离散数学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

命题逻辑与证明

真值表的行数: 2ⁿ
蕴涵: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
蕴涵的否定: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
双条件: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
德摩根律: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
分配律: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
量词的否定: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
肯定前件，否定后件: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

方法

数一数不同变量的个数：真值表有 2ⁿ 行，从全为 1 的一行开始。
给每个子公式单独一列，由内向外逐列填写。
按各联结词的规则计算：→ 只有在 1 → 0 时为 0，↔ 在两边相同时为 1。
判断等价时，逐行比较最后一列；判断论证时，只看所有前提都为 1 的那些行。
否定带量词的命题时，把 ¬ 移到内部，交换 ∀ 和 ∃，并否定内部的公式。

集合、关系与函数

两个集合: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|
三个集合: |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|
差集与补集: A − B = A ∩ B′, |A′| = |U| − |A|
幂集与乘积集: |𝒫(A)| = 2^|A|, |A × B| = |A|·|B|
大小为 k 的子集: C(n, k) = n!/(k!(n − k)!)
函数 A → B: nᵐ; injective n!/(n − m)!; surjective Σ (−1)ᵏ C(n, k)(n − k)ᵐ
n 个元素上的关系: 2^n²; reflexive 2^{n² − n}; symmetric 2^n(n+1)/2
复合: (g ∘ f)(x) = g(f(x))

方法

画出维恩图，逐个区域判断它是否属于该集合表达式。
对于计数问题，从中心向外填写各区域：先是所有集合的交，再是两两的交，然后是单个集合，最后是外部。
用容斥原理进行检验：|A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|。
对于关系，对每一对元素检验各个性质，不成立时给出一个反例。
对于函数，数一数到达 B 中每个元素的箭头：至多一个表示单射，至少一个表示满射。

图论

握手引理: Σ deg(v) = 2|E|
完全图: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
正则图: |E| = n·k/2
树与森林: |E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉: 回路：所有顶点度数为偶数；通路：恰有 2 个奇度顶点
K_n 中的哈密顿回路: (n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径: (Mᴸ)_ij

方法

写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

数论与模运算

带余除法: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
欧几里得: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
最小公倍数: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
逆矩阵: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
线性同余方程: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
欧拉函数: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
费马: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

方法

先把每个数对 n 取模；余数在 0 到 n − 1 之间。
求最大公约数时，用欧几里得算法反复做除法；最后一个非零余数就是最大公约数。
求逆元时，运行扩展算法并保留 a 的系数；若为负数则加上 n。
解 a·x ≡ b 时，两边乘以 a⁻¹；合并两个同余式时，写成 x = r₁ + m₁k。
求幂时，把指数写成二进制并反复平方；在 RSA 中，d = e⁻¹ mod φ(n)，其中 φ(n) = (p − 1)(q − 1)。

2练习题

1.命题逻辑与证明中等

p → (p ∧ r) 是重言式、矛盾式还是偶然式？点选你的答案。

p → (p ∧ r)

1重言式
2矛盾式
3偶然式

2.命题逻辑与证明困难

已知前提 p ∨ q; ¬p ∨ r。由它们可以推出哪个结论？点选它。

p ∨ q¬p ∨ r

1q ∧ r
2p ∨ r
3¬q
4q ∨ r

3.集合、关系与函数中等

在一个有 52 名学生的小组中，26 人会说法语 (F)，24 人会说德语 (G)，19 人会说西班牙语 (S)。13 人会说法语和德语，4 人会说法语和西班牙语，2 人会说德语和西班牙语，1 人三种都会说。有多少属于三个集合中的任何一个都不属于？

|U| = 52

|(F ∪ G ∪ S)′| =

4.集合、关系与函数困难

{1, 2, 3, 4, 5} 上的函数 f 和 g 由各自的表给出。求 (g ∘ f)(5)。

f: 1 ↦ 1, 2 ↦ 5, 3 ↦ 1, 4 ↦ 1, 5 ↦ 5g: 1 ↦ 1, 2 ↦ 2, 3 ↦ 2, 4 ↦ 4, 5 ↦ 5

(g ∘ f)(5) =

5.图论中等

一个连通图有 11 个顶点和 19 条边。必须去掉多少条边 k 才能剩下一棵生成树？

|V| = 11|E| = 19

k =

6.图论困难

用迪杰斯特拉算法求带权图中从 A 到 F 的最短路径的长度 d(F)。

起点：A终点：F

d(F) =

7.数论与模运算中等

解 58x ≡ 45 (mod 73)。给出满足 0 < x < 73 的解 x。

58x ≡ 45 (mod 73)

x =

8.数论与模运算困难

29 是素数。用费马小定理求 25³⁷⁰⁴⁷ mod 29。

p = 29k = 37047

25³⁷⁰⁴⁷ mod 29 =

3溶液

1.命题逻辑与证明

答案: 偶然式

逻辑等价：两个公式在真值表的每一行取值都相同时，它们是等价（≡）的。重言式在每一行都为 1，矛盾式在每一行都为 0，偶然式则两者都不是。常用定律：德摩根律，¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b 和 ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b；a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a（逆否命题）；¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b；以及分配律，a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)。

