离散数学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

命题逻辑与证明

真值表的行数
2ⁿ
蕴涵
p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
蕴涵的否定
¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
双条件
p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
德摩根律
¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
分配律
p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
量词的否定
¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
肯定前件，否定后件
p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

方法

  1. 数一数不同变量的个数：真值表有 2ⁿ 行，从全为 1 的一行开始。
  2. 给每个子公式单独一列，由内向外逐列填写。
  3. 按各联结词的规则计算：→ 只有在 1 → 0 时为 0，↔ 在两边相同时为 1。
  4. 判断等价时，逐行比较最后一列；判断论证时，只看所有前提都为 1 的那些行。
  5. 否定带量词的命题时，把 ¬ 移到内部，交换 ∀ 和 ∃，并否定内部的公式。

集合、关系与函数

两个集合
|A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|
三个集合
|A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|
差集与补集
A − B = A ∩ B′, |A′| = |U| − |A|
幂集与乘积集
|𝒫(A)| = 2|A|, |A × B| = |A|·|B|
大小为 k 的子集
C(n, k) = n!/(k!(n − k)!)
函数 A → B
nᵐ; injective n!/(n − m)!; surjective Σ (−1)ᵏ C(n, k)(n − k)ᵐ
n 个元素上的关系
2n²; reflexive 2n² − n; symmetric 2n(n+1)/2
复合
(g ∘ f)(x) = g(f(x))

方法

  1. 画出维恩图，逐个区域判断它是否属于该集合表达式。
  2. 对于计数问题，从中心向外填写各区域：先是所有集合的交，再是两两的交，然后是单个集合，最后是外部。
  3. 用容斥原理进行检验：|A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|。
  4. 对于关系，对每一对元素检验各个性质，不成立时给出一个反例。
  5. 对于函数，数一数到达 B 中每个元素的箭头：至多一个表示单射，至少一个表示满射。

图论

握手引理
Σ deg(v) = 2|E|
完全图
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正则图
|E| = n·k/2
树与森林
|E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉
回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
Kn 中的哈密顿回路
(n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径
(Mᴸ)ij

方法

  1. 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
  2. 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
  3. 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
  4. 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
  5. 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

数论与模运算

带余除法
a = q·n + r, 0 ≤ r < n
欧几里得
gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
最小公倍数
lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
逆矩阵
a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
线性同余方程
a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
欧拉函数
φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
费马
aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA
n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

方法

  1. 先把每个数对 n 取模；余数在 0 到 n − 1 之间。
  2. 求最大公约数时，用欧几里得算法反复做除法；最后一个非零余数就是最大公约数。
  3. 求逆元时，运行扩展算法并保留 a 的系数；若为负数则加上 n。
  4. 解 a·x ≡ b 时，两边乘以 a⁻¹；合并两个同余式时，写成 x = r₁ + m₁k。
  5. 求幂时，把指数写成二进制并反复平方；在 RSA 中，d = e⁻¹ mod φ(n)，其中 φ(n) = (p − 1)(q − 1)。

2练习题

1.命题逻辑与证明中等
pqrp ∨ r(¬q ∧ r) ∨ (p ∨ r)(p ∧ q) ∧ ((¬q ∧ r) ∨ (p ∨ r))111?110?101?100?011?010?001?000?

在其真值表的 8 行中，(p ∧ q) ∧ ((¬q ∧ r) ∨ (p ∨ r)) 在多少行为真？把这个数记作 N。

(p ∧ q) ∧ ((¬q ∧ r) ∨ (p ∨ r))
N =
2.命题逻辑与证明困难
∃x ∃y (R(x, y) ∧ ¬R(y, x))∃x ∃y (¬R(x, y) ∧ ¬R(y, x))∃x ∃y (R(x, y) → ¬R(y, x))∀x ∀y (R(x, y) ∧ ¬R(y, x))

把否定完全移到内部之后，哪个命题与 ¬∀x ∀y (R(x, y) → R(y, x)) 等价？点选它。

¬∀x ∀y (R(x, y) → R(y, x))
  1. 1∃x ∃y (R(x, y) ∧ ¬R(y, x))
  2. 2∃x ∃y (¬R(x, y) ∧ ¬R(y, x))
  3. 3∃x ∃y (R(x, y) → ¬R(y, x))
  4. 4∀x ∀y (R(x, y) ∧ ¬R(y, x))
3.集合、关系与函数中等
UMP9

在 31 名一年级学生中，18 人通过了数学 (M)，16 人通过了物理 (P)，9 人两门都通过了。 有多少两个集合都不属于？

|U| = 31|M| = 18|P| = 16|M ∩ P| = 9
|(M ∪ P)′| =
4.集合、关系与函数困难
AB123abc单射，非满射满射，非单射双射都不是

