离散数学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

命题逻辑与证明

真值表的行数
2ⁿ
蕴涵
p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
蕴涵的否定
¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
双条件
p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
德摩根律
¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
分配律
p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
量词的否定
¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
肯定前件，否定后件
p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

方法

  1. 数一数不同变量的个数：真值表有 2ⁿ 行，从全为 1 的一行开始。
  2. 给每个子公式单独一列，由内向外逐列填写。
  3. 按各联结词的规则计算：→ 只有在 1 → 0 时为 0，↔ 在两边相同时为 1。
  4. 判断等价时，逐行比较最后一列；判断论证时，只看所有前提都为 1 的那些行。
  5. 否定带量词的命题时，把 ¬ 移到内部，交换 ∀ 和 ∃，并否定内部的公式。

集合、关系与函数

两个集合
|A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|
三个集合
|A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|
差集与补集
A − B = A ∩ B′, |A′| = |U| − |A|
幂集与乘积集
|𝒫(A)| = 2|A|, |A × B| = |A|·|B|
大小为 k 的子集
C(n, k) = n!/(k!(n − k)!)
函数 A → B
nᵐ; injective n!/(n − m)!; surjective Σ (−1)ᵏ C(n, k)(n − k)ᵐ
n 个元素上的关系
2n²; reflexive 2n² − n; symmetric 2n(n+1)/2
复合
(g ∘ f)(x) = g(f(x))

方法

  1. 画出维恩图，逐个区域判断它是否属于该集合表达式。
  2. 对于计数问题，从中心向外填写各区域：先是所有集合的交，再是两两的交，然后是单个集合，最后是外部。
  3. 用容斥原理进行检验：|A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|。
  4. 对于关系，对每一对元素检验各个性质，不成立时给出一个反例。
  5. 对于函数，数一数到达 B 中每个元素的箭头：至多一个表示单射，至少一个表示满射。

图论

握手引理
Σ deg(v) = 2|E|
完全图
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正则图
|E| = n·k/2
树与森林
|E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉
回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
Kn 中的哈密顿回路
(n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径
(Mᴸ)ij

方法

  1. 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
  2. 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
  3. 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
  4. 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
  5. 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

数论与模运算

带余除法
a = q·n + r, 0 ≤ r < n
欧几里得
gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
最小公倍数
lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
逆矩阵
a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
线性同余方程
a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
欧拉函数
φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
费马
aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA
n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

方法

  1. 先把每个数对 n 取模；余数在 0 到 n − 1 之间。
  2. 求最大公约数时，用欧几里得算法反复做除法；最后一个非零余数就是最大公约数。
  3. 求逆元时，运行扩展算法并保留 a 的系数；若为负数则加上 n。
  4. 解 a·x ≡ b 时，两边乘以 a⁻¹；合并两个同余式时，写成 x = r₁ + m₁k。
  5. 求幂时，把指数写成二进制并反复平方；在 RSA 中，d = e⁻¹ mod φ(n)，其中 φ(n) = (p − 1)(q − 1)。

2练习题

1.命题逻辑与证明中等
abc¬(b ↔ a)c ↔ ¬(b ↔ a)(¬(c ∧ b) ∧ a) ∧ (c ↔ ¬(b ↔ a))111?110?101?100?011?010?001?000?

在其真值表的 8 行中，(¬(c ∧ b) ∧ a) ∧ (c ↔ ¬(b ↔ a)) 在多少行为真？把这个数记作 N。

(¬(c ∧ b) ∧ a) ∧ (c ↔ ¬(b ↔ a))
N =
2.命题逻辑与证明困难
c ∨ b¬aa ∨ ba ∧ b

已知前提 c ∨ a; ¬c ∨ b。由它们可以推出哪个结论？点选它。

c ∨ a¬c ∨ b
  1. 1c ∨ b
  2. 2¬a
  3. 3a ∨ b
  4. 4a ∧ b
3.集合、关系与函数中等
UFG3

在一个有 35 名学生的小组中，6 人会说法语 (F)，19 人会说德语 (G)，3 人两种都会。 有多少至少属于两个集合中的一个？

|U| = 35|F| = 6|G| = 19|F ∩ G| = 3
|F ∪ G| =
4.集合、关系与函数困难
AB1234ab单射，非满射满射，非单射双射都不是

箭头图表示函数 f: A → B，其中 A = {1, 2, 3, 4}，B = {a, b}。点选与 f 相符的描述。

f = {(1, b), (2, a), (3, b), (4, a)}
  1. 1单射，非满射
  2. 2满射，非单射
  3. 3双射
  4. 4都不是
5.图论中等

