离散数学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

命题逻辑与证明

真值表的行数: 2ⁿ
蕴涵: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
蕴涵的否定: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
双条件: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
德摩根律: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
分配律: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
量词的否定: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
肯定前件，否定后件: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

方法

数一数不同变量的个数：真值表有 2ⁿ 行，从全为 1 的一行开始。
给每个子公式单独一列，由内向外逐列填写。
按各联结词的规则计算：→ 只有在 1 → 0 时为 0，↔ 在两边相同时为 1。
判断等价时，逐行比较最后一列；判断论证时，只看所有前提都为 1 的那些行。
否定带量词的命题时，把 ¬ 移到内部，交换 ∀ 和 ∃，并否定内部的公式。

集合、关系与函数

两个集合: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|
三个集合: |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|
差集与补集: A − B = A ∩ B′, |A′| = |U| − |A|
幂集与乘积集: |𝒫(A)| = 2^|A|, |A × B| = |A|·|B|
大小为 k 的子集: C(n, k) = n!/(k!(n − k)!)
函数 A → B: nᵐ; injective n!/(n − m)!; surjective Σ (−1)ᵏ C(n, k)(n − k)ᵐ
n 个元素上的关系: 2^n²; reflexive 2^{n² − n}; symmetric 2^n(n+1)/2
复合: (g ∘ f)(x) = g(f(x))

方法

画出维恩图，逐个区域判断它是否属于该集合表达式。
对于计数问题，从中心向外填写各区域：先是所有集合的交，再是两两的交，然后是单个集合，最后是外部。
用容斥原理进行检验：|A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|。
对于关系，对每一对元素检验各个性质，不成立时给出一个反例。
对于函数，数一数到达 B 中每个元素的箭头：至多一个表示单射，至少一个表示满射。

图论

握手引理: Σ deg(v) = 2|E|
完全图: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
正则图: |E| = n·k/2
树与森林: |E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉: 回路：所有顶点度数为偶数；通路：恰有 2 个奇度顶点
K_n 中的哈密顿回路: (n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径: (Mᴸ)_ij

方法

写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

数论与模运算

带余除法: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
欧几里得: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
最小公倍数: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
逆矩阵: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
线性同余方程: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
欧拉函数: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
费马: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

方法

先把每个数对 n 取模；余数在 0 到 n − 1 之间。
求最大公约数时，用欧几里得算法反复做除法；最后一个非零余数就是最大公约数。
求逆元时，运行扩展算法并保留 a 的系数；若为负数则加上 n。
解 a·x ≡ b 时，两边乘以 a⁻¹；合并两个同余式时，写成 x = r₁ + m₁k。
求幂时，把指数写成二进制并反复平方；在 RSA 中，d = e⁻¹ mod φ(n)，其中 φ(n) = (p − 1)(q − 1)。

2练习题

1.命题逻辑与证明中等

在其真值表的 8 行中，(¬b → ¬(a ∨ c)) ∧ (b → c) 在多少行为真？把这个数记作 N。

(¬b → ¬(a ∨ c)) ∧ (b → c)

N =

2.命题逻辑与证明困难

把否定完全移到内部之后，哪个命题与 ¬∃x (A(x) → B(x)) 等价？点选它。

¬∃x (A(x) → B(x))

1∃x (A(x) ∧ ¬B(x))
2∀x (¬A(x) → ¬B(x))
3∀x (A(x) ∧ ¬B(x))
4∀x (A(x) → ¬B(x))