箭头图表示函数 f: A → B，其中 A = {1, 2, 3}，B = {a, b, c}。点选与 f 相符的描述。

f = {(1, c), (2, a), (3, b)}
  1. 1单射，非满射
  2. 2满射，非单射
  3. 3双射
  4. 4都不是
5.图论中等

一个连通图有 7 个顶点和 11 条边。必须去掉多少条边 k 才能剩下一棵生成树？

|V| = 7|E| = 11
k =
6.图论困难
ABCDEF

长度为 3 且起点和终点都是 B 的闭途径有多少条？途径可以重复顶点和边。把这个数记作 N。

M = 邻接矩阵L = 3
N =
7.数论与模运算中等

求 18 模 83 的逆元：满足 0 < x < 83 且 18·x ≡ 1 (mod 83) 的数 x。

a = 18n = 83
18−1 mod 83 =
8.数论与模运算困难
mc = me​ mod n384m = cd​ mod n?(n, e) = (589, 17)d

某个 RSA 密钥使用 p = 19，q = 31，e = 17。解密密文 c = 384：求消息 m。

p = 19q = 31e = 17c = 384
m =

3溶液

1.命题逻辑与证明

答案: N = 2

真值表：含 n 个不同变量的公式有 2ⁿ 行，每一行对应真值的一种组合（1 = 真，0 = 假）。由内向外进行，给每个子公式单独一列。¬a 把值取反；a ∧ b 只有在两者都为 1 时才为 1；a ∨ b 只有在两者都为 0 时才为 0；a → b 只有在 a = 1 且 b = 0 时才为 0；a ↔ b 在两边相等时为 1。

逐行写出真值表

p = 1, q = 1, r = 1: p ∧ q = 1, ¬q = 0, ¬q ∧ r = 0, p ∨ r = 1, (¬q ∧ r) ∨ (p ∨ r) = 1, (p ∧ q) ∧ ((¬q ∧ r) ∨ (p ∨ r)) = 1
p = 1, q = 1, r = 0: p ∧ q = 1, ¬q = 0, ¬q ∧ r = 0, p ∨ r = 1, (¬q ∧ r) ∨ (p ∨ r) = 1, (p ∧ q) ∧ ((¬q ∧ r) ∨ (p ∨ r)) = 1
p = 1, q = 0, r = 1: p ∧ q = 0, ¬q = 1, ¬q ∧ r = 1, p ∨ r = 1, (¬q ∧ r) ∨ (p ∨ r) = 1, (p ∧ q) ∧ ((¬q ∧ r) ∨ (p ∨ r)) = 0
p = 1, q = 0, r = 0: p ∧ q = 0, ¬q = 1, ¬q ∧ r = 0, p ∨ r = 1, (¬q ∧ r) ∨ (p ∨ r) = 1, (p ∧ q) ∧ ((¬q ∧ r) ∨ (p ∨ r)) = 0
p = 0, q = 1, r = 1: p ∧ q = 0, ¬q = 0, ¬q ∧ r = 0, p ∨ r = 1, (¬q ∧ r) ∨ (p ∨ r) = 1, (p ∧ q) ∧ ((¬q ∧ r) ∨ (p ∨ r)) = 0
p = 0, q = 1, r = 0: p ∧ q = 0, ¬q = 0, ¬q ∧ r = 0, p ∨ r = 0, (¬q ∧ r) ∨ (p ∨ r) = 0, (p ∧ q) ∧ ((¬q ∧ r) ∨ (p ∨ r)) = 0
p = 0, q = 0, r = 1: p ∧ q = 0, ¬q = 1, ¬q ∧ r = 1, p ∨ r = 1, (¬q ∧ r) ∨ (p ∨ r) = 1, (p ∧ q) ∧ ((¬q ∧ r) ∨ (p ∨ r)) = 0
p = 0, q = 0, r = 0: p ∧ q = 0, ¬q = 1, ¬q ∧ r = 0, p ∨ r = 0, (¬q ∧ r) ∨ (p ∨ r) = 0, (p ∧ q) ∧ ((¬q ∧ r) ∨ (p ∨ r)) = 0

数出值为 1 的行数

(p ∧ q) ∧ ((¬q ∧ r) ∨ (p ∨ r)): 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0
N = 2

答案

N = 2
2.命题逻辑与证明

答案: ∃x ∃y (R(x, y) ∧ ¬R(y, x))

量词与论证：¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x)，¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)。把否定向内移动，交换它经过的每个量词，并用命题逻辑的定律否定内部的公式，例如 ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b。当所有前提为 1 的每一行中结论也为 1 时，论证是有效的。只要有一行前提为真而结论为假，它就是反例，说明论证无效。

把否定移到内部

¬∀x ∀y (R(x, y) → R(y, x)) ≡ ∃x ∃y (R(x, y) ∧ ¬R(y, x))

答案

∃x ∃y (R(x, y) ∧ ¬R(y, x))

