离散数学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

命题逻辑与证明

真值表的行数
2ⁿ
蕴涵
p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
蕴涵的否定
¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
双条件
p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
德摩根律
¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
分配律
p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
量词的否定
¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
肯定前件，否定后件
p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

方法

  1. 数一数不同变量的个数：真值表有 2ⁿ 行，从全为 1 的一行开始。
  2. 给每个子公式单独一列，由内向外逐列填写。
  3. 按各联结词的规则计算：→ 只有在 1 → 0 时为 0，↔ 在两边相同时为 1。
  4. 判断等价时，逐行比较最后一列；判断论证时，只看所有前提都为 1 的那些行。
  5. 否定带量词的命题时，把 ¬ 移到内部，交换 ∀ 和 ∃，并否定内部的公式。

集合、关系与函数

两个集合
|A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|
三个集合
|A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|
差集与补集
A − B = A ∩ B′, |A′| = |U| − |A|
幂集与乘积集
|𝒫(A)| = 2|A|, |A × B| = |A|·|B|
大小为 k 的子集
C(n, k) = n!/(k!(n − k)!)
函数 A → B
nᵐ; injective n!/(n − m)!; surjective Σ (−1)ᵏ C(n, k)(n − k)ᵐ
n 个元素上的关系
2n²; reflexive 2n² − n; symmetric 2n(n+1)/2
复合
(g ∘ f)(x) = g(f(x))

方法

  1. 画出维恩图，逐个区域判断它是否属于该集合表达式。
  2. 对于计数问题，从中心向外填写各区域：先是所有集合的交，再是两两的交，然后是单个集合，最后是外部。
  3. 用容斥原理进行检验：|A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|。
  4. 对于关系，对每一对元素检验各个性质，不成立时给出一个反例。
  5. 对于函数，数一数到达 B 中每个元素的箭头：至多一个表示单射，至少一个表示满射。

图论

握手引理
Σ deg(v) = 2|E|
完全图
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正则图
|E| = n·k/2
树与森林
|E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉
回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
Kn 中的哈密顿回路
(n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径
(Mᴸ)ij

方法

  1. 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
  2. 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
  3. 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
  4. 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
  5. 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

数论与模运算

带余除法
a = q·n + r, 0 ≤ r < n
欧几里得
gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
最小公倍数
lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
逆矩阵
a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
线性同余方程
a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
欧拉函数
φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
费马
aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA
n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

方法

  1. 先把每个数对 n 取模；余数在 0 到 n − 1 之间。
  2. 求最大公约数时，用欧几里得算法反复做除法；最后一个非零余数就是最大公约数。
  3. 求逆元时，运行扩展算法并保留 a 的系数；若为负数则加上 n。
  4. 解 a·x ≡ b 时，两边乘以 a⁻¹；合并两个同余式时，写成 x = r₁ + m₁k。
  5. 求幂时，把指数写成二进制并反复平方；在 RSA 中，d = e⁻¹ mod φ(n)，其中 φ(n) = (p − 1)(q − 1)。

2练习题

1.命题逻辑与证明中等
重言式矛盾式偶然式

(a → b) ∨ (b → a) 是重言式、矛盾式还是偶然式？点选你的答案。

(a → b) ∨ (b → a)
  1. 1重言式
  2. 2矛盾式
  3. 3偶然式
2.命题逻辑与证明困难
∃x ∃y (R(x, y) → ¬R(y, x))∃x ∃y (¬R(x, y) ∧ ¬R(y, x))∃x ∃y (R(x, y) ∧ ¬R(y, x))∀x ∀y (R(x, y) ∧ ¬R(y, x))

把否定完全移到内部之后，哪个命题与 ¬∀x ∀y (R(x, y) → R(y, x)) 等价？点选它。

¬∀x ∀y (R(x, y) → R(y, x))
  1. 1∃x ∃y (R(x, y) → ¬R(y, x))
  2. 2∃x ∃y (¬R(x, y) ∧ ¬R(y, x))
  3. 3∃x ∃y (R(x, y) ∧ ¬R(y, x))
  4. 4∀x ∀y (R(x, y) ∧ ¬R(y, x))
3.集合、关系与函数中等
ULTW

