离散数学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

新题目返回课程

在打印窗口中选择“另存为 PDF”，即可在设备上保存一份副本。

1公式与方法

命题逻辑与证明

真值表的行数: 2ⁿ
蕴涵: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
蕴涵的否定: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
双条件: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
德摩根律: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
分配律: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
量词的否定: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
肯定前件，否定后件: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

方法

数一数不同变量的个数：真值表有 2ⁿ 行，从全为 1 的一行开始。
给每个子公式单独一列，由内向外逐列填写。
按各联结词的规则计算：→ 只有在 1 → 0 时为 0，↔ 在两边相同时为 1。
判断等价时，逐行比较最后一列；判断论证时，只看所有前提都为 1 的那些行。
否定带量词的命题时，把 ¬ 移到内部，交换 ∀ 和 ∃，并否定内部的公式。

集合、关系与函数

两个集合: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|
三个集合: |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|
差集与补集: A − B = A ∩ B′, |A′| = |U| − |A|
幂集与乘积集: |𝒫(A)| = 2^|A|, |A × B| = |A|·|B|
大小为 k 的子集: C(n, k) = n!/(k!(n − k)!)
函数 A → B: nᵐ; injective n!/(n − m)!; surjective Σ (−1)ᵏ C(n, k)(n − k)ᵐ
n 个元素上的关系: 2^n²; reflexive 2^{n² − n}; symmetric 2^n(n+1)/2
复合: (g ∘ f)(x) = g(f(x))

方法

画出维恩图，逐个区域判断它是否属于该集合表达式。
对于计数问题，从中心向外填写各区域：先是所有集合的交，再是两两的交，然后是单个集合，最后是外部。
用容斥原理进行检验：|A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|。
对于关系，对每一对元素检验各个性质，不成立时给出一个反例。
对于函数，数一数到达 B 中每个元素的箭头：至多一个表示单射，至少一个表示满射。

图论

握手引理: Σ deg(v) = 2|E|
完全图: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
正则图: |E| = n·k/2
树与森林: |E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉: 回路：所有顶点度数为偶数；通路：恰有 2 个奇度顶点
K_n 中的哈密顿回路: (n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径: (Mᴸ)_ij

方法

写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

数论与模运算

带余除法: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
欧几里得: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
最小公倍数: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
逆矩阵: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
线性同余方程: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
欧拉函数: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
费马: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

方法

先把每个数对 n 取模；余数在 0 到 n − 1 之间。
求最大公约数时，用欧几里得算法反复做除法；最后一个非零余数就是最大公约数。
求逆元时，运行扩展算法并保留 a 的系数；若为负数则加上 n。
解 a·x ≡ b 时，两边乘以 a⁻¹；合并两个同余式时，写成 x = r₁ + m₁k。
求幂时，把指数写成二进制并反复平方；在 RSA 中，d = e⁻¹ mod φ(n)，其中 φ(n) = (p − 1)(q − 1)。

2练习题

1.命题逻辑与证明中等

你想用逆否证明来证明 c → (a ∧ b)。你要改为证明哪个蕴涵？点选它。

c → (a ∧ b)

1¬c → ¬(a ∧ b)
2(a ∧ b) → c
3c ∧ ¬(a ∧ b)
4¬(a ∧ b) → ¬c

2.命题逻辑与证明困难

前提为 c ∨ b; c、结论为 ¬b 的论证是无效的。点选真值表中作为反例的那一行。

c ∨ bc∴ ¬b

1b = 1, c = 1
2b = 1, c = 0
3b = 0, c = 1
4b = 0, c = 0

3.集合、关系与函数中等

在 58 名一年级学生中，23 人通过了数学 (M)，23 人通过了物理 (P)，33 人通过了化学 (C)。7 人通过了 M 和 P，16 人通过了 M 和 C，5 人通过了 P 和 C，2 人三门都通过了。有多少恰好属于三个集合中的一个？把这个数记作 n。

|U| = 58

n =

4.集合、关系与函数困难

箭头图表示函数 f: A → B，其中 A = {1, 2, 3}，B = {a, b, c}。点选与 f 相符的描述。

f = {(1, c), (2, a), (3, c)}

1单射，非满射
2满射，非单射
3双射
4都不是

5.图论中等

一个连通图有 13 个顶点和 14 条边。必须去掉多少条边 k 才能剩下一棵生成树？

|V| = 13|E| = 14

k =

6.图论困难

迪杰斯特拉算法从 A 开始运行。点选在第 5 轮被确定（成为永久标号）的顶点；A 本身是第 1 轮。

起点：A轮 5

7.数论与模运算中等

求欧拉函数 φ(56)，即 1 到 56 中与 56 互素的整数个数。

n = 56 = 2³·7

φ(56) =

8.数论与模运算困难

61 是素数。用费马小定理求 11¹⁶⁰⁰⁷ mod 61。

p = 61k = 16007

11¹⁶⁰⁰⁷ mod 61 =

3溶液

1.命题逻辑与证明

答案: ¬(a ∧ b) → ¬c

逻辑等价：两个公式在真值表的每一行取值都相同时，它们是等价（≡）的。重言式在每一行都为 1，矛盾式在每一行都为 0，偶然式则两者都不是。常用定律：德摩根律，¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b 和 ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b；a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a（逆否命题）；¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b；以及分配律，a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)。