逐行写出真值表

p = 1, r = 1: p ∧ r = 1, p → (p ∧ r) = 1

p = 1, r = 0: p ∧ r = 0, p → (p ∧ r) = 0

p = 0, r = 1: p ∧ r = 0, p → (p ∧ r) = 1

p = 0, r = 0: p ∧ r = 0, p → (p ∧ r) = 1

分类

p → (p ∧ r): 1, 0, 1, 1

在 4 行中有 3 行为 1，其余为 0：偶然式。

答案

偶然式

2.命题逻辑与证明

答案: q ∨ r

量词与论证：¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x)，¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)。把否定向内移动，交换它经过的每个量词，并用命题逻辑的定律否定内部的公式，例如 ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b。当所有前提为 1 的每一行中结论也为 1 时，论证是有效的。只要有一行前提为真而结论为假，它就是反例，说明论证无效。

所有前提都为真的行

p = 1, q = 1, r = 1: q ∧ r = 1, p ∨ r = 1, ¬q = 0, q ∨ r = 1

p = 1, q = 0, r = 1: q ∧ r = 0, p ∨ r = 1, ¬q = 1, q ∨ r = 1

p = 0, q = 1, r = 1: q ∧ r = 1, p ∨ r = 1, ¬q = 0, q ∨ r = 1

p = 0, q = 1, r = 0: q ∧ r = 0, p ∨ r = 0, ¬q = 0, q ∨ r = 1

结论

q ∨ r (分辨率)

答案

q ∨ r

3.集合、关系与函数

答案: |(F ∪ G ∪ S)′| = 1

集合与维恩图：A ∪ B 包含属于 A 或 B（或两者）的元素，A ∩ B 包含同时属于两者的元素，A − B 包含属于 A 但不属于 B 的元素，补集 A′ 是 U 中不属于 A 的一切元素。在维恩图中，每个集合表达式都是若干区域的并集，所以要逐个区域地计数。容斥原理：|A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|，以及 |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|。

中心与两两交

F ∩ G ∩ S: 1

F ∩ G 仅: 13 − 1 = 12

F ∩ S 仅: 4 − 1 = 3

G ∩ S 仅: 2 − 1 = 1

单个集合

F 仅: 26 − 12 − 3 − 1 = 10

G 仅: 24 − 12 − 1 − 1 = 10

S 仅: 19 − 3 − 1 − 1 = 14

答案

|F ∪ G ∪ S| = 51

|(F ∪ G ∪ S)′| = 52 − 51 = 1

答案

|(F ∪ G ∪ S)′| = 1

4.集合、关系与函数

答案: (g ∘ f)(5) = 5

函数与计数：函数 f: A → B 使 A 中每个元素在 B 中恰有一个像。不同元素有不同的像时 f 是单射（一一映射），B 中每个元素都是像时是满射（映上），两者都成立时是双射。当 |A| = m，|B| = n 时，共有 nᵐ 个函数，n!/(n − m)! 个单射（m ≤ n），以及由容斥原理得到的 Σ (−1)ᵏ·C(n, k)·(n − k)ᵐ 个满射。|𝒫(A)| = 2ᵐ，|A × B| = m·n。

内层函数

f(5) = 5

外层函数

g(5) = 5

(g ∘ f)(5) = 5

答案

(g ∘ f)(5) = 5

5.图论

答案: k = 9

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；K_n 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

生成树的边数

11 − 1 = 10

要去掉的边数

k = 19 − 10 = 9

答案

k = 9

6.图论

答案: d(F) = 32

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

迪杰斯特拉算法逐轮过程

每一行：被确定的顶点、它的最终距离，以及距离得到改进的邻点。

A (0): B: 12, C: 2

C (2): B: 5, G: 9

B (5): D: 17

G (9)

D (17): E: 25, F: 32

E (25)

F (32)

最短路径

A → C → B → D → F

d(F) = 32

答案

d(F) = 32

7.数论与模运算

答案: x = 70

逆元与同余式：a 模 n 有逆元，当且仅当 gcd(a, n) = 1。扩展欧几里得算法把 1 写成 s·n + t·a，于是 a⁻¹ ≡ t (mod n)。当 gcd(a, n) = 1 时，同余式 a·x ≡ b (mod n) 的解为 x ≡ a⁻¹·b。模数互素的两个同余式 x ≡ r₁ (mod m₁) 和 x ≡ r₂ (mod m₂) 在模 m₁·m₂ 下有唯一解（中国剩余定理）。欧拉函数 φ(n) 表示 1 到 n 中与 n 互素的数的个数：φ(n) = n·∏(1 − 1/p)。

58 的逆元

r = 73, t = 0

r = 58, q = 1, t = 1

r = 15, q = 3, t = −1

r = 13, q = 1, t = 4

r = 2, q = 6, t = −5

r = 1, q = 2, t = 34

58⁻¹ ≡ 34 (mod 73)

求解

x ≡ 34·45 = 1530 ≡ 70 (mod 73)

校核: 58·70 = 4060 ≡ 45 (mod 73)

答案

x = 70

8.数论与模运算

答案: 25³⁷⁰⁴⁷ mod 29 = 23

模幂与 RSA：用反复平方法计算 aᵏ mod n：把 k 写成二进制，平方，每一步之后取模，并把对应二进制位为 1 的幂相乘。费马：对不整除 a 的素数 p，aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)，所以指数可以对 p − 1 取模。RSA：选取素数 p 和 q，n = p·q，φ(n) = (p − 1)(q − 1)；公钥指数 e 与 φ(n) 互素，私钥指数为 d = e⁻¹ mod φ(n)。用 c = mᵉ mod n 加密，用 m = cᵈ mod n 解密。

化简指数

37047 mod 28 = 3

25³⁷⁰⁴⁷ ≡ 25³ (mod 29)

小的幂

25³ mod 29 = 23

答案

25³⁷⁰⁴⁷ mod 29 = 23

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