一项对 58 人的调查发现，28 人拥有笔记本电脑 (L)，36 人拥有平板电脑 (T)，29 人拥有智能手表 (W)。12 人拥有 L 和 T，16 人拥有 L 和 W，14 人拥有 T 和 W，2 人三者都有。 有多少只属于 L？

|U| = 58
|L − (T ∪ W)| =
4.集合、关系与函数困难
AB123abc单射，非满射满射，非单射双射都不是

箭头图表示函数 f: A → B，其中 A = {1, 2, 3}，B = {a, b, c}。点选与 f 相符的描述。

f = {(1, b), (2, a), (3, c)}
  1. 1单射，非满射
  2. 2满射，非单射
  3. 3双射
  4. 4都不是
5.图论中等

一棵树有 2 个度为 3 的顶点, 2 个度为 4 的顶点, 2 个度为 5 的顶点，其余所有顶点都是叶子（度为 1）。它有多少片叶子 L？

2 × deg 32 × deg 42 × deg 5
L =
6.图论困难
2014975181716ABCDEF

克鲁斯卡尔算法构造最小生成树。点选它加入的第 2 条边；被跳过的边不计。

k = 2
  1. 1边 AB
  2. 2边 AC
  3. 3边 BC
  4. 4边 BD
  5. 5边 CE
  6. 6边 DE
  7. 7边 DF
  8. 8边 EF
  9. 9边 BE
7.数论与模运算中等

求 47 模 59 的逆元：满足 0 < x < 59 且 47·x ≡ 1 (mod 59) 的数 x。

a = 47n = 59
47−1 mod 59 =
8.数论与模运算困难

用反复平方法求 22174 mod 73。

a = 22k = 174n = 73
22174 mod 73 =

3溶液

1.命题逻辑与证明

答案: 重言式

逻辑等价：两个公式在真值表的每一行取值都相同时，它们是等价（≡）的。重言式在每一行都为 1，矛盾式在每一行都为 0，偶然式则两者都不是。常用定律：德摩根律，¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b 和 ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b；a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a（逆否命题）；¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b；以及分配律，a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)。

逐行写出真值表

a = 1, b = 1: a → b = 1, b → a = 1, (a → b) ∨ (b → a) = 1
a = 1, b = 0: a → b = 0, b → a = 1, (a → b) ∨ (b → a) = 1
a = 0, b = 1: a → b = 1, b → a = 0, (a → b) ∨ (b → a) = 1
a = 0, b = 0: a → b = 1, b → a = 1, (a → b) ∨ (b → a) = 1

分类

(a → b) ∨ (b → a): 1, 1, 1, 1
每一行都是 1：重言式。

答案

重言式
2.命题逻辑与证明

答案: ∃x ∃y (R(x, y) ∧ ¬R(y, x))

量词与论证：¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x)，¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)。把否定向内移动，交换它经过的每个量词，并用命题逻辑的定律否定内部的公式，例如 ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b。当所有前提为 1 的每一行中结论也为 1 时，论证是有效的。只要有一行前提为真而结论为假，它就是反例，说明论证无效。

把否定移到内部

¬∀x ∀y (R(x, y) → R(y, x)) ≡ ∃x ∃y (R(x, y) ∧ ¬R(y, x))

答案

∃x ∃y (R(x, y) ∧ ¬R(y, x))

其他选项要么保持某个量词不变，要么改变了量词的顺序，要么错误地否定了内部的公式。

3.集合、关系与函数

答案: |L − (T ∪ W)| = 2

集合与维恩图：A ∪ B 包含属于 A 或 B（或两者）的元素，A ∩ B 包含同时属于两者的元素，A − B 包含属于 A 但不属于 B 的元素，补集 A′ 是 U 中不属于 A 的一切元素。在维恩图中，每个集合表达式都是若干区域的并集，所以要逐个区域地计数。容斥原理：|A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|，以及 |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|。

