离散数学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

命题逻辑与证明

真值表的行数
2ⁿ
蕴涵
p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
蕴涵的否定
¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
双条件
p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
德摩根律
¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
分配律
p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
量词的否定
¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
肯定前件，否定后件
p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

方法

  1. 数一数不同变量的个数：真值表有 2ⁿ 行，从全为 1 的一行开始。
  2. 给每个子公式单独一列，由内向外逐列填写。
  3. 按各联结词的规则计算：→ 只有在 1 → 0 时为 0，↔ 在两边相同时为 1。
  4. 判断等价时，逐行比较最后一列；判断论证时，只看所有前提都为 1 的那些行。
  5. 否定带量词的命题时，把 ¬ 移到内部，交换 ∀ 和 ∃，并否定内部的公式。

集合、关系与函数

两个集合
|A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|
三个集合
|A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|
差集与补集
A − B = A ∩ B′, |A′| = |U| − |A|
幂集与乘积集
|𝒫(A)| = 2|A|, |A × B| = |A|·|B|
大小为 k 的子集
C(n, k) = n!/(k!(n − k)!)
函数 A → B
nᵐ; injective n!/(n − m)!; surjective Σ (−1)ᵏ C(n, k)(n − k)ᵐ
n 个元素上的关系
2n²; reflexive 2n² − n; symmetric 2n(n+1)/2
复合
(g ∘ f)(x) = g(f(x))

方法

  1. 画出维恩图，逐个区域判断它是否属于该集合表达式。
  2. 对于计数问题，从中心向外填写各区域：先是所有集合的交，再是两两的交，然后是单个集合，最后是外部。
  3. 用容斥原理进行检验：|A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|。
  4. 对于关系，对每一对元素检验各个性质，不成立时给出一个反例。
  5. 对于函数，数一数到达 B 中每个元素的箭头：至多一个表示单射，至少一个表示满射。

图论

握手引理
Σ deg(v) = 2|E|
完全图
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正则图
|E| = n·k/2
树与森林
|E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉
回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
Kn 中的哈密顿回路
(n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径
(Mᴸ)ij

方法

  1. 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
  2. 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
  3. 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
  4. 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
  5. 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

数论与模运算

带余除法
a = q·n + r, 0 ≤ r < n
欧几里得
gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
最小公倍数
lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
逆矩阵
a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
线性同余方程
a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
欧拉函数
φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
费马
aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA
n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

方法

  1. 先把每个数对 n 取模；余数在 0 到 n − 1 之间。
  2. 求最大公约数时，用欧几里得算法反复做除法；最后一个非零余数就是最大公约数。
  3. 求逆元时，运行扩展算法并保留 a 的系数；若为负数则加上 n。
  4. 解 a·x ≡ b 时，两边乘以 a⁻¹；合并两个同余式时，写成 x = r₁ + m₁k。
  5. 求幂时，把指数写成二进制并反复平方；在 RSA 中，d = e⁻¹ mod φ(n)，其中 φ(n) = (p − 1)(q − 1)。

2练习题

1.命题逻辑与证明中等
¬c ∨ b¬c ∧ b¬c → ¬bb → c

哪个公式与 c → b 在逻辑上等价？点选它。

c → b
  1. 1¬c ∨ b
  2. 2¬c ∧ b
  3. 3¬c → ¬b
  4. 4b → c
2.命题逻辑与证明困难
∀x (¬P(x) ∨ ¬Q(x))∀x (¬P(x) ∧ ¬Q(x))∃x (¬P(x) ∨ ¬Q(x))∃x (¬P(x) ∧ ¬Q(x))

把否定完全移到内部之后，哪个命题与 ¬∀x (P(x) ∨ Q(x)) 等价？点选它。

¬∀x (P(x) ∨ Q(x))
  1. 1∀x (¬P(x) ∨ ¬Q(x))
  2. 2∀x (¬P(x) ∧ ¬Q(x))
  3. 3∃x (¬P(x) ∨ ¬Q(x))
  4. 4∃x (¬P(x) ∧ ¬Q(x))
3.集合、关系与函数中等
UABC12345678

维恩图中恰有一个区域是集合 (A′ ∪ B) ∩ (C′ ∩ A)。点选它的编号。

(A′ ∪ B) ∩ (C′ ∩ A)
  1. 1区域 1
  2. 2区域 2
  3. 3区域 3
  4. 4区域 4
  5. 5区域 5
  6. 6区域 6
  7. 7区域 7
  8. 8区域 8
4.集合、关系与函数困难

含 3 个元素的集合上共有多少个对称关系？ 把这个数记作 N。

|X| = 3
N =
5.图论中等

一个连通图有 19 个顶点和 23 条边。必须去掉多少条边 k 才能剩下一棵生成树？

|V| = 19|E| = 23
k =
6.图论困难
676999824ABCDEFG

用迪杰斯特拉算法求带权图中从 A 到 G 的最短路径的长度 d(G)。

起点：A终点：G
d(G) =
7.数论与模运算中等

求 41 模 79 的逆元：满足 0 < x < 79 且 41·x ≡ 1 (mod 79) 的数 x。

a = 41n = 79
41−1 mod 79 =
8.数论与模运算困难

解 22x ≡ 10 (mod 34)。给出最小的正解 x。

22x ≡ 10 (mod 34)
x =

3溶液

1.命题逻辑与证明

答案: ¬c ∨ b

逻辑等价：两个公式在真值表的每一行取值都相同时，它们是等价（≡）的。重言式在每一行都为 1，矛盾式在每一行都为 0，偶然式则两者都不是。常用定律：德摩根律，¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b 和 ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b；a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a（逆否命题）；¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b；以及分配律，a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)。

