离散数学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

命题逻辑与证明

真值表的行数: 2ⁿ
蕴涵: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
蕴涵的否定: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
双条件: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
德摩根律: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
分配律: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
量词的否定: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
肯定前件，否定后件: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

方法

数一数不同变量的个数：真值表有 2ⁿ 行，从全为 1 的一行开始。
给每个子公式单独一列，由内向外逐列填写。
按各联结词的规则计算：→ 只有在 1 → 0 时为 0，↔ 在两边相同时为 1。
判断等价时，逐行比较最后一列；判断论证时，只看所有前提都为 1 的那些行。
否定带量词的命题时，把 ¬ 移到内部，交换 ∀ 和 ∃，并否定内部的公式。

集合、关系与函数

两个集合: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|
三个集合: |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|
差集与补集: A − B = A ∩ B′, |A′| = |U| − |A|
幂集与乘积集: |𝒫(A)| = 2^|A|, |A × B| = |A|·|B|
大小为 k 的子集: C(n, k) = n!/(k!(n − k)!)
函数 A → B: nᵐ; injective n!/(n − m)!; surjective Σ (−1)ᵏ C(n, k)(n − k)ᵐ
n 个元素上的关系: 2^n²; reflexive 2^{n² − n}; symmetric 2^n(n+1)/2
复合: (g ∘ f)(x) = g(f(x))

方法

画出维恩图，逐个区域判断它是否属于该集合表达式。
对于计数问题，从中心向外填写各区域：先是所有集合的交，再是两两的交，然后是单个集合，最后是外部。
用容斥原理进行检验：|A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|。
对于关系，对每一对元素检验各个性质，不成立时给出一个反例。
对于函数，数一数到达 B 中每个元素的箭头：至多一个表示单射，至少一个表示满射。

图论

握手引理: Σ deg(v) = 2|E|
完全图: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
正则图: |E| = n·k/2
树与森林: |E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉: 回路：所有顶点度数为偶数；通路：恰有 2 个奇度顶点
K_n 中的哈密顿回路: (n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径: (Mᴸ)_ij

方法

写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

数论与模运算

带余除法: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
欧几里得: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
最小公倍数: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
逆矩阵: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
线性同余方程: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
欧拉函数: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
费马: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

方法

先把每个数对 n 取模；余数在 0 到 n − 1 之间。
求最大公约数时，用欧几里得算法反复做除法；最后一个非零余数就是最大公约数。
求逆元时，运行扩展算法并保留 a 的系数；若为负数则加上 n。
解 a·x ≡ b 时，两边乘以 a⁻¹；合并两个同余式时，写成 x = r₁ + m₁k。
求幂时，把指数写成二进制并反复平方；在 RSA 中，d = e⁻¹ mod φ(n)，其中 φ(n) = (p − 1)(q − 1)。

2练习题

1.命题逻辑与证明中等

哪个公式与 p ∧ (q ∨ r) 在逻辑上等价？点选它。

p ∧ (q ∨ r)

1p ∨ (q ∧ r)
2(p ∧ q) ∨ r
3(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
4(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)

2.命题逻辑与证明困难

前提为 c → b; ¬c、结论为 ¬b 的论证是无效的。点选真值表中作为反例的那一行。

c → b¬c∴ ¬b

1b = 1, c = 1
2b = 1, c = 0
3b = 0, c = 1
4b = 0, c = 0

3.集合、关系与函数中等

R = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (3, 1), (3, 4), (4, 3)} 是 {1, 2, 3, 4} 上的关系。要使 R 对称，至少要添加多少个有序对 k？

R = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (3, 1), (3, 4), (4, 3)}

k =

4.集合、关系与函数困难

若 |A| = |B| = 5，从 A 到 B 的双射 f: A → B 有多少个？把这个数记作 N。

|A| = 5|B| = 5

N =

5.图论中等

一棵树有 2 个度为 3 的顶点, 4 个度为 5 的顶点, 3 个度为 2 的顶点，其余所有顶点都是叶子（度为 1）。它有多少片叶子 L？

2 × deg 34 × deg 53 × deg 2

L =

6.图论困难

用迪杰斯特拉算法求带权图中从 A 到 F 的最短路径的长度 d(F)。

起点：A终点：F

d(F) =

7.数论与模运算中等

求欧拉函数 φ(77)，即 1 到 77 中与 77 互素的整数个数。

n = 77 = 7·11

φ(77) =

8.数论与模运算困难

19 是素数。用费马小定理求 3⁸²⁷³¹ mod 19。

p = 19k = 82731

3⁸²⁷³¹ mod 19 =

3溶液

1.命题逻辑与证明

答案: (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)

逻辑等价：两个公式在真值表的每一行取值都相同时，它们是等价（≡）的。重言式在每一行都为 1，矛盾式在每一行都为 0，偶然式则两者都不是。常用定律：德摩根律，¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b 和 ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b；a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a（逆否命题）；¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b；以及分配律，a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)。

定律

∧ 对 ∨ 有分配律：a ∧ (b ∨ c) ≡ (a ∧ b) ∨ (a ∧ c)。

p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)

