数据结构与算法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

图论

握手引理
Σ deg(v) = 2|E|
完全图
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正则图
|E| = n·k/2
树与森林
|E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉
回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
Kn 中的哈密顿回路
(n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径
(Mᴸ)ij

方法

  1. 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
  2. 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
  3. 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
  4. 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
  5. 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

2练习题

1.算法与复杂度中等

对 n 个 k 进制、d 位的整数进行 LSD 基数排序（radix sort），运行时间是多少？

  1. AO(d(n + k))
  2. BO(dn log k)
  3. CO(n²)
  4. DO(n log n)
2.算法与复杂度困难

一次加一操作可能翻转许多位，那么二进制计数器加一的均摊代价是多少？

  1. A每次加一 O(log n)
  2. B每次加一 O(1)
  3. C每次加一 O(n)
  4. D每次加一 O(n log n)
3.数据结构中等

后缀表达式 3 4 + 2 * 的值是多少？

  1. A14
  2. B11
  3. C10
  4. D24
4.数据结构困难

如何只用 O(1) 的额外内存检测一个单链表中是否有环？

  1. A把每个访问过的节点存入一个哈希集合
  2. B让一个指针每次走一步，另一个每次走两步，检查它们是否相遇
  3. C对链表排序并寻找重复元素
  4. D计数节点，直到计数超过链表的长度字段
5.图论中等

一个连通图有 20 个顶点和 29 条边。必须去掉多少条边 k 才能剩下一棵生成树？

|V| = 20|E| = 29
k =
6.图论困难
ABCDEF

从 D 到 C 的长度为 2 的途径有多少条？途径可以重复顶点和边。把这个数记作 N。

M = 邻接矩阵L = 2
N =

3溶液

1.算法与复杂度

答案: A · O(d(n + k))

为什么是这个答案

d 趟中的每一趟都是代价为 O(n + k) 的计数排序，因此当 d 和 k 固定时，总时间关于 n 是线性的。

答案

A · O(d(n + k))
2.算法与复杂度

答案: B · 每次加一 O(1)

为什么是这个答案

在 n 次加一中，第 i 位大约翻转 n / 2ⁱ 次，因此总翻转次数少于 2n，平均每次为 O(1)。

答案

B · 每次加一 O(1)
3.数据结构

答案: A · 14

为什么是这个答案

压入 3 和 4，+ 得到 7；压入 2，* 得到 7 × 2 = 14。

答案

A · 14
4.数据结构

答案: B · 让一个指针每次走一步，另一个每次走两步，检查它们是否相遇

为什么是这个答案

在 Floyd 算法中，如果有环，快指针最终会追上慢指针；否则快指针会到达 null。

答案

B · 让一个指针每次走一步，另一个每次走两步，检查它们是否相遇
5.图论

答案: k = 10

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

生成树的边数

20 − 1 = 19

要去掉的边数

k = 29 − 19 = 10

答案

k = 10
6.图论

答案: N = 1

度：顶点的度是与它相连的边的条数。每条边有两个端点，所以度数之和等于边数的两倍：Σ deg(v) = 2|E|（握手引理）。因此奇度顶点的个数是偶数。Kn 有 n(n − 1)/2 条边，n 个顶点的 k-正则图有 nk/2 条边，n 个顶点的树有 n − 1 条边。

邻接矩阵

A: 0 0 1 0 0 0
B: 0 0 0 1 1 0
C: 1 0 0 0 1 0
D: 0 1 0 0 1 1
E: 0 1 1 1 0 1
F: 0 0 0 1 1 0

公共邻点

(M²)DC = 0·1 + 1·0 + 0·0 + 0·0 + 1·1 + 1·0 = 1

答案

N = 1

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