中心与两两交

L ∩ T ∩ W: 2
L ∩ T 仅: 12 − 2 = 10
L ∩ W 仅: 16 − 2 = 14
T ∩ W 仅: 14 − 2 = 12

单个集合

L 仅: 28 − 10 − 14 − 2 = 2
T 仅: 36 − 10 − 12 − 2 = 12
W 仅: 29 − 14 − 12 − 2 = 1

答案

|L − (T ∪ W)| = 2

答案

|L − (T ∪ W)| = 2
4.集合、关系与函数

答案: 双射

函数与计数：函数 f: A → B 使 A 中每个元素在 B 中恰有一个像。不同元素有不同的像时 f 是单射（一一映射），B 中每个元素都是像时是满射（映上），两者都成立时是双射。当 |A| = m，|B| = n 时，共有 nᵐ 个函数，n!/(n − m)! 个单射（m ≤ n），以及由容斥原理得到的 Σ (−1)ᵏ·C(n, k)·(n − k)ᵐ 个满射。|𝒫(A)| = 2ᵐ，|A × B| = m·n。

单射？

B 的每个元素至多被命中一次 → 单射

满射？

B 的每个元素都被命中 → 满射

答案

双射

答案

双射
5.图论

答案: L = 14

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

树的握手引理

L + 24 = 2(L + 6) − 2
L = 14

答案

L = 14

捷径：L = 2 + Σ (d − 2)，对度 d ≥ 3 的顶点求和。

6.图论

答案: 边 BC

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

克鲁斯卡尔算法

1. AC (1)
2. BC (4)
3. DE (5)
4. CE (7)
5. EF (17)

边的序号 2

BC

答案

边 BC
7.数论与模运算

答案: 47−1 mod 59 = 54

逆元与同余式：a 模 n 有逆元，当且仅当 gcd(a, n) = 1。扩展欧几里得算法把 1 写成 s·n + t·a，于是 a⁻¹ ≡ t (mod n)。当 gcd(a, n) = 1 时，同余式 a·x ≡ b (mod n) 的解为 x ≡ a⁻¹·b。模数互素的两个同余式 x ≡ r₁ (mod m₁) 和 x ≡ r₂ (mod m₂) 在模 m₁·m₂ 下有唯一解（中国剩余定理）。欧拉函数 φ(n) 表示 1 到 n 中与 n 互素的数的个数：φ(n) = n·∏(1 − 1/p)。

扩展欧几里得算法

每个余数 r 都写成 r ≡ t·47 (mod 59)。

r = 59, t = 0
r = 47, q = 1, t = 1
r = 12, q = 3, t = −1
r = 11, q = 1, t = 4
r = 1, q = 11, t = −5

逆矩阵

1 ≡ −5·47 (mod 59)
x = 54
校核: 47·54 = 2538 = 43·59 + 1

答案

47−1 mod 59 = 54
8.数论与模运算

答案: 22174 mod 73 = 27

模幂与 RSA：用反复平方法计算 aᵏ mod n：把 k 写成二进制，平方，每一步之后取模，并把对应二进制位为 1 的幂相乘。费马：对不整除 a 的素数 p，aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)，所以指数可以对 p − 1 取模。RSA：选取素数 p 和 q，n = p·q，φ(n) = (p − 1)(q − 1)；公钥指数 e 与 φ(n) 互素，私钥指数为 d = e⁻¹ mod φ(n)。用 c = mᵉ mod n 加密，用 m = cᵈ mod n 解密。

二进制指数

174 = 101011102 = 128 + 32 + 8 + 4 + 2

反复平方

221 ≡ 22 (mod 73)
222 ≡ 46 (mod 73)
224 ≡ 72 (mod 73)
228 ≡ 1 (mod 73)
2216 ≡ 1 (mod 73)
2232 ≡ 1 (mod 73)
2264 ≡ 1 (mod 73)
22128 ≡ 1 (mod 73)

把需要的幂相乘

22174 ≡ 46·72·1·1·1 ≡ 27 (mod 73)

答案

22174 mod 73 = 27

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