离散数学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

命题逻辑与证明

真值表的行数
2ⁿ
蕴涵
p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
蕴涵的否定
¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
双条件
p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
德摩根律
¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
分配律
p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
量词的否定
¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
肯定前件，否定后件
p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

方法

  1. 数一数不同变量的个数：真值表有 2ⁿ 行，从全为 1 的一行开始。
  2. 给每个子公式单独一列，由内向外逐列填写。
  3. 按各联结词的规则计算：→ 只有在 1 → 0 时为 0，↔ 在两边相同时为 1。
  4. 判断等价时，逐行比较最后一列；判断论证时，只看所有前提都为 1 的那些行。
  5. 否定带量词的命题时，把 ¬ 移到内部，交换 ∀ 和 ∃，并否定内部的公式。

集合、关系与函数

两个集合
|A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|
三个集合
|A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|
差集与补集
A − B = A ∩ B′, |A′| = |U| − |A|
幂集与乘积集
|𝒫(A)| = 2|A|, |A × B| = |A|·|B|
大小为 k 的子集
C(n, k) = n!/(k!(n − k)!)
函数 A → B
nᵐ; injective n!/(n − m)!; surjective Σ (−1)ᵏ C(n, k)(n − k)ᵐ
n 个元素上的关系
2n²; reflexive 2n² − n; symmetric 2n(n+1)/2
复合
(g ∘ f)(x) = g(f(x))

方法

  1. 画出维恩图，逐个区域判断它是否属于该集合表达式。
  2. 对于计数问题，从中心向外填写各区域：先是所有集合的交，再是两两的交，然后是单个集合，最后是外部。
  3. 用容斥原理进行检验：|A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|。
  4. 对于关系，对每一对元素检验各个性质，不成立时给出一个反例。
  5. 对于函数，数一数到达 B 中每个元素的箭头：至多一个表示单射，至少一个表示满射。

图论

握手引理
Σ deg(v) = 2|E|
完全图
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正则图
|E| = n·k/2
树与森林
|E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉
回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
Kn 中的哈密顿回路
(n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径
(Mᴸ)ij

方法

  1. 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
  2. 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
  3. 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
  4. 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
  5. 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

数论与模运算

带余除法
a = q·n + r, 0 ≤ r < n
欧几里得
gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
最小公倍数
lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
逆矩阵
a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
线性同余方程
a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
欧拉函数
φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
费马
aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA
n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

方法

  1. 先把每个数对 n 取模；余数在 0 到 n − 1 之间。
  2. 求最大公约数时，用欧几里得算法反复做除法；最后一个非零余数就是最大公约数。
  3. 求逆元时，运行扩展算法并保留 a 的系数；若为负数则加上 n。
  4. 解 a·x ≡ b 时，两边乘以 a⁻¹；合并两个同余式时，写成 x = r₁ + m₁k。
  5. 求幂时，把指数写成二进制并反复平方；在 RSA 中，d = e⁻¹ mod φ(n)，其中 φ(n) = (p − 1)(q − 1)。

2练习题

1.命题逻辑与证明中等
pqr¬rq ∨ ¬r((p ∨ q) ∧ r) → (q ∨ ¬r)111?110?101?100?011?010?001?000?

在其真值表的 8 行中，((p ∨ q) ∧ r) → (q ∨ ¬r) 在多少行为真？把这个数记作 N。

((p ∨ q) ∧ r) → (q ∨ ¬r)
N =
2.命题逻辑与证明困难

真值表的 16 行中，有多少行使 ¬(¬((s ∧ r) ∧ q) ∨ ¬(p ∧ s)) 为真？把这个数记作 N。

¬(¬((s ∧ r) ∧ q) ∨ ¬(p ∧ s))
N =
3.集合、关系与函数中等
UMPC

在 28 名一年级学生中，10 人通过了数学 (M)，8 人通过了物理 (P)，14 人通过了化学 (C)。5 人通过了 M 和 P，8 人通过了 M 和 C，5 人通过了 P 和 C，4 人三门都通过了。 有多少属于三个集合中的任何一个都不属于？

