动力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

刚体转动

对质心 G 的转动惯量: 杆 mL²/12，圆盘 ½mR²，圆环 mR²，实心球 (2/5)mR²，空心球 (2/3)mR²
平行移轴定理: I = I_G + m·d²
回转半径: I = m·k²
杆绕端点: I = mL²/3
运动方程: ΣM = I·α
以 rad/s 表示的转速: ω = 2π·n/60
动能: E = ½·I·ω²
功和功率: W = T·θ, P = T·ω
无滑动滚动: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
角动量: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
绕枢轴的撞击: m·v·d = I·ω

方法

选择轴：固定的枢轴，或者对滚动的物体选质心。
用标准结果求出对该轴的转动惯量，转轴平移时用 I = I_G + m·d²。
选择方法：求加速度和力用 ΣM = I·α，求速度用能量（½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h），求撞击和突然变化用角动量。
用 v = ω·r 和 a = α·r 联系线运动和角运动，并把 rpm 换算成 rad/s。

齿轮与齿轮系

啮合齿轮: n₁·N₁ = n₂·N₂
扭矩: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
功率: P = T·ω, ω = 2π·n/60
复合轮系: 总传动比 = 各级传动比之积

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

机械振动

固有频率: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
由静挠度求: ω_n = √(g/δ_st)
临界阻尼: c_c = 2√(km) = 2mω_n
阻尼比: ζ = c/c_c
阻尼固有频率: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
对数衰减率: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
弹簧并联: k = k₁ + k₂
弹簧串联: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2练习题

1.运动学中等

一辆以 100 km/h 行驶的汽车以 3.5 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。求制动距离 s。

v₀ = 100 km/ha = −3.5 m/s²v = 0

s = m

2.运动学困难

一块石头由静止释放落入井中。释放后 3 s 听到落水声。声速为 343 m/s；忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求井的深度 d。

t_total = 3 sv_sound = 343 m/sg = 9.81 m/s²

d = m

3.牛顿定律中等

一个 17 kg 的物块沿倾角为 35° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.2。取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 17 kgθ = 35°μ = 0.2g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

一个物块被推了一下，以 4.5 m/s 的速度开始沿 30° 的斜面向上滑动。动摩擦因数为 0.25。取 g = 9.81 m/s²。它沿斜面滑行多远 d 后停止？

v₀ = 4.5 m/sθ = 30°μ = 0.25g = 9.81 m/s²

d = m

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 55° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v₀ = 14 m/sθ = 55°g = 9.81 m/s²

t = s

6.抛体运动困难

一个球从 60 m 高的悬崖顶上以高于水平面 35° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v₀ = 27 m/sθ = 35°h = 60 mg = 9.81 m/s²

t = s

7.圆周运动中等

一辆汽车通过半径为 130 m 的水平弯道。轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.3。取 g = 9.81 m/s²。求汽车不打滑地通过弯道的最大速度 v_max。

r = 130 mμ_s = 0.3g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.圆周运动困难

一个 1.9 kg 的球系在长 0.5 m 的轻绳上，在竖直平面内做圆周运动。在最低点它的速度为 9.5 m/s。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求最高点时绳中的拉力 T_top。

m = 1.9 kgr = 0.5 mv_bottom = 9.5 m/sg = 9.81 m/s²

T_top = N

9.功和能中等

一个物块由静止沿倾角 30° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.1。求它沿斜面滑行 5 m 后的速度 v。

θ = 30°μ = 0.1d = 5 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

10.功和能困难

一个 1 kg 的物块从光滑坡道上 1 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 1.5 m 的粗糙水平段（μ = 0.25），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 2500 N/m）。求弹簧的最大压缩量 x。

m = 1 kgh = 1 mL = 1.5 mμ = 0.25k = 2500 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

11.动量与碰撞中等

一辆以 22 m/s 行驶的 1900 kg 汽车撞上一辆静止的 500 kg 汽车，两车卡在一起。原有动能损失了百分之多少 ΔK/K？

m₁ = 1900 kgv₁ = 22 m/sm₂ = 500 kgv₂ = 0

ΔK/K = %

12.动量与碰撞困难

一个 0.35 kg 的小球以 19 m/s 撞到墙上，并以 17 m/s 沿原路弹回。接触时间为 50 ms。求墙给小球的冲量大小 J。

m = 0.35 kgv_in = 19 m/sv_out = 17 m/sΔt = 50 ms

J = N·s

13.刚体转动中等

一台电动机用 41 s 把转动惯量为 26 kg·m² 的飞轮从静止加速到 1800 rpm。忽略损耗，求它输出的平均功率 P_avg，单位 kW。

I = 26 kg·m²n = 1800 rpmt = 41 s

P_avg = kW

14.刚体转动困难

质量为 5.5 kg、长为 1.2 m 的均匀细杆，从无摩擦的上端枢轴处静止悬挂。一颗 20 g 的子弹以 420 m/s 的速度水平击中杆上枢轴下方 0.53 m 处并留在杆中。取 g = 9.81 m/s²。求杆摆动偏离竖直方向的最大角度 φ。

M = 5.5 kgL = 1.2 mm = 20 gv = 420 m/sd = 0.53 mg = 9.81 m/s²

φ = °

15.齿轮与齿轮系中等

一台 0.75 kW 的电动机以 960 rpm 运转，驱动一个齿数为 20 的小齿轮，小齿轮与一个齿数为 24 的大齿轮啮合。该齿轮副的效率为 98%。求电动机轴上的扭矩 T₁。