其他选项要么保持某个量词不变，要么改变了量词的顺序，要么错误地否定了内部的公式。

3.集合、关系与函数

答案: |(M ∪ P)′| = 6

集合与维恩图：A ∪ B 包含属于 A 或 B（或两者）的元素，A ∩ B 包含同时属于两者的元素，A − B 包含属于 A 但不属于 B 的元素，补集 A′ 是 U 中不属于 A 的一切元素。在维恩图中，每个集合表达式都是若干区域的并集，所以要逐个区域地计数。容斥原理：|A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|，以及 |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|。

各个区域

M ∩ P: 9
M − P: 18 − 9 = 9
P − M: 16 − 9 = 7
(M ∪ P)′: 31 − (9 + 7 + 9) = 6

答案

|(M ∪ P)′| = 6

答案

|(M ∪ P)′| = 6
4.集合、关系与函数

答案: 双射

函数与计数：函数 f: A → B 使 A 中每个元素在 B 中恰有一个像。不同元素有不同的像时 f 是单射（一一映射），B 中每个元素都是像时是满射（映上），两者都成立时是双射。当 |A| = m，|B| = n 时，共有 nᵐ 个函数，n!/(n − m)! 个单射（m ≤ n），以及由容斥原理得到的 Σ (−1)ᵏ·C(n, k)·(n − k)ᵐ 个满射。|𝒫(A)| = 2ᵐ，|A × B| = m·n。

单射？

B 的每个元素至多被命中一次 → 单射

满射？

B 的每个元素都被命中 → 满射

答案

双射

答案

双射
5.图论

答案: k = 5

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

生成树的边数

7 − 1 = 6

要去掉的边数

k = 11 − 6 = 5

答案

k = 5
6.图论

答案: N = 2

度：顶点的度是与它相连的边的条数。每条边有两个端点，所以度数之和等于边数的两倍：Σ deg(v) = 2|E|（握手引理）。因此奇度顶点的个数是偶数。Kn 有 n(n − 1)/2 条边，n 个顶点的 k-正则图有 nk/2 条边，n 个顶点的树有 n − 1 条边。

邻接矩阵

A: 0 1 1 0 0 0
B: 1 0 0 1 1 0
C: 1 0 0 0 1 0
D: 0 1 0 0 1 1
E: 0 1 1 1 0 1
F: 0 0 0 1 1 0

再走一步

(M³)BB = 0·1 + 3·0 + 2·0 + 1·1 + 1·1 + 2·0 = 2

答案

N = 2
7.数论与模运算

答案: 18−1 mod 83 = 60

逆元与同余式：a 模 n 有逆元，当且仅当 gcd(a, n) = 1。扩展欧几里得算法把 1 写成 s·n + t·a，于是 a⁻¹ ≡ t (mod n)。当 gcd(a, n) = 1 时，同余式 a·x ≡ b (mod n) 的解为 x ≡ a⁻¹·b。模数互素的两个同余式 x ≡ r₁ (mod m₁) 和 x ≡ r₂ (mod m₂) 在模 m₁·m₂ 下有唯一解（中国剩余定理）。欧拉函数 φ(n) 表示 1 到 n 中与 n 互素的数的个数：φ(n) = n·∏(1 − 1/p)。

扩展欧几里得算法

每个余数 r 都写成 r ≡ t·18 (mod 83)。

r = 83, t = 0
r = 18, q = 4, t = 1
r = 11, q = 1, t = −4
r = 7, q = 1, t = 5
r = 4, q = 1, t = −9
r = 3, q = 1, t = 14
r = 1, q = 3, t = −23

逆矩阵

1 ≡ −23·18 (mod 83)
x = 60
校核: 18·60 = 1080 = 13·83 + 1

答案

18−1 mod 83 = 60
8.数论与模运算

答案: m = 518

模幂与 RSA：用反复平方法计算 aᵏ mod n：把 k 写成二进制，平方，每一步之后取模，并把对应二进制位为 1 的幂相乘。费马：对不整除 a 的素数 p，aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)，所以指数可以对 p − 1 取模。RSA：选取素数 p 和 q，n = p·q，φ(n) = (p − 1)(q − 1)；公钥指数 e 与 φ(n) 互素，私钥指数为 d = e⁻¹ mod φ(n)。用 c = mᵉ mod n 加密，用 m = cᵈ mod n 解密。

私钥指数

n = 589, φ(n) = 540
d = 17−1 mod 540 = 413

用反复平方法解密

413 = 256 + 128 + 16 + 8 + 4 + 1
3841 ≡ 384 (mod 589)
3842 ≡ 206 (mod 589)
3844 ≡ 28 (mod 589)
3848 ≡ 195 (mod 589)
38416 ≡ 329 (mod 589)
38432 ≡ 454 (mod 589)
38464 ≡ 555 (mod 589)
384128 ≡ 567 (mod 589)
384256 ≡ 484 (mod 589)
384413 ≡ 384·28·195·329·567·484 ≡ 518 (mod 589)

消息

m = 518
校核: 51817 mod 589 = 384

答案

m = 518

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