离散数学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

命题逻辑与证明

真值表的行数: 2ⁿ
蕴涵: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
蕴涵的否定: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
双条件: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
德摩根律: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
分配律: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
量词的否定: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
肯定前件，否定后件: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

方法

数一数不同变量的个数：真值表有 2ⁿ 行，从全为 1 的一行开始。
给每个子公式单独一列，由内向外逐列填写。
按各联结词的规则计算：→ 只有在 1 → 0 时为 0，↔ 在两边相同时为 1。
判断等价时，逐行比较最后一列；判断论证时，只看所有前提都为 1 的那些行。
否定带量词的命题时，把 ¬ 移到内部，交换 ∀ 和 ∃，并否定内部的公式。

集合、关系与函数

两个集合: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|
三个集合: |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|
差集与补集: A − B = A ∩ B′, |A′| = |U| − |A|
幂集与乘积集: |𝒫(A)| = 2^|A|, |A × B| = |A|·|B|
大小为 k 的子集: C(n, k) = n!/(k!(n − k)!)
函数 A → B: nᵐ; injective n!/(n − m)!; surjective Σ (−1)ᵏ C(n, k)(n − k)ᵐ
n 个元素上的关系: 2^n²; reflexive 2^{n² − n}; symmetric 2^n(n+1)/2
复合: (g ∘ f)(x) = g(f(x))

方法

画出维恩图，逐个区域判断它是否属于该集合表达式。
对于计数问题，从中心向外填写各区域：先是所有集合的交，再是两两的交，然后是单个集合，最后是外部。
用容斥原理进行检验：|A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|。
对于关系，对每一对元素检验各个性质，不成立时给出一个反例。
对于函数，数一数到达 B 中每个元素的箭头：至多一个表示单射，至少一个表示满射。

图论

握手引理: Σ deg(v) = 2|E|
完全图: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
正则图: |E| = n·k/2
树与森林: |E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉: 回路：所有顶点度数为偶数；通路：恰有 2 个奇度顶点
K_n 中的哈密顿回路: (n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径: (Mᴸ)_ij

方法

写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

数论与模运算

带余除法: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
欧几里得: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
最小公倍数: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
逆矩阵: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
线性同余方程: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
欧拉函数: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
费马: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

方法

先把每个数对 n 取模；余数在 0 到 n − 1 之间。
求最大公约数时，用欧几里得算法反复做除法；最后一个非零余数就是最大公约数。
求逆元时，运行扩展算法并保留 a 的系数；若为负数则加上 n。
解 a·x ≡ b 时，两边乘以 a⁻¹；合并两个同余式时，写成 x = r₁ + m₁k。
求幂时，把指数写成二进制并反复平方；在 RSA 中，d = e⁻¹ mod φ(n)，其中 φ(n) = (p − 1)(q − 1)。

2练习题

1.命题逻辑与证明中等

你想用逆否证明来证明 q → (p ∧ r)。你要改为证明哪个蕴涵？点选它。

q → (p ∧ r)

1(p ∧ r) → q
2q ∧ ¬(p ∧ r)
3¬(p ∧ r) → ¬q
4¬q → ¬(p ∧ r)

2.命题逻辑与证明困难

已知前提 r → p; p → q。由它们可以推出哪个结论？点选它。

r → pp → q

1r → q
2¬r → ¬q
3r ∧ q
4q → r

3.集合、关系与函数中等

一项对 52 人的调查发现，19 人拥有笔记本电脑 (L)，26 人拥有平板电脑 (T)，31 人拥有智能手表 (W)。13 人拥有 L 和 T，9 人拥有 L 和 W，18 人拥有 T 和 W，6 人三者都有。有多少恰好属于三个集合中的一个？把这个数记作 n。

|U| = 52

n =

4.集合、关系与函数困难

含 4 个元素的集合上共有多少个对称关系？把这个数记作 N。

|X| = 4

N =

5.图论中等

这个连通图有欧拉回路、有不是回路的欧拉通路，还是两者都没有？点选你的答案。

|V| = 5|E| = 5

1欧拉回路
2有欧拉通路，无回路
3都不是

6.图论困难

求带权图的最小生成树的总权重 W。

|V| = 7|E| = 11

W =

7.数论与模运算中等

求 50 模 71 的逆元：满足 0 < x < 71 且 50·x ≡ 1 (mod 71) 的数 x。

a = 50n = 71

50⁻¹ mod 71 =

8.数论与模运算困难

在 {0, 1, …, 61} 中，42x ≡ 8 (mod 62) 有多少个解 N？

42x ≡ 8 (mod 62)

N =

3溶液

1.命题逻辑与证明

答案: ¬(p ∧ r) → ¬q

逻辑等价：两个公式在真值表的每一行取值都相同时，它们是等价（≡）的。重言式在每一行都为 1，矛盾式在每一行都为 0，偶然式则两者都不是。常用定律：德摩根律，¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b 和 ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b；a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a（逆否命题）；¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b；以及分配律，a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)。

