离散数学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

命题逻辑与证明

真值表的行数
2ⁿ
蕴涵
p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
蕴涵的否定
¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
双条件
p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
德摩根律
¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
分配律
p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
量词的否定
¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
肯定前件，否定后件
p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

方法

  1. 数一数不同变量的个数：真值表有 2ⁿ 行，从全为 1 的一行开始。
  2. 给每个子公式单独一列，由内向外逐列填写。
  3. 按各联结词的规则计算：→ 只有在 1 → 0 时为 0，↔ 在两边相同时为 1。
  4. 判断等价时，逐行比较最后一列；判断论证时，只看所有前提都为 1 的那些行。
  5. 否定带量词的命题时，把 ¬ 移到内部，交换 ∀ 和 ∃，并否定内部的公式。

集合、关系与函数

两个集合
|A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|
三个集合
|A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|
差集与补集
A − B = A ∩ B′, |A′| = |U| − |A|
幂集与乘积集
|𝒫(A)| = 2|A|, |A × B| = |A|·|B|
大小为 k 的子集
C(n, k) = n!/(k!(n − k)!)
函数 A → B
nᵐ; injective n!/(n − m)!; surjective Σ (−1)ᵏ C(n, k)(n − k)ᵐ
n 个元素上的关系
2n²; reflexive 2n² − n; symmetric 2n(n+1)/2
复合
(g ∘ f)(x) = g(f(x))

方法

  1. 画出维恩图，逐个区域判断它是否属于该集合表达式。
  2. 对于计数问题，从中心向外填写各区域：先是所有集合的交，再是两两的交，然后是单个集合，最后是外部。
  3. 用容斥原理进行检验：|A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|。
  4. 对于关系，对每一对元素检验各个性质，不成立时给出一个反例。
  5. 对于函数，数一数到达 B 中每个元素的箭头：至多一个表示单射，至少一个表示满射。

图论

握手引理
Σ deg(v) = 2|E|
完全图
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正则图
|E| = n·k/2
树与森林
|E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉
回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
Kn 中的哈密顿回路
(n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径
(Mᴸ)ij

方法

  1. 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
  2. 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
  3. 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
  4. 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
  5. 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

数论与模运算

带余除法
a = q·n + r, 0 ≤ r < n
欧几里得
gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
最小公倍数
lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
逆矩阵
a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
线性同余方程
a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
欧拉函数
φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
费马
aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA
n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

方法

  1. 先把每个数对 n 取模；余数在 0 到 n − 1 之间。
  2. 求最大公约数时，用欧几里得算法反复做除法；最后一个非零余数就是最大公约数。
  3. 求逆元时，运行扩展算法并保留 a 的系数；若为负数则加上 n。
  4. 解 a·x ≡ b 时，两边乘以 a⁻¹；合并两个同余式时，写成 x = r₁ + m₁k。
  5. 求幂时，把指数写成二进制并反复平方；在 RSA 中，d = e⁻¹ mod φ(n)，其中 φ(n) = (p − 1)(q − 1)。

2练习题

1.命题逻辑与证明中等
pqr¬q ∧ r(¬q ∧ r) ∨ p¬(p → (r ∨ q)) ∧ ((¬q ∧ r) ∨ p)111?110?101?100?011?010?001?000?

在其真值表的 8 行中，¬(p → (r ∨ q)) ∧ ((¬q ∧ r) ∨ p) 在多少行为真？把这个数记作 N。

¬(p → (r ∨ q)) ∧ ((¬q ∧ r) ∨ p)
N =
2.命题逻辑与证明困难
∃y ∀x ¬R(x, y)∀x ∃y ¬R(x, y)∃x ∀y ¬R(x, y)∀x ∀y ¬R(x, y)

把否定完全移到内部之后，哪个命题与 ¬∀x ∃y R(x, y) 等价？点选它。

¬∀x ∃y R(x, y)
  1. 1∃y ∀x ¬R(x, y)
  2. 2∀x ∃y ¬R(x, y)
  3. 3∃x ∀y ¬R(x, y)
  4. 4∀x ∀y ¬R(x, y)
3.集合、关系与函数中等
123

R = {(1, 1), (2, 1), (3, 3)} 是 {1, 2, 3} 上的关系。 要使 R 自反，至少要添加多少个有序对 k？

R = {(1, 1), (2, 1), (3, 3)}
k =
4.集合、关系与函数困难

含 3 个元素的集合上，既自反又对称的关系有多少个？ 把这个数记作 N。

|X| = 3
N =
5.图论中等

一棵树有 2 个度为 3 的顶点, 3 个度为 4 的顶点, 3 个度为 5 的顶点, 3 个度为 2 的顶点，其余所有顶点都是叶子（度为 1）。它有多少片叶子 L？

2 × deg 33 × deg 43 × deg 53 × deg 2
L =
6.图论困难
14155539812ABCDEF

用迪杰斯特拉算法求带权图中从 A 到 F 的最短路径的长度 d(F)。

起点：A终点：F
d(F) =
7.数论与模运算中等

求满足 x ≡ 1 (mod 3) 和 x ≡ 6 (mod 13) 的最小正整数 x。

x ≡ 1 (mod 3)x ≡ 6 (mod 13)
x =
8.数论与模运算困难

在 {0, 1, …, 79} 中，46x ≡ 24 (mod 80) 有多少个解 N？

46x ≡ 24 (mod 80)
N =

3溶液

1.命题逻辑与证明

答案: N = 1

真值表：含 n 个不同变量的公式有 2ⁿ 行，每一行对应真值的一种组合（1 = 真，0 = 假）。由内向外进行，给每个子公式单独一列。¬a 把值取反；a ∧ b 只有在两者都为 1 时才为 1；a ∨ b 只有在两者都为 0 时才为 0；a → b 只有在 a = 1 且 b = 0 时才为 0；a ↔ b 在两边相等时为 1。

逐行写出真值表

p = 1, q = 1, r = 1: r ∨ q = 1, p → (r ∨ q) = 1, ¬(p → (r ∨ q)) = 0, ¬q = 0, ¬q ∧ r = 0, (¬q ∧ r) ∨ p = 1, ¬(p → (r ∨ q)) ∧ ((¬q ∧ r) ∨ p) = 0
p = 1, q = 1, r = 0: r ∨ q = 1, p → (r ∨ q) = 1, ¬(p → (r ∨ q)) = 0, ¬q = 0, ¬q ∧ r = 0, (¬q ∧ r) ∨ p = 1, ¬(p → (r ∨ q)) ∧ ((¬q ∧ r) ∨ p) = 0
p = 1, q = 0, r = 1: r ∨ q = 1, p → (r ∨ q) = 1, ¬(p → (r ∨ q)) = 0, ¬q = 1, ¬q ∧ r = 1, (¬q ∧ r) ∨ p = 1, ¬(p → (r ∨ q)) ∧ ((¬q ∧ r) ∨ p) = 0
p = 1, q = 0, r = 0: r ∨ q = 0, p → (r ∨ q) = 0, ¬(p → (r ∨ q)) = 1, ¬q = 1, ¬q ∧ r = 0, (¬q ∧ r) ∨ p = 1, ¬(p → (r ∨ q)) ∧ ((¬q ∧ r) ∨ p) = 1
p = 0, q = 1, r = 1: r ∨ q = 1, p → (r ∨ q) = 1, ¬(p → (r ∨ q)) = 0, ¬q = 0, ¬q ∧ r = 0, (¬q ∧ r) ∨ p = 0, ¬(p → (r ∨ q)) ∧ ((¬q ∧ r) ∨ p) = 0
p = 0, q = 1, r = 0: r ∨ q = 1, p → (r ∨ q) = 1, ¬(p → (r ∨ q)) = 0, ¬q = 0, ¬q ∧ r = 0, (¬q ∧ r) ∨ p = 0, ¬(p → (r ∨ q)) ∧ ((¬q ∧ r) ∨ p) = 0
p = 0, q = 0, r = 1: r ∨ q = 1, p → (r ∨ q) = 1, ¬(p → (r ∨ q)) = 0, ¬q = 1, ¬q ∧ r = 1, (¬q ∧ r) ∨ p = 1, ¬(p → (r ∨ q)) ∧ ((¬q ∧ r) ∨ p) = 0
p = 0, q = 0, r = 0: r ∨ q = 0, p → (r ∨ q) = 1, ¬(p → (r ∨ q)) = 0, ¬q = 1, ¬q ∧ r = 0, (¬q ∧ r) ∨ p = 0, ¬(p → (r ∨ q)) ∧ ((¬q ∧ r) ∨ p) = 0

数出值为 1 的行数

¬(p → (r ∨ q)) ∧ ((¬q ∧ r) ∨ p): 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0
N = 1

答案

N = 1
2.命题逻辑与证明

答案: ∃x ∀y ¬R(x, y)

