数据结构与算法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

图论

握手引理
Σ deg(v) = 2|E|
完全图
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正则图
|E| = n·k/2
树与森林
|E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉
回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
Kn 中的哈密顿回路
(n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径
(Mᴸ)ij

方法

  1. 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
  2. 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
  3. 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
  4. 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
  5. 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

2练习题

1.算法与复杂度中等

对 n 个 k 进制、d 位的整数进行 LSD 基数排序（radix sort），运行时间是多少？

  1. AO(d(n + k))
  2. BO(n log n)
  3. CO(dn log k)
  4. DO(n²)
2.算法与复杂度困难

用自底向上的方法从 n 个无序元素构建二叉堆的时间复杂度是多少？

  1. AO(n²)
  2. BO(n)
  3. CO(log n)
  4. DO(n log n)
3.数据结构中等

AVL 树和红黑树保证：

  1. A没有节点拥有两个子节点
  2. B键按插入顺序存储
  3. C在任何情况下查找都是常数时间
  4. D通过再平衡使高度为 O(log n)
4.数据结构困难

哪种数据结构可以支持 get 和 put 均为 O(1) 的 LRU（最近最少使用）缓存？

  1. A单个有序数组
  2. B仅栈
  3. C哈希表与双向链表相结合
  4. D仅二叉搜索树
5.图论中等

一棵树有 2 个度为 3 的顶点，其余所有顶点都是叶子（度为 1）。它有多少片叶子 L？

2 × deg 3
L =
6.图论困难
146215752149ABCDEFG

用迪杰斯特拉算法求带权图中从 A 到 F 的最短路径的长度 d(F)。

起点：A终点：F
d(F) =

3溶液

1.算法与复杂度

答案: A · O(d(n + k))

为什么是这个答案

d 趟中的每一趟都是代价为 O(n + k) 的计数排序，因此当 d 和 k 固定时，总时间关于 n 是线性的。

答案

A · O(d(n + k))
2.算法与复杂度

答案: B · O(n)

为什么是这个答案

对各层的下沉代价求和得到一个收敛级数，因此建堆（heapify）在线性时间内完成。

答案

B · O(n)
3.数据结构

答案: D · 通过再平衡使高度为 O(log n)

为什么是这个答案

自平衡树使高度保持对数级，因此查找、插入和删除在最坏情况下都是 O(log n)。

答案

D · 通过再平衡使高度为 O(log n)
4.数据结构

答案: C · 哈希表与双向链表相结合

为什么是这个答案

哈希表在 O(1) 内找到节点，双向链表在 O(1) 内将被访问的元素移到前端，并从尾部淘汰元素。

答案

C · 哈希表与双向链表相结合
5.图论

答案: L = 4

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

树的握手引理

L + 6 = 2(L + 2) − 2
L = 4

答案

L = 4

捷径：L = 2 + Σ (d − 2)，对度 d ≥ 3 的顶点求和。

6.图论

答案: d(F) = 23

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

迪杰斯特拉算法逐轮过程

每一行：被确定的顶点、它的最终距离，以及距离得到改进的邻点。

A (0): B: 14
B (14): C: 20, D: 16, G: 16
D (16): E: 31, F: 23
G (16): E: 25
C (20)
F (23)
E (25)

最短路径

A → B → D → F
d(F) = 23

答案

d(F) = 23

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