一棵树有 4 个度为 3 的顶点，其余所有顶点都是叶子（度为 1）。它有多少片叶子 L？

4 × deg 3
L =
6.图论困难
13214121361214ABCDEFG

迪杰斯特拉算法从 A 开始运行。点选在第 4 轮被确定（成为永久标号）的顶点；A 本身是第 1 轮。

起点：A轮 4
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G
7.数论与模运算中等

求满足 x ≡ 2 (mod 6) 和 x ≡ 3 (mod 7) 的最小正整数 x。

x ≡ 2 (mod 6)x ≡ 3 (mod 7)
x =
8.数论与模运算困难
744c = me​ mod n?m = cd​ mod nm(n, e) = (1591, 23)d

用 RSA 公钥 (n, e) = (1591, 23) 加密消息 m = 744。求密文 c。

n = 1591e = 23m = 744
c =

3溶液

1.命题逻辑与证明

答案: N = 2

真值表：含 n 个不同变量的公式有 2ⁿ 行，每一行对应真值的一种组合（1 = 真，0 = 假）。由内向外进行，给每个子公式单独一列。¬a 把值取反；a ∧ b 只有在两者都为 1 时才为 1；a ∨ b 只有在两者都为 0 时才为 0；a → b 只有在 a = 1 且 b = 0 时才为 0；a ↔ b 在两边相等时为 1。

逐行写出真值表

a = 1, b = 1, c = 1: c ∧ b = 1, ¬(c ∧ b) = 0, ¬(c ∧ b) ∧ a = 0, b ↔ a = 1, ¬(b ↔ a) = 0, c ↔ ¬(b ↔ a) = 0, (¬(c ∧ b) ∧ a) ∧ (c ↔ ¬(b ↔ a)) = 0
a = 1, b = 1, c = 0: c ∧ b = 0, ¬(c ∧ b) = 1, ¬(c ∧ b) ∧ a = 1, b ↔ a = 1, ¬(b ↔ a) = 0, c ↔ ¬(b ↔ a) = 1, (¬(c ∧ b) ∧ a) ∧ (c ↔ ¬(b ↔ a)) = 1
a = 1, b = 0, c = 1: c ∧ b = 0, ¬(c ∧ b) = 1, ¬(c ∧ b) ∧ a = 1, b ↔ a = 0, ¬(b ↔ a) = 1, c ↔ ¬(b ↔ a) = 1, (¬(c ∧ b) ∧ a) ∧ (c ↔ ¬(b ↔ a)) = 1
a = 1, b = 0, c = 0: c ∧ b = 0, ¬(c ∧ b) = 1, ¬(c ∧ b) ∧ a = 1, b ↔ a = 0, ¬(b ↔ a) = 1, c ↔ ¬(b ↔ a) = 0, (¬(c ∧ b) ∧ a) ∧ (c ↔ ¬(b ↔ a)) = 0
a = 0, b = 1, c = 1: c ∧ b = 1, ¬(c ∧ b) = 0, ¬(c ∧ b) ∧ a = 0, b ↔ a = 0, ¬(b ↔ a) = 1, c ↔ ¬(b ↔ a) = 1, (¬(c ∧ b) ∧ a) ∧ (c ↔ ¬(b ↔ a)) = 0
a = 0, b = 1, c = 0: c ∧ b = 0, ¬(c ∧ b) = 1, ¬(c ∧ b) ∧ a = 0, b ↔ a = 0, ¬(b ↔ a) = 1, c ↔ ¬(b ↔ a) = 0, (¬(c ∧ b) ∧ a) ∧ (c ↔ ¬(b ↔ a)) = 0
a = 0, b = 0, c = 1: c ∧ b = 0, ¬(c ∧ b) = 1, ¬(c ∧ b) ∧ a = 0, b ↔ a = 1, ¬(b ↔ a) = 0, c ↔ ¬(b ↔ a) = 0, (¬(c ∧ b) ∧ a) ∧ (c ↔ ¬(b ↔ a)) = 0
a = 0, b = 0, c = 0: c ∧ b = 0, ¬(c ∧ b) = 1, ¬(c ∧ b) ∧ a = 0, b ↔ a = 1, ¬(b ↔ a) = 0, c ↔ ¬(b ↔ a) = 1, (¬(c ∧ b) ∧ a) ∧ (c ↔ ¬(b ↔ a)) = 0

数出值为 1 的行数

(¬(c ∧ b) ∧ a) ∧ (c ↔ ¬(b ↔ a)): 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0
N = 2

答案

N = 2
2.命题逻辑与证明

答案: a ∨ b

量词与论证：¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x)，¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)。把否定向内移动，交换它经过的每个量词，并用命题逻辑的定律否定内部的公式，例如 ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b。当所有前提为 1 的每一行中结论也为 1 时，论证是有效的。只要有一行前提为真而结论为假，它就是反例，说明论证无效。