3.集合、关系与函数中等

在 67 名一年级学生中，35 人通过了数学 (M)，35 人通过了物理 (P)，10 人两门都通过了。有多少属于 M 但不属于 P？

|U| = 67|M| = 35|P| = 35|M ∩ P| = 10

|M − P| =

4.集合、关系与函数困难

{1, …, 7} 上的等价关系 R 有类 {1, 2, 5, 6}, {4, 7}, {3}。R 含有多少个有序对？把这个数记作 |R|。

{1, 2, 5, 6}{4, 7}{3}

|R| =

5.图论中等

这个连通图有欧拉回路、有不是回路的欧拉通路，还是两者都没有？点选你的答案。

|V| = 6|E| = 7

1欧拉回路
2有欧拉通路，无回路
3都不是

6.图论困难

用迪杰斯特拉算法求带权图中从 A 到 G 的最短路径的长度 d(G)。

起点：A终点：G

d(G) =

7.数论与模运算中等

求 41 模 54 的逆元：满足 0 < x < 54 且 41·x ≡ 1 (mod 54) 的数 x。

a = 41n = 54

41⁻¹ mod 54 =

8.数论与模运算困难

用 RSA 公钥 (n, e) = (91, 7) 加密消息 m = 59。求密文 c。

n = 91e = 7m = 59

c =

3溶液

1.命题逻辑与证明

答案: N = 3

真值表：含 n 个不同变量的公式有 2ⁿ 行，每一行对应真值的一种组合（1 = 真，0 = 假）。由内向外进行，给每个子公式单独一列。¬a 把值取反；a ∧ b 只有在两者都为 1 时才为 1；a ∨ b 只有在两者都为 0 时才为 0；a → b 只有在 a = 1 且 b = 0 时才为 0；a ↔ b 在两边相等时为 1。

逐行写出真值表

a = 1, b = 1, c = 1: ¬b = 0, a ∨ c = 1, ¬(a ∨ c) = 0, ¬b → ¬(a ∨ c) = 1, b → c = 1, (¬b → ¬(a ∨ c)) ∧ (b → c) = 1

a = 1, b = 1, c = 0: ¬b = 0, a ∨ c = 1, ¬(a ∨ c) = 0, ¬b → ¬(a ∨ c) = 1, b → c = 0, (¬b → ¬(a ∨ c)) ∧ (b → c) = 0

a = 1, b = 0, c = 1: ¬b = 1, a ∨ c = 1, ¬(a ∨ c) = 0, ¬b → ¬(a ∨ c) = 0, b → c = 1, (¬b → ¬(a ∨ c)) ∧ (b → c) = 0

a = 1, b = 0, c = 0: ¬b = 1, a ∨ c = 1, ¬(a ∨ c) = 0, ¬b → ¬(a ∨ c) = 0, b → c = 1, (¬b → ¬(a ∨ c)) ∧ (b → c) = 0

a = 0, b = 1, c = 1: ¬b = 0, a ∨ c = 1, ¬(a ∨ c) = 0, ¬b → ¬(a ∨ c) = 1, b → c = 1, (¬b → ¬(a ∨ c)) ∧ (b → c) = 1

a = 0, b = 1, c = 0: ¬b = 0, a ∨ c = 0, ¬(a ∨ c) = 1, ¬b → ¬(a ∨ c) = 1, b → c = 0, (¬b → ¬(a ∨ c)) ∧ (b → c) = 0

a = 0, b = 0, c = 1: ¬b = 1, a ∨ c = 1, ¬(a ∨ c) = 0, ¬b → ¬(a ∨ c) = 0, b → c = 1, (¬b → ¬(a ∨ c)) ∧ (b → c) = 0

a = 0, b = 0, c = 0: ¬b = 1, a ∨ c = 0, ¬(a ∨ c) = 1, ¬b → ¬(a ∨ c) = 1, b → c = 1, (¬b → ¬(a ∨ c)) ∧ (b → c) = 1

数出值为 1 的行数

(¬b → ¬(a ∨ c)) ∧ (b → c): 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1

N = 3

答案

N = 3

2.命题逻辑与证明

答案: ∀x (A(x) ∧ ¬B(x))

量词与论证：¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x)，¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)。把否定向内移动，交换它经过的每个量词，并用命题逻辑的定律否定内部的公式，例如 ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b。当所有前提为 1 的每一行中结论也为 1 时，论证是有效的。只要有一行前提为真而结论为假，它就是反例，说明论证无效。

把否定移到内部

¬∃x (A(x) → B(x)) ≡ ∀x (A(x) ∧ ¬B(x))

答案

∀x (A(x) ∧ ¬B(x))