蕴涵的各个部分

a = q, b = p ∧ r

逆否命题

¬b → ¬a = ¬(p ∧ r) → ¬q

答案

¬(p ∧ r) → ¬q

逆否命题与原命题等价，所以证明了它就证明了原命题。

2.命题逻辑与证明

答案: r → q

量词与论证：¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x)，¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)。把否定向内移动，交换它经过的每个量词，并用命题逻辑的定律否定内部的公式，例如 ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b。当所有前提为 1 的每一行中结论也为 1 时，论证是有效的。只要有一行前提为真而结论为假，它就是反例，说明论证无效。

所有前提都为真的行

p = 1, q = 1, r = 1: r → q = 1, ¬r → ¬q = 1, r ∧ q = 1, q → r = 1

p = 1, q = 1, r = 0: r → q = 1, ¬r → ¬q = 0, r ∧ q = 0, q → r = 0

p = 0, q = 1, r = 0: r → q = 1, ¬r → ¬q = 0, r ∧ q = 0, q → r = 0

p = 0, q = 0, r = 0: r → q = 1, ¬r → ¬q = 1, r ∧ q = 0, q → r = 1

结论

r → q (假言三段论)

答案

r → q

3.集合、关系与函数

答案: n = 14

集合与维恩图：A ∪ B 包含属于 A 或 B（或两者）的元素，A ∩ B 包含同时属于两者的元素，A − B 包含属于 A 但不属于 B 的元素，补集 A′ 是 U 中不属于 A 的一切元素。在维恩图中，每个集合表达式都是若干区域的并集，所以要逐个区域地计数。容斥原理：|A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|，以及 |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|。

中心与两两交

L ∩ T ∩ W: 6

L ∩ T 仅: 13 − 6 = 7

L ∩ W 仅: 9 − 6 = 3

T ∩ W 仅: 18 − 6 = 12

单个集合

L 仅: 19 − 7 − 3 − 6 = 3

T 仅: 26 − 7 − 12 − 6 = 1

W 仅: 31 − 3 − 12 − 6 = 10

答案

3 + 1 + 10 = 14

答案

n = 14

4.集合、关系与函数

答案: N = 1024

关系：集合 X 上的关系 R 是由有序对 (x, y) 组成的集合。若对 X 中每个 x 都有 (x, x) ∈ R，则 R 是自反的；若 (x, y) ∈ R 时总有 (y, x) ∈ R，则是对称的；若 (x, y) 和 (y, x) 同时属于 R 仅当 x = y，则是反对称的；若 R 中的 (x, y) 和 (y, z) 必然导出 (x, z) ∈ R，则是传递的。等价关系是自反、对称且传递的，它把 X 分成互不相交的类。

数出自由选择的个数

N = 2^{4 + 6} = 1024

答案

N = 1024

5.图论

答案: 欧拉回路

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；K_n 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

度

deg(A) = 2, deg(B) = 2, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

奇度顶点

欧拉回路

答案

欧拉回路

6.图论

答案: W = 37

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

克鲁斯卡尔算法

CE (1): 取

GB (3): 取

GC (4): 取

EF (8): 取

GE (9): 跳过，会形成圈

DF (10): 取

AC (11): 取

总权重

W = 1 + 3 + 4 + 8 + 10 + 11 = 37

答案

W = 37

7.数论与模运算

答案: 50⁻¹ mod 71 = 27

逆元与同余式：a 模 n 有逆元，当且仅当 gcd(a, n) = 1。扩展欧几里得算法把 1 写成 s·n + t·a，于是 a⁻¹ ≡ t (mod n)。当 gcd(a, n) = 1 时，同余式 a·x ≡ b (mod n) 的解为 x ≡ a⁻¹·b。模数互素的两个同余式 x ≡ r₁ (mod m₁) 和 x ≡ r₂ (mod m₂) 在模 m₁·m₂ 下有唯一解（中国剩余定理）。欧拉函数 φ(n) 表示 1 到 n 中与 n 互素的数的个数：φ(n) = n·∏(1 − 1/p)。

扩展欧几里得算法

每个余数 r 都写成 r ≡ t·50 (mod 71)。

r = 71, t = 0

r = 50, q = 1, t = 1

r = 21, q = 2, t = −1

r = 8, q = 2, t = 3

r = 5, q = 1, t = −7

r = 3, q = 1, t = 10

r = 2, q = 1, t = −17

r = 1, q = 2, t = 27

逆矩阵

1 ≡ 27·50 (mod 71)

x = 27

校核: 50·27 = 1350 = 19·71 + 1

答案

50⁻¹ mod 71 = 27

8.数论与模运算

答案: N = 2

除以最大公约数

gcd(42, 62) = 2

21x ≡ 4 (mod 31)

解化简后的同余式

21⁻¹ ≡ 3 (mod 31) → x ≡ 12 (mod 31)

模 62 下的解

x ∈ {12, 43}

N = 2

答案

N = 2

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