数据结构与算法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

图论

握手引理
Σ deg(v) = 2|E|
完全图
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正则图
|E| = n·k/2
树与森林
|E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉
回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
Kn 中的哈密顿回路
(n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径
(Mᴸ)ij

方法

  1. 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
  2. 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
  3. 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
  4. 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
  5. 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

2练习题

1.算法与复杂度中等

对 n 个 k 进制、d 位的整数进行 LSD 基数排序（radix sort），运行时间是多少？

  1. AO(n²)
  2. BO(n log n)
  3. CO(d(n + k))
  4. DO(dn log k)
2.算法与复杂度困难

不可判定问题与难解问题有什么区别？

  1. A难解问题无法被任何算法求解，而不可判定问题只需要指数时间
  2. B不可判定问题属于 NP，而难解问题属于 P
  3. C两者都意味着该问题根本没有算法
  4. D不可判定问题没有任何能处理所有输入的算法，而难解问题有算法，但太慢
3.数据结构中等

对于有 V 个顶点、E 条边的图，邻接表占用多少内存？

  1. AO(V × E)
  2. BO(V²)
  3. CO(E²)
  4. DO(V + E)
4.数据结构困难

如何只用 O(1) 的额外内存检测一个单链表中是否有环？

  1. A计数节点，直到计数超过链表的长度字段
  2. B对链表排序并寻找重复元素
  3. C把每个访问过的节点存入一个哈希集合
  4. D让一个指针每次走一步，另一个每次走两步，检查它们是否相遇
5.图论中等

一个连通图有 6 个顶点和 13 条边。必须去掉多少条边 k 才能剩下一棵生成树？

|V| = 6|E| = 13
k =
6.图论困难
161732197141ABCDEF

克鲁斯卡尔算法构造最小生成树。点选它加入的第 5 条边；被跳过的边不计。

k = 5
  1. 1边 AB
  2. 2边 AC
  3. 3边 BC
  4. 4边 BD
  5. 5边 CE
  6. 6边 DE
  7. 7边 EF
  8. 8边 BE

3溶液

1.算法与复杂度

答案: C · O(d(n + k))

为什么是这个答案

d 趟中的每一趟都是代价为 O(n + k) 的计数排序，因此当 d 和 k 固定时，总时间关于 n 是线性的。

答案

C · O(d(n + k))
2.算法与复杂度

答案: D · 不可判定问题没有任何能处理所有输入的算法，而难解问题有算法，但太慢

为什么是这个答案

停机问题根本没有算法；TSP 这样的 NP 难问题可以用蛮力法求解，只是没有已知的多项式时间算法。

答案

D · 不可判定问题没有任何能处理所有输入的算法，而难解问题有算法，但太慢
3.数据结构

答案: D · O(V + E)

为什么是这个答案

每个顶点有一个列表，每条边出现一次（有向图）或两次（无向图），因此为 O(V + E)。

答案

D · O(V + E)
4.数据结构

答案: D · 让一个指针每次走一步，另一个每次走两步，检查它们是否相遇

为什么是这个答案

在 Floyd 算法中，如果有环，快指针最终会追上慢指针；否则快指针会到达 null。

答案

D · 让一个指针每次走一步，另一个每次走两步，检查它们是否相遇
5.图论

答案: k = 8

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

生成树的边数

6 − 1 = 5

要去掉的边数

k = 13 − 5 = 8

答案

k = 8
6.图论

答案: 边 AB

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

克鲁斯卡尔算法

1. BE (1)
2. BD (2)
3. BC (3)
4. EF (14)
5. AB (16)

边的序号 5

AB

答案

边 AB

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