其他选项要么保持某个量词不变，要么改变了量词的顺序，要么错误地否定了内部的公式。

3.集合、关系与函数

答案: |M − P| = 25

集合与维恩图：A ∪ B 包含属于 A 或 B（或两者）的元素，A ∩ B 包含同时属于两者的元素，A − B 包含属于 A 但不属于 B 的元素，补集 A′ 是 U 中不属于 A 的一切元素。在维恩图中，每个集合表达式都是若干区域的并集，所以要逐个区域地计数。容斥原理：|A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|，以及 |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|。

各个区域

M ∩ P: 10

M − P: 35 − 10 = 25

P − M: 35 − 10 = 25

(M ∪ P)′: 67 − (25 + 25 + 10) = 7

答案

|M − P| = 25

答案

|M − P| = 25

4.集合、关系与函数

答案: |R| = 21

关系：集合 X 上的关系 R 是由有序对 (x, y) 组成的集合。若对 X 中每个 x 都有 (x, x) ∈ R，则 R 是自反的；若 (x, y) ∈ R 时总有 (y, x) ∈ R，则是对称的；若 (x, y) 和 (y, x) 同时属于 R 仅当 x = y，则是反对称的；若 R 中的 (x, y) 和 (y, z) 必然导出 (x, z) ∈ R，则是传递的。等价关系是自反、对称且传递的，它把 X 分成互不相交的类。

每个类的序对数

|R| = 4² + 2² + 1² = 21

答案

|R| = 21

5.图论

答案: 欧拉回路

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；K_n 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

度

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2, deg(F) = 2

奇度顶点

欧拉回路

答案

欧拉回路

6.图论

答案: d(G) = 17

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

迪杰斯特拉算法逐轮过程

每一行：被确定的顶点、它的最终距离，以及距离得到改进的邻点。

A (0): C: 13

C (13): B: 21, G: 17

G (17): E: 26

B (21): D: 22

D (22): E: 25, F: 37

E (25): F: 27

F (27)

最短路径

A → C → G

d(G) = 17

答案

d(G) = 17

7.数论与模运算

答案: 41⁻¹ mod 54 = 29

逆元与同余式：a 模 n 有逆元，当且仅当 gcd(a, n) = 1。扩展欧几里得算法把 1 写成 s·n + t·a，于是 a⁻¹ ≡ t (mod n)。当 gcd(a, n) = 1 时，同余式 a·x ≡ b (mod n) 的解为 x ≡ a⁻¹·b。模数互素的两个同余式 x ≡ r₁ (mod m₁) 和 x ≡ r₂ (mod m₂) 在模 m₁·m₂ 下有唯一解（中国剩余定理）。欧拉函数 φ(n) 表示 1 到 n 中与 n 互素的数的个数：φ(n) = n·∏(1 − 1/p)。

扩展欧几里得算法

每个余数 r 都写成 r ≡ t·41 (mod 54)。

r = 54, t = 0

r = 41, q = 1, t = 1

r = 13, q = 3, t = −1

r = 2, q = 6, t = 4

r = 1, q = 2, t = −25

逆矩阵

1 ≡ −25·41 (mod 54)

x = 29

校核: 41·29 = 1189 = 22·54 + 1

答案

41⁻¹ mod 54 = 29

8.数论与模运算

答案: c = 45

模幂与 RSA：用反复平方法计算 aᵏ mod n：把 k 写成二进制，平方，每一步之后取模，并把对应二进制位为 1 的幂相乘。费马：对不整除 a 的素数 p，aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)，所以指数可以对 p − 1 取模。RSA：选取素数 p 和 q，n = p·q，φ(n) = (p − 1)(q − 1)；公钥指数 e 与 φ(n) 互素，私钥指数为 d = e⁻¹ mod φ(n)。用 c = mᵉ mod n 加密，用 m = cᵈ mod n 解密。

反复平方

7 = 4 + 2 + 1

59¹ ≡ 59 (mod 91)

59² ≡ 23 (mod 91)

59⁴ ≡ 74 (mod 91)

59⁷ ≡ 59·23·74 ≡ 45 (mod 91)

密文

c = 45

答案

c = 45

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