视为常数

5.图论

答案: 有欧拉通路，无回路

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；K_n 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

度

deg(A) = 1, deg(B) = 2, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 4, deg(F) = 1, deg(G) = 4

奇度顶点

A, F → 2

有欧拉通路，无回路

答案

有欧拉通路，无回路

欧拉通路从一个奇度顶点出发，在另一个奇度顶点结束。

6.图论

答案: N = 8

度：顶点的度是与它相连的边的条数。每条边有两个端点，所以度数之和等于边数的两倍：Σ deg(v) = 2|E|（握手引理）。因此奇度顶点的个数是偶数。K_n 有 n(n − 1)/2 条边，n 个顶点的 k-正则图有 nk/2 条边，n 个顶点的树有 n − 1 条边。

邻接矩阵

A: 0 1 1 0 0 0

B: 1 0 1 1 1 0

C: 1 1 0 0 1 0

D: 0 1 0 0 1 1

E: 0 1 1 1 0 1

F: 0 0 0 1 1 0

再走一步

(M³)_CE = 1·0 + 2·1 + 3·1 + 2·1 + 1·0 + 1·1 = 8

答案

N = 8

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms