离散数学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

命题逻辑与证明

真值表的行数: 2ⁿ
蕴涵: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
蕴涵的否定: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
双条件: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
德摩根律: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
分配律: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
量词的否定: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
肯定前件，否定后件: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

方法

数一数不同变量的个数：真值表有 2ⁿ 行，从全为 1 的一行开始。
给每个子公式单独一列，由内向外逐列填写。
按各联结词的规则计算：→ 只有在 1 → 0 时为 0，↔ 在两边相同时为 1。
判断等价时，逐行比较最后一列；判断论证时，只看所有前提都为 1 的那些行。
否定带量词的命题时，把 ¬ 移到内部，交换 ∀ 和 ∃，并否定内部的公式。

集合、关系与函数

两个集合: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|
三个集合: |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|
差集与补集: A − B = A ∩ B′, |A′| = |U| − |A|
幂集与乘积集: |𝒫(A)| = 2^|A|, |A × B| = |A|·|B|
大小为 k 的子集: C(n, k) = n!/(k!(n − k)!)
函数 A → B: nᵐ; injective n!/(n − m)!; surjective Σ (−1)ᵏ C(n, k)(n − k)ᵐ
n 个元素上的关系: 2^n²; reflexive 2^{n² − n}; symmetric 2^n(n+1)/2
复合: (g ∘ f)(x) = g(f(x))

方法

画出维恩图，逐个区域判断它是否属于该集合表达式。
对于计数问题，从中心向外填写各区域：先是所有集合的交，再是两两的交，然后是单个集合，最后是外部。
用容斥原理进行检验：|A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|。
对于关系，对每一对元素检验各个性质，不成立时给出一个反例。
对于函数，数一数到达 B 中每个元素的箭头：至多一个表示单射，至少一个表示满射。

图论

握手引理: Σ deg(v) = 2|E|
完全图: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
正则图: |E| = n·k/2
树与森林: |E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉: 回路：所有顶点度数为偶数；通路：恰有 2 个奇度顶点
K_n 中的哈密顿回路: (n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径: (Mᴸ)_ij

方法

写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

数论与模运算

带余除法: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
欧几里得: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
最小公倍数: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
逆矩阵: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
线性同余方程: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
欧拉函数: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
费马: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

方法

先把每个数对 n 取模；余数在 0 到 n − 1 之间。
求最大公约数时，用欧几里得算法反复做除法；最后一个非零余数就是最大公约数。
求逆元时，运行扩展算法并保留 a 的系数；若为负数则加上 n。
解 a·x ≡ b 时，两边乘以 a⁻¹；合并两个同余式时，写成 x = r₁ + m₁k。
求幂时，把指数写成二进制并反复平方；在 RSA 中，d = e⁻¹ mod φ(n)，其中 φ(n) = (p − 1)(q − 1)。

2练习题

1.命题逻辑与证明中等

在其真值表的 8 行中，(c → b) ∧ (b → a) 在多少行为真？把这个数记作 N。

(c → b) ∧ (b → a)

N =

2.命题逻辑与证明困难

真值表的 16 行中，有多少行使 (q ∧ ¬p) → ¬((¬r → p) → s) 为真？把这个数记作 N。

(q ∧ ¬p) → ¬((¬r → p) → s)

N =

3.集合、关系与函数中等

维恩图中恰有一个区域是集合 (B′ ∩ C) − (C ∩ A)。点选它的编号。

(B′ ∩ C) − (C ∩ A)

1区域 1
2区域 2
3区域 3
4区域 4
5区域 5
6区域 6
7区域 7
8区域 8

4.集合、关系与函数困难

箭头图表示函数 f: A → B，其中 A = {1, 2, 3, 4}，B = {a, b, c, d, e}。点选与 f 相符的描述。

f = {(1, d), (2, b), (3, a), (4, c)}

1单射，非满射
2满射，非单射
3双射
4都不是

5.图论中等

完全图 K₇ 有多少条不同的哈密顿回路 H？只是起点或方向不同的回路算作同一条。

K₇

H =

6.图论困难

用迪杰斯特拉算法求带权图中从 A 到 F 的最短路径的长度 d(F)。

起点：A终点：F

d(F) =

7.数论与模运算中等

求欧拉函数 φ(686)，即 1 到 686 中与 686 互素的整数个数。

n = 686 = 2·7³

φ(686) =

8.数论与模运算困难

解 40x ≡ 35 (mod 55)。给出最小的正解 x。

40x ≡ 35 (mod 55)

x =

3溶液

1.命题逻辑与证明

答案: N = 4

真值表：含 n 个不同变量的公式有 2ⁿ 行，每一行对应真值的一种组合（1 = 真，0 = 假）。由内向外进行，给每个子公式单独一列。¬a 把值取反；a ∧ b 只有在两者都为 1 时才为 1；a ∨ b 只有在两者都为 0 时才为 0；a → b 只有在 a = 1 且 b = 0 时才为 0；a ↔ b 在两边相等时为 1。