P = 0.75 kWn₁ = 960 rpmN₁ = 20N₂ = 24η = 98%

T₁ = N·m

16.齿轮与齿轮系困难

一条开口皮带把一个以 1500 rpm 转动、直径 200 mm 的主动轮与一个 500 mm 的带轮相连；中心距为 500 mm。摩擦系数为 0.25，紧边张力不得超过 800 N。求皮带在不打滑时能传递的最大功率 P，单位 kW（忽略离心效应）。

d₁ = 200 mmn₁ = 1500 rpmd₂ = 500 mmC = 500 mmμ = 0.25T₁ = 800 N

P = kW

17.弹簧与单摆中等

一个连在 k = 120 N/m 弹簧上的 0.4 kg 物体在无摩擦表面上以 13 cm 的振幅振动。求它距平衡位置 4 cm 时的速度 v。

m = 0.4 kgk = 120 N/mA = 13 cmx = 4 cm

v = m/s

18.弹簧与单摆困难

一个物体做简谐振动，周期为 3.5 s，振幅为 18 cm。它从平衡位置运动到位移 10.8 cm 处所需的最短时间 t 是多少？

T = 3.5 sA = 18 cmx = 10.8 cm

t = s

19.机械振动中等

一个 2 kg 的质量块由刚度为 40 kN/m 的弹簧和阻尼系数为 280 N·s/m 的黏性阻尼器支承。求阻尼比 ζ。

m = 2 kgk = 40 kN/mc = 280 N·s/m

ζ =

20.机械振动困难

一个 5 kg 的质量块悬挂在首尾相接（串联）的两根弹簧上：上弹簧 k₁ = 50 kN/m，下弹簧 k₂ = 60 kN/m。求弹簧系统的等效刚度 k_eq，以 kN/m 计。

m = 5 kgk₁ = 50 kN/mk₂ = 60 kN/m

k_eq = kN/m

3溶液

1.运动学

答案: s = 110.2 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 100/3.6 = 27.78 m/s

制动距离

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 27.78²/(2·3.5) = 110.2 m

答案

s = 110.2 m

2.运动学

答案: d = 40.72 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

时间的两部分

½·9.81·t₁² = 343·(3 − t₁)

4.905·t₁² + 343·t₁ − 1029 = 0

下落时间

只有正根有物理意义。

t₁ = (−343 + √(343² + 4·4.905·1029))/(2·4.905) = 2.881 s

深度

d = ½·9.81·2.881² = 40.72 m

答案

d = 40.72 m

3.牛顿定律

答案: a = 4.02 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 35° − 0.2·cos 35°) = 9.81·(0.5736 − 0.1638) = 4.02 m/s²

答案

a = 4.02 m/s²

4.牛顿定律

答案: d = 1.44 m

减速度

两个力都沿斜面向下；质量约去。

a = 9.81·(sin 30° + 0.25·cos 30°) = 7.029 m/s²

距离

d = v₀²/(2a) = 4.5²/(2·7.029) = 1.44 m

答案

d = 1.44 m

5.抛体运动

答案: t = 2.338 s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 14·cos 55° = 8.03 m/s

v_y = v₀·sin θ = 14·sin 55° = 11.47 m/s

飞行时间

起点与落点等高：t = 2v_y/g。

t = 2·11.47/9.81 = 2.338 s

答案

t = 2.338 s

6.抛体运动

答案: t = 5.416 s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 27·cos 35° = 22.12 m/s

v_y = v₀·sin θ = 27·sin 35° = 15.49 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 60 + 15.49·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (15.49 + √(239.8 + 1177))/9.81 = 5.416 s

答案

t = 5.416 s

7.圆周运动

答案: v_max = 19.56 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

摩擦力提供向心力

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.3·9.81·130) = 19.56 m/s

答案

v_max = 19.56 m/s (70.42 km/h)

8.圆周运动

答案: T_top = 249.8 N

顶点的速度

在高度 2r 上，动能转化为势能。

v_top² = 9.5² − 4·9.81·0.5 = 70.63 m²/s²

顶点的受力

拉力和重力都向下，指向圆心。

T + m·g = m·v_top²/r

T = 1.9·70.63/0.5 − 1.9·9.81 = 249.8 N

答案

T_top = 249.8 N

9.功和能

答案: v = 6.368 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

沿斜面的能量衡算

物块下降高度 d·sin θ，摩擦消耗 μmg·cos θ·d。质量约去。

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9.81·5·(0.5 − 0.1·0.866)) = 6.368 m/s

答案

v = 6.368 m/s

10.功和能

答案: x = 7.004 cm

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 9.81·(1 − 0.25·1.5) = 6.131 J

最大压缩量

½kx² = 6.131 → x = √(2·6.131/2500) = 0.07004 m = 7.004 cm

答案

x = 7.004 cm

11.动量与碰撞

答案: ΔK/K = 20.83 %

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

共同速度

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 1900·22/2400 = 17.42 m/s

碰撞前后的动能

K_before = ½·1900·22² = 459800 J

K_after = ½·2400·17.42² = 364008 J

损失的比例

ΔK/K = 95792/459800 = 20.83 %

答案

ΔK/K = 20.83 %

损失的能量转化为形变、热和声音。

12.动量与碰撞

答案: J = 12.6 N·s

动量的变化量

J = m·Δv = 0.35·(17 + 19) = 12.6 N·