|U| = 28
|(M ∪ P ∪ C)′| =
4.集合、关系与函数困难

若 |A| = 3，|B| = 4，从 A 到 B 的单射（一一）函数 f: A → B 有多少个？ 把这个数记作 N。

|A| = 3|B| = 4
N =
5.图论中等
ABCDE欧拉回路有欧拉通路，无回路都不是

这个连通图有欧拉回路、有不是回路的欧拉通路，还是两者都没有？点选你的答案。

|V| = 5|E| = 5
  1. 1欧拉回路
  2. 2有欧拉通路，无回路
  3. 3都不是
6.图论困难
111151166210ABCDEF

用迪杰斯特拉算法求带权图中从 A 到 D 的最短路径的长度 d(D)。

起点：A终点：D
d(D) =
7.数论与模运算中等

求 74 模 91 的逆元：满足 0 < x < 91 且 74·x ≡ 1 (mod 91) 的数 x。

a = 74n = 91
74−1 mod 91 =
8.数论与模运算困难
mc = me​ mod ncm = cd​ mod nm(n, e) = (493, 19)d = ?

某个 RSA 密钥使用素数 p = 17 和 q = 29，公钥指数 e = 19。求私钥指数 d（0 < d < φ(n)）。

p = 17q = 29e = 19
d =

3溶液

1.命题逻辑与证明

答案: N = 7

真值表：含 n 个不同变量的公式有 2ⁿ 行，每一行对应真值的一种组合（1 = 真，0 = 假）。由内向外进行，给每个子公式单独一列。¬a 把值取反；a ∧ b 只有在两者都为 1 时才为 1；a ∨ b 只有在两者都为 0 时才为 0；a → b 只有在 a = 1 且 b = 0 时才为 0；a ↔ b 在两边相等时为 1。

逐行写出真值表

p = 1, q = 1, r = 1: p ∨ q = 1, (p ∨ q) ∧ r = 1, ¬r = 0, q ∨ ¬r = 1, ((p ∨ q) ∧ r) → (q ∨ ¬r) = 1
p = 1, q = 1, r = 0: p ∨ q = 1, (p ∨ q) ∧ r = 0, ¬r = 1, q ∨ ¬r = 1, ((p ∨ q) ∧ r) → (q ∨ ¬r) = 1
p = 1, q = 0, r = 1: p ∨ q = 1, (p ∨ q) ∧ r = 1, ¬r = 0, q ∨ ¬r = 0, ((p ∨ q) ∧ r) → (q ∨ ¬r) = 0
p = 1, q = 0, r = 0: p ∨ q = 1, (p ∨ q) ∧ r = 0, ¬r = 1, q ∨ ¬r = 1, ((p ∨ q) ∧ r) → (q ∨ ¬r) = 1
p = 0, q = 1, r = 1: p ∨ q = 1, (p ∨ q) ∧ r = 1, ¬r = 0, q ∨ ¬r = 1, ((p ∨ q) ∧ r) → (q ∨ ¬r) = 1
p = 0, q = 1, r = 0: p ∨ q = 1, (p ∨ q) ∧ r = 0, ¬r = 1, q ∨ ¬r = 1, ((p ∨ q) ∧ r) → (q ∨ ¬r) = 1
p = 0, q = 0, r = 1: p ∨ q = 0, (p ∨ q) ∧ r = 0, ¬r = 0, q ∨ ¬r = 0, ((p ∨ q) ∧ r) → (q ∨ ¬r) = 1
p = 0, q = 0, r = 0: p ∨ q = 0, (p ∨ q) ∧ r = 0, ¬r = 1, q ∨ ¬r = 1, ((p ∨ q) ∧ r) → (q ∨ ¬r) = 1

数出值为 1 的行数

((p ∨ q) ∧ r) → (q ∨ ¬r): 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 1
N = 7

答案

N = 7
2.命题逻辑与证明

答案: N = 1

真值表：含 n 个不同变量的公式有 2ⁿ 行，每一行对应真值的一种组合（1 = 真，0 = 假）。由内向外进行，给每个子公式单独一列。¬a 把值取反；a ∧ b 只有在两者都为 1 时才为 1；a ∨ b 只有在两者都为 0 时才为 0；a → b 只有在 a = 1 且 b = 0 时才为 0；a ↔ b 在两边相等时为 1。

各列

s ∧ r; (s ∧ r) ∧ q; ¬((s ∧ r) ∧ q); p ∧ s; ¬(p ∧ s); ¬((s ∧ r) ∧ q) ∨ ¬(p ∧ s); ¬(¬((s ∧ r) ∧ q) ∨ ¬(p ∧ s))