量词与论证：¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x)，¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)。把否定向内移动，交换它经过的每个量词，并用命题逻辑的定律否定内部的公式，例如 ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b。当所有前提为 1 的每一行中结论也为 1 时，论证是有效的。只要有一行前提为真而结论为假，它就是反例，说明论证无效。

把否定移到内部

¬∀x ∃y R(x, y) ≡ ∃x ∀y ¬R(x, y)

答案

∃x ∀y ¬R(x, y)

其他选项要么保持某个量词不变，要么改变了量词的顺序，要么错误地否定了内部的公式。

3.集合、关系与函数

答案: k = 1

关系：集合 X 上的关系 R 是由有序对 (x, y) 组成的集合。若对 X 中每个 x 都有 (x, x) ∈ R，则 R 是自反的；若 (x, y) ∈ R 时总有 (y, x) ∈ R，则是对称的；若 (x, y) 和 (y, x) 同时属于 R 仅当 x = y，则是反对称的；若 R 中的 (x, y) 和 (y, z) 必然导出 (x, z) ∈ R，则是传递的。等价关系是自反、对称且传递的，它把 X 分成互不相交的类。

要添加的序对

{(2, 2)}

计数

k = 1

答案

k = 1
4.集合、关系与函数

答案: N = 8

关系：集合 X 上的关系 R 是由有序对 (x, y) 组成的集合。若对 X 中每个 x 都有 (x, x) ∈ R，则 R 是自反的；若 (x, y) ∈ R 时总有 (y, x) ∈ R，则是对称的；若 (x, y) 和 (y, x) 同时属于 R 仅当 x = y，则是反对称的；若 R 中的 (x, y) 和 (y, z) 必然导出 (x, z) ∈ R，则是传递的。等价关系是自反、对称且传递的，它把 X 分成互不相交的类。

数出自由选择的个数

N = 23 = 8

答案

N = 8
5.图论

答案: L = 19

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

树的握手引理

L + 39 = 2(L + 11) − 2
L = 19

答案

L = 19

捷径：L = 2 + Σ (d − 2)，对度 d ≥ 3 的顶点求和。

6.图论

答案: d(F) = 26

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

迪杰斯特拉算法逐轮过程

每一行：被确定的顶点、它的最终距离，以及距离得到改进的邻点。

A (0): B: 14, C: 15
B (14): D: 19, E: 26
C (15): E: 18
E (18): F: 26
D (19)
F (26)

最短路径

A → C → E → F
d(F) = 26

答案

d(F) = 26
7.数论与模运算

答案: x = 19

逆元与同余式：a 模 n 有逆元，当且仅当 gcd(a, n) = 1。扩展欧几里得算法把 1 写成 s·n + t·a，于是 a⁻¹ ≡ t (mod n)。当 gcd(a, n) = 1 时，同余式 a·x ≡ b (mod n) 的解为 x ≡ a⁻¹·b。模数互素的两个同余式 x ≡ r₁ (mod m₁) 和 x ≡ r₂ (mod m₂) 在模 m₁·m₂ 下有唯一解（中国剩余定理）。欧拉函数 φ(n) 表示 1 到 n 中与 n 互素的数的个数：φ(n) = n·∏(1 − 1/p)。

第一个同余式

x = 1 + 3k

第二个同余式

1 + 3k ≡ 6 (mod 13) → 3k ≡ 5 (mod 13)
k ≡ 9·5 ≡ 6 (mod 13)

结果

x = 1 + 3·6 = 19
x = 19
校核: 19 mod 3 = 1, 19 mod 13 = 6

答案

x = 19
8.数论与模运算

答案: N = 2

逆元与同余式：a 模 n 有逆元，当且仅当 gcd(a, n) = 1。扩展欧几里得算法把 1 写成 s·n + t·a，于是 a⁻¹ ≡ t (mod n)。当 gcd(a, n) = 1 时，同余式 a·x ≡ b (mod n) 的解为 x ≡ a⁻¹·b。模数互素的两个同余式 x ≡ r₁ (mod m₁) 和 x ≡ r₂ (mod m₂) 在模 m₁·m₂ 下有唯一解（中国剩余定理）。欧拉函数 φ(n) 表示 1 到 n 中与 n 互素的数的个数：φ(n) = n·∏(1 − 1/p)。

除以最大公约数

gcd(46, 80) = 2
23x ≡ 12 (mod 40)

解化简后的同余式

23−1 ≡ 7 (mod 40) → x ≡ 4 (mod 40)

模 80 下的解

x ∈ {4, 44}
N = 2

答案

N = 2

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