所有前提都为真的行

a = 1, b = 1, c = 1: c ∨ b = 1, ¬a = 0, a ∨ b = 1, a ∧ b = 1
a = 1, b = 1, c = 0: c ∨ b = 1, ¬a = 0, a ∨ b = 1, a ∧ b = 1
a = 1, b = 0, c = 0: c ∨ b = 0, ¬a = 0, a ∨ b = 1, a ∧ b = 0
a = 0, b = 1, c = 1: c ∨ b = 1, ¬a = 1, a ∨ b = 1, a ∧ b = 0

结论

a ∨ b (分辨率)

答案

a ∨ b
3.集合、关系与函数

答案: |F ∪ G| = 22

集合与维恩图：A ∪ B 包含属于 A 或 B（或两者）的元素，A ∩ B 包含同时属于两者的元素，A − B 包含属于 A 但不属于 B 的元素，补集 A′ 是 U 中不属于 A 的一切元素。在维恩图中，每个集合表达式都是若干区域的并集，所以要逐个区域地计数。容斥原理：|A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|，以及 |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|。

各个区域

F ∩ G: 3
F − G: 6 − 3 = 3
G − F: 19 − 3 = 16
(F ∪ G)′: 35 − (3 + 16 + 3) = 13

答案

|F ∪ G| = 22

答案

|F ∪ G| = 22
4.集合、关系与函数

答案: 满射，非单射

函数与计数：函数 f: A → B 使 A 中每个元素在 B 中恰有一个像。不同元素有不同的像时 f 是单射（一一映射），B 中每个元素都是像时是满射（映上），两者都成立时是双射。当 |A| = m，|B| = n 时，共有 nᵐ 个函数，n!/(n − m)! 个单射（m ≤ n），以及由容斥原理得到的 Σ (−1)ᵏ·C(n, k)·(n − k)ᵐ 个满射。|𝒫(A)| = 2ᵐ，|A × B| = m·n。

单射？

f(1) = f(3) = b → 非单射

满射？

B 的每个元素都被命中 → 满射

答案

满射，非单射

答案

满射，非单射
5.图论

答案: L = 6

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

树的握手引理

L + 12 = 2(L + 4) − 2
L = 6

答案

L = 6

捷径：L = 2 + Σ (d − 2)，对度 d ≥ 3 的顶点求和。

6.图论

答案: D

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

迪杰斯特拉算法逐轮过程

1. A (0): B: 13, C: 2
2. C (2): E: 3, G: 14
3. E (3): D: 5
4. D (5): F: 18
5. B (13)
6. G (14)
7. F (18)

轮 4

D

答案

D
7.数论与模运算

答案: x = 38

逆元与同余式：a 模 n 有逆元，当且仅当 gcd(a, n) = 1。扩展欧几里得算法把 1 写成 s·n + t·a，于是 a⁻¹ ≡ t (mod n)。当 gcd(a, n) = 1 时，同余式 a·x ≡ b (mod n) 的解为 x ≡ a⁻¹·b。模数互素的两个同余式 x ≡ r₁ (mod m₁) 和 x ≡ r₂ (mod m₂) 在模 m₁·m₂ 下有唯一解（中国剩余定理）。欧拉函数 φ(n) 表示 1 到 n 中与 n 互素的数的个数：φ(n) = n·∏(1 − 1/p)。

第一个同余式

x = 2 + 6k

第二个同余式

2 + 6k ≡ 3 (mod 7) → 6k ≡ 1 (mod 7)
k ≡ 6·1 ≡ 6 (mod 7)

结果

x = 2 + 6·6 = 38
x = 38
校核: 38 mod 6 = 2, 38 mod 7 = 3

答案

x = 38
8.数论与模运算

答案: c = 728

模幂与 RSA：用反复平方法计算 aᵏ mod n：把 k 写成二进制，平方，每一步之后取模，并把对应二进制位为 1 的幂相乘。费马：对不整除 a 的素数 p，aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)，所以指数可以对 p − 1 取模。RSA：选取素数 p 和 q，n = p·q，φ(n) = (p − 1)(q − 1)；公钥指数 e 与 φ(n) 互素，私钥指数为 d = e⁻¹ mod φ(n)。用 c = mᵉ mod n 加密，用 m = cᵈ mod n 解密。

反复平方

23 = 16 + 4 + 2 + 1
7441 ≡ 744 (mod 1591)
7442 ≡ 1459 (mod 1591)
7444 ≡ 1514 (mod 1591)
7448 ≡ 1156 (mod 1591)
74416 ≡ 1487 (mod 1591)
74423 ≡ 744·1459·1514·1487 ≡ 728 (mod 1591)

密文

c = 728

答案

c = 728

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