按 p 拆分

p = 1: 1
p = 0: 0
N = 1 + 0 = 1

答案

N = 1
3.集合、关系与函数

答案: |(M ∪ P ∪ C)′| = 10

集合与维恩图：A ∪ B 包含属于 A 或 B（或两者）的元素，A ∩ B 包含同时属于两者的元素，A − B 包含属于 A 但不属于 B 的元素，补集 A′ 是 U 中不属于 A 的一切元素。在维恩图中，每个集合表达式都是若干区域的并集，所以要逐个区域地计数。容斥原理：|A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|，以及 |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|。

中心与两两交

M ∩ P ∩ C: 4
M ∩ P 仅: 5 − 4 = 1
M ∩ C 仅: 8 − 4 = 4
P ∩ C 仅: 5 − 4 = 1

单个集合

M 仅: 10 − 1 − 4 − 4 = 1
P 仅: 8 − 1 − 1 − 4 = 2
C 仅: 14 − 4 − 1 − 4 = 5

答案

|M ∪ P ∪ C| = 18
|(M ∪ P ∪ C)′| = 28 − 18 = 10

答案

|(M ∪ P ∪ C)′| = 10
4.集合、关系与函数

答案: N = 24

函数与计数：函数 f: A → B 使 A 中每个元素在 B 中恰有一个像。不同元素有不同的像时 f 是单射（一一映射），B 中每个元素都是像时是满射（映上），两者都成立时是双射。当 |A| = m，|B| = n 时，共有 nᵐ 个函数，n!/(n − m)! 个单射（m ≤ n），以及由容斥原理得到的 Σ (−1)ᵏ·C(n, k)·(n − k)ᵐ 个满射。|𝒫(A)| = 2ᵐ，|A × B| = m·n。

计数

N = 4!/(4 − 3)! = 24

答案

N = 24
5.图论

答案: 欧拉回路

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

度

deg(A) = 2, deg(B) = 2, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

奇度顶点

0
欧拉回路

答案

欧拉回路
6.图论

答案: d(D) = 16

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

迪杰斯特拉算法逐轮过程

每一行：被确定的顶点、它的最终距离，以及距离得到改进的邻点。

A (0): B: 1, C: 11
B (1): D: 16, E: 11
C (11)
E (11): F: 13
F (13)
D (16)

最短路径

A → B → D
d(D) = 16

答案

d(D) = 16
7.数论与模运算

答案: 74−1 mod 91 = 16

逆元与同余式：a 模 n 有逆元，当且仅当 gcd(a, n) = 1。扩展欧几里得算法把 1 写成 s·n + t·a，于是 a⁻¹ ≡ t (mod n)。当 gcd(a, n) = 1 时，同余式 a·x ≡ b (mod n) 的解为 x ≡ a⁻¹·b。模数互素的两个同余式 x ≡ r₁ (mod m₁) 和 x ≡ r₂ (mod m₂) 在模 m₁·m₂ 下有唯一解（中国剩余定理）。欧拉函数 φ(n) 表示 1 到 n 中与 n 互素的数的个数：φ(n) = n·∏(1 − 1/p)。

扩展欧几里得算法

每个余数 r 都写成 r ≡ t·74 (mod 91)。

r = 91, t = 0
r = 74, q = 1, t = 1
r = 17, q = 4, t = −1
r = 6, q = 2, t = 5
r = 5, q = 1, t = −11
r = 1, q = 5, t = 16

逆矩阵

1 ≡ 16·74 (mod 91)
x = 16
校核: 74·16 = 1184 = 13·91 + 1

答案

74−1 mod 91 = 16
8.数论与模运算

答案: d = 283

模幂与 RSA：用反复平方法计算 aᵏ mod n：把 k 写成二进制，平方，每一步之后取模，并把对应二进制位为 1 的幂相乘。费马：对不整除 a 的素数 p，aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)，所以指数可以对 p − 1 取模。RSA：选取素数 p 和 q，n = p·q，φ(n) = (p − 1)(q − 1)；公钥指数 e 与 φ(n) 互素，私钥指数为 d = e⁻¹ mod φ(n)。用 c = mᵉ mod n 加密，用 m = cᵈ mod n 解密。

模数与欧拉函数值

n = 17·29 = 493
φ(n) = 16·28 = 448

扩展欧几里得算法

r = 448, t = 0
r = 19, q = 23, t = 1
r = 11, q = 1, t = −23
r = 8, q = 1, t = 24
r = 3, q = 2, t = −47
r = 2, q = 1, t = 118
r = 1, q = 2, t = −165

私钥指数

d = 283
校核: 19·283 = 5377 = 12·448 + 1

答案

d = 283

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