蕴涵的各个部分

a = c, b = a ∧ b

逆否命题

¬b → ¬a = ¬(a ∧ b) → ¬c

答案

¬(a ∧ b) → ¬c

逆否命题与原命题等价，所以证明了它就证明了原命题。

2.命题逻辑与证明

答案: b = 1, c = 1

量词与论证：¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x)，¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)。把否定向内移动，交换它经过的每个量词，并用命题逻辑的定律否定内部的公式，例如 ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b。当所有前提为 1 的每一行中结论也为 1 时，论证是有效的。只要有一行前提为真而结论为假，它就是反例，说明论证无效。

逐行列出前提与结论

b = 1, c = 1: 1 1 | 0

b = 1, c = 0: 1 0 | 0

b = 0, c = 1: 1 1 | 1

b = 0, c = 0: 0 0 | 1

反例

b = 1, c = 1

答案

b = 1, c = 1

这种形式的论证看起来像有效的规则，但只要有一行就足以说明它并不有效。

3.集合、关系与函数

答案: n = 29

集合与维恩图：A ∪ B 包含属于 A 或 B（或两者）的元素，A ∩ B 包含同时属于两者的元素，A − B 包含属于 A 但不属于 B 的元素，补集 A′ 是 U 中不属于 A 的一切元素。在维恩图中，每个集合表达式都是若干区域的并集，所以要逐个区域地计数。容斥原理：|A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|，以及 |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|。

中心与两两交

M ∩ P ∩ C: 2

M ∩ P 仅: 7 − 2 = 5

M ∩ C 仅: 16 − 2 = 14

P ∩ C 仅: 5 − 2 = 3

单个集合

M 仅: 23 − 5 − 14 − 2 = 2

P 仅: 23 − 5 − 3 − 2 = 13

C 仅: 33 − 14 − 3 − 2 = 14

答案

2 + 13 + 14 = 29

答案

n = 29

4.集合、关系与函数

答案: 都不是

函数与计数：函数 f: A → B 使 A 中每个元素在 B 中恰有一个像。不同元素有不同的像时 f 是单射（一一映射），B 中每个元素都是像时是满射（映上），两者都成立时是双射。当 |A| = m，|B| = n 时，共有 nᵐ 个函数，n!/(n − m)! 个单射（m ≤ n），以及由容斥原理得到的 Σ (−1)ᵏ·C(n, k)·(n − k)ᵐ 个满射。|𝒫(A)| = 2ᵐ，|A × B| = m·n。

单射？

f(1) = f(3) = c → 非单射

满射？

b 没有收到箭头 → 非满射

答案

都不是

答案

都不是

5.图论

答案: k = 2

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；K_n 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

生成树的边数

13 − 1 = 12

要去掉的边数

k = 14 − 12 = 2

答案

k = 2

6.图论

答案: D

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

迪杰斯特拉算法逐轮过程

1. A (0): B: 12, C: 10

2. C (10): E: 17, G: 18

3. B (12): D: 23, G: 15

4. G (15): D: 16

5. D (16)

6. E (17): F: 29

7. F (29)

轮 5

答案

7.数论与模运算

答案: φ(56) = 24

逆元与同余式：a 模 n 有逆元，当且仅当 gcd(a, n) = 1。扩展欧几里得算法把 1 写成 s·n + t·a，于是 a⁻¹ ≡ t (mod n)。当 gcd(a, n) = 1 时，同余式 a·x ≡ b (mod n) 的解为 x ≡ a⁻¹·b。模数互素的两个同余式 x ≡ r₁ (mod m₁) 和 x ≡ r₂ (mod m₂) 在模 m₁·m₂ 下有唯一解（中国剩余定理）。欧拉函数 φ(n) 表示 1 到 n 中与 n 互素的数的个数：φ(n) = n·∏(1 − 1/p)。

素因数

56 = 2³·7

欧拉函数值

φ(56) = φ(8)·φ(7) = 4·6 = 24

答案

φ(56) = 24

8.数论与模运算

答案: 11¹⁶⁰⁰⁷ mod 61 = 50

模幂与 RSA：用反复平方法计算 aᵏ mod n：把 k 写成二进制，平方，每一步之后取模，并把对应二进制位为 1 的幂相乘。费马：对不整除 a 的素数 p，aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)，所以指数可以对 p − 1 取模。RSA：选取素数 p 和 q，n = p·q，φ(n) = (p − 1)(q − 1)；公钥指数 e 与 φ(n) 互素，私钥指数为 d = e⁻¹ mod φ(n)。用 c = mᵉ mod n 加密，用 m = cᵈ mod n 解密。

化简指数

16007 mod 60 = 47

11¹⁶⁰⁰⁷ ≡ 11⁴⁷ (mod 61)

小的幂

11⁴⁷ mod 61 = 50

答案

11¹⁶⁰⁰⁷ mod 61 = 50

ExamProblems · examproblems.com/courses/discrete-mathematics