用真值表检验

p = 1, q = 1, r = 1: 1 | 1 1 1 1

p = 1, q = 1, r = 0: 1 | 1 1 1 1

p = 1, q = 0, r = 1: 1 | 1 1 1 1

p = 1, q = 0, r = 0: 0 | 1 0 0 1

p = 0, q = 1, r = 1: 0 | 1 1 0 1

p = 0, q = 1, r = 0: 0 | 0 0 0 0

p = 0, q = 0, r = 1: 0 | 0 1 0 0

p = 0, q = 0, r = 0: 0 | 0 0 0 0

答案

(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)

竖线之后的各列是按所示顺序排列的各个选项。

2.命题逻辑与证明

答案: b = 1, c = 0

量词与论证：¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x)，¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)。把否定向内移动，交换它经过的每个量词，并用命题逻辑的定律否定内部的公式，例如 ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b。当所有前提为 1 的每一行中结论也为 1 时，论证是有效的。只要有一行前提为真而结论为假，它就是反例，说明论证无效。

逐行列出前提与结论

b = 1, c = 1: 1 0 | 0

b = 1, c = 0: 1 1 | 0

b = 0, c = 1: 0 0 | 1

b = 0, c = 0: 1 1 | 1

反例

b = 1, c = 0

答案

b = 1, c = 0

这种形式的论证看起来像有效的规则，但只要有一行就足以说明它并不有效。

3.集合、关系与函数

答案: k = 2

关系：集合 X 上的关系 R 是由有序对 (x, y) 组成的集合。若对 X 中每个 x 都有 (x, x) ∈ R，则 R 是自反的；若 (x, y) ∈ R 时总有 (y, x) ∈ R，则是对称的；若 (x, y) 和 (y, x) 同时属于 R 仅当 x = y，则是反对称的；若 R 中的 (x, y) 和 (y, z) 必然导出 (x, z) ∈ R，则是传递的。等价关系是自反、对称且传递的，它把 X 分成互不相交的类。

要添加的序对

{(2, 1), (4, 1)}

计数

k = 2

答案

k = 2

4.集合、关系与函数

答案: N = 120

函数与计数：函数 f: A → B 使 A 中每个元素在 B 中恰有一个像。不同元素有不同的像时 f 是单射（一一映射），B 中每个元素都是像时是满射（映上），两者都成立时是双射。当 |A| = m，|B| = n 时，共有 nᵐ 个函数，n!/(n − m)! 个单射（m ≤ n），以及由容斥原理得到的 Σ (−1)ᵏ·C(n, k)·(n − k)ᵐ 个满射。|𝒫(A)| = 2ᵐ，|A × B| = m·n。

计数

N = 5!/(5 − 5)! = 120

答案

N = 120

5.图论

答案: L = 16

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；K_n 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

树的握手引理

L + 32 = 2(L + 9) − 2

L = 16

答案

L = 16

捷径：L = 2 + Σ (d − 2)，对度 d ≥ 3 的顶点求和。

6.图论

答案: d(F) = 18

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

迪杰斯特拉算法逐轮过程

每一行：被确定的顶点、它的最终距离，以及距离得到改进的邻点。

A (0): B: 12, C: 15

B (12): D: 14, G: 16

D (14): E: 21, F: 18

C (15)

G (16)

F (18)

E (21)

最短路径

A → B → D → F

d(F) = 18

答案

d(F) = 18

7.数论与模运算

答案: φ(77) = 60

逆元与同余式：a 模 n 有逆元，当且仅当 gcd(a, n) = 1。扩展欧几里得算法把 1 写成 s·n + t·a，于是 a⁻¹ ≡ t (mod n)。当 gcd(a, n) = 1 时，同余式 a·x ≡ b (mod n) 的解为 x ≡ a⁻¹·b。模数互素的两个同余式 x ≡ r₁ (mod m₁) 和 x ≡ r₂ (mod m₂) 在模 m₁·m₂ 下有唯一解（中国剩余定理）。欧拉函数 φ(n) 表示 1 到 n 中与 n 互素的数的个数：φ(n) = n·∏(1 − 1/p)。

素因数

77 = 7·11

欧拉函数值

φ(77) = φ(11)·φ(7) = 10·6 = 60

答案

φ(77) = 60

8.数论与模运算

答案: 3⁸²⁷³¹ mod 19 = 8

模幂与 RSA：用反复平方法计算 aᵏ mod n：把 k 写成二进制，平方，每一步之后取模，并把对应二进制位为 1 的幂相乘。费马：对不整除 a 的素数 p，aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)，所以指数可以对 p − 1 取模。RSA：选取素数 p 和 q，n = p·q，φ(n) = (p − 1)(q − 1)；公钥指数 e 与 φ(n) 互素，私钥指数为 d = e⁻¹ mod φ(n)。用 c = mᵉ mod n 加密，用 m = cᵈ mod n 解密。

化简指数

82731 mod 18 = 3

3⁸²⁷³¹ ≡ 3³ (mod 19)

小的幂

3³ mod 19 = 8

答案

3⁸²⁷³¹ mod 19 = 8

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