逐行写出真值表

a = 1, b = 1, c = 1: c → b = 1, b → a = 1, (c → b) ∧ (b → a) = 1

a = 1, b = 1, c = 0: c → b = 1, b → a = 1, (c → b) ∧ (b → a) = 1

a = 1, b = 0, c = 1: c → b = 0, b → a = 1, (c → b) ∧ (b → a) = 0

a = 1, b = 0, c = 0: c → b = 1, b → a = 1, (c → b) ∧ (b → a) = 1

a = 0, b = 1, c = 1: c → b = 1, b → a = 0, (c → b) ∧ (b → a) = 0

a = 0, b = 1, c = 0: c → b = 1, b → a = 0, (c → b) ∧ (b → a) = 0

a = 0, b = 0, c = 1: c → b = 0, b → a = 1, (c → b) ∧ (b → a) = 0

a = 0, b = 0, c = 0: c → b = 1, b → a = 1, (c → b) ∧ (b → a) = 1

数出值为 1 的行数

(c → b) ∧ (b → a): 1, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1

N = 4

答案

N = 4

2.命题逻辑与证明

答案: N = 13

各列

¬p; q ∧ ¬p; ¬r; ¬r → p; (¬r → p) → s; ¬((¬r → p) → s); (q ∧ ¬p) → ¬((¬r → p) → s)

按 p 拆分

p = 1: 8

p = 0: 5

N = 8 + 5 = 13

答案

N = 13

3.集合、关系与函数

答案: 区域 2

集合与维恩图：A ∪ B 包含属于 A 或 B（或两者）的元素，A ∩ B 包含同时属于两者的元素，A − B 包含属于 A 但不属于 B 的元素，补集 A′ 是 U 中不属于 A 的一切元素。在维恩图中，每个集合表达式都是若干区域的并集，所以要逐个区域地计数。容斥原理：|A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|，以及 |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|。

在每个集合之内还是之外

A′ ∩ B′ ∩ C

该区域

区域 2

答案

区域 2

4.集合、关系与函数

答案: 单射，非满射

函数与计数：函数 f: A → B 使 A 中每个元素在 B 中恰有一个像。不同元素有不同的像时 f 是单射（一一映射），B 中每个元素都是像时是满射（映上），两者都成立时是双射。当 |A| = m，|B| = n 时，共有 nᵐ 个函数，n!/(n − m)! 个单射（m ≤ n），以及由容斥原理得到的 Σ (−1)ᵏ·C(n, k)·(n − k)ᵐ 个满射。|𝒫(A)| = 2ᵐ，|A × B| = m·n。

单射？

B 的每个元素至多被命中一次 → 单射

满射？

e 没有收到箭头 → 非满射

答案

单射，非满射

答案

单射，非满射

5.图论

答案: H = 360

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；K_n 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

计数

H = (7 − 1)!/2 = 720/2 = 360

答案

H = 360

6.图论

答案: d(F) = 17

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

迪杰斯特拉算法逐轮过程

每一行：被确定的顶点、它的最终距离，以及距离得到改进的邻点。

A (0): B: 7, C: 6

C (6): E: 13

B (7): D: 13

D (13): F: 27

E (13): F: 17

F (17)

最短路径

A → C → E → F

d(F) = 17

答案

d(F) = 17

7.数论与模运算

答案: φ(686) = 294

逆元与同余式：a 模 n 有逆元，当且仅当 gcd(a, n) = 1。扩展欧几里得算法把 1 写成 s·n + t·a，于是 a⁻¹ ≡ t (mod n)。当 gcd(a, n) = 1 时，同余式 a·x ≡ b (mod n) 的解为 x ≡ a⁻¹·b。模数互素的两个同余式 x ≡ r₁ (mod m₁) 和 x ≡ r₂ (mod m₂) 在模 m₁·m₂ 下有唯一解（中国剩余定理）。欧拉函数 φ(n) 表示 1 到 n 中与 n 互素的数的个数：φ(n) = n·∏(1 − 1/p)。

素因数

686 = 2·7³

欧拉函数值

φ(686) = φ(343)·φ(2) = 294·1 = 294

答案

φ(686) = 294

8.数论与模运算

答案: x = 5

除以最大公约数

gcd(40, 55) = 5

8x ≡ 7 (mod 11)

解化简后的同余式

8⁻¹ ≡ 7 (mod 11) → x ≡ 5 (mod 11)

模 55 下的解

x ∈ {5, 16, 27, 38, 49}

x = 5

答案

x = 5

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