定律

a → b 只有在 a = 1 且 b = 0 时才为 0，所以它与 ¬a ∨ b 相同。
c → b ≡ ¬c ∨ b

用真值表检验

b = 1, c = 1: 1 | 1 0 1 1
b = 1, c = 0: 1 | 1 1 0 0
b = 0, c = 1: 0 | 0 0 1 1
b = 0, c = 0: 1 | 1 0 1 1

答案

¬c ∨ b

竖线之后的各列是按所示顺序排列的各个选项。

2.命题逻辑与证明

答案: ∃x (¬P(x) ∧ ¬Q(x))

量词与论证：¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x)，¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)。把否定向内移动，交换它经过的每个量词，并用命题逻辑的定律否定内部的公式，例如 ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b。当所有前提为 1 的每一行中结论也为 1 时，论证是有效的。只要有一行前提为真而结论为假，它就是反例，说明论证无效。

把否定移到内部

¬∀x (P(x) ∨ Q(x)) ≡ ∃x (¬P(x) ∧ ¬Q(x))

答案

∃x (¬P(x) ∧ ¬Q(x))

其他选项要么保持某个量词不变，要么改变了量词的顺序，要么错误地否定了内部的公式。

3.集合、关系与函数

答案: 区域 8

集合与维恩图：A ∪ B 包含属于 A 或 B（或两者）的元素，A ∩ B 包含同时属于两者的元素，A − B 包含属于 A 但不属于 B 的元素，补集 A′ 是 U 中不属于 A 的一切元素。在维恩图中，每个集合表达式都是若干区域的并集，所以要逐个区域地计数。容斥原理：|A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|，以及 |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|。

在每个集合之内还是之外

A ∩ B ∩ C′

该区域

区域 8

答案

区域 8
4.集合、关系与函数

答案: N = 64

关系：集合 X 上的关系 R 是由有序对 (x, y) 组成的集合。若对 X 中每个 x 都有 (x, x) ∈ R，则 R 是自反的；若 (x, y) ∈ R 时总有 (y, x) ∈ R，则是对称的；若 (x, y) 和 (y, x) 同时属于 R 仅当 x = y，则是反对称的；若 R 中的 (x, y) 和 (y, z) 必然导出 (x, z) ∈ R，则是传递的。等价关系是自反、对称且传递的，它把 X 分成互不相交的类。

数出自由选择的个数

N = 23 + 3 = 64

答案

N = 64
5.图论

答案: k = 5

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

生成树的边数

19 − 1 = 18

要去掉的边数

k = 23 − 18 = 5

答案

k = 5
6.图论

答案: d(G) = 14

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

迪杰斯特拉算法逐轮过程

每一行：被确定的顶点、它的最终距离，以及距离得到改进的邻点。

A (0): B: 6
B (6): C: 13, D: 12, G: 14
D (12): E: 21, F: 21
C (13)
G (14): E: 18
E (18)
F (21)

最短路径

A → B → G
d(G) = 14

答案

d(G) = 14
7.数论与模运算

答案: 41−1 mod 79 = 27

逆元与同余式：a 模 n 有逆元，当且仅当 gcd(a, n) = 1。扩展欧几里得算法把 1 写成 s·n + t·a，于是 a⁻¹ ≡ t (mod n)。当 gcd(a, n) = 1 时，同余式 a·x ≡ b (mod n) 的解为 x ≡ a⁻¹·b。模数互素的两个同余式 x ≡ r₁ (mod m₁) 和 x ≡ r₂ (mod m₂) 在模 m₁·m₂ 下有唯一解（中国剩余定理）。欧拉函数 φ(n) 表示 1 到 n 中与 n 互素的数的个数：φ(n) = n·∏(1 − 1/p)。

扩展欧几里得算法

每个余数 r 都写成 r ≡ t·41 (mod 79)。

r = 79, t = 0
r = 41, q = 1, t = 1
r = 38, q = 1, t = −1
r = 3, q = 12, t = 2
r = 2, q = 1, t = −25
r = 1, q = 2, t = 27

逆矩阵

1 ≡ 27·41 (mod 79)
x = 27
校核: 41·27 = 1107 = 14·79 + 1

答案

41−1 mod 79 = 27
8.数论与模运算

答案: x = 2

逆元与同余式：a 模 n 有逆元，当且仅当 gcd(a, n) = 1。扩展欧几里得算法把 1 写成 s·n + t·a，于是 a⁻¹ ≡ t (mod n)。当 gcd(a, n) = 1 时，同余式 a·x ≡ b (mod n) 的解为 x ≡ a⁻¹·b。模数互素的两个同余式 x ≡ r₁ (mod m₁) 和 x ≡ r₂ (mod m₂) 在模 m₁·m₂ 下有唯一解（中国剩余定理）。欧拉函数 φ(n) 表示 1 到 n 中与 n 互素的数的个数：φ(n) = n·∏(1 − 1/p)。

除以最大公约数

gcd(22, 34) = 2
11x ≡ 5 (mod 17)

解化简后的同余式

11−1 ≡ 14 (mod 17) → x ≡ 2 (mod 17)

模 34 下的解

x ∈ {2, 19}
x = 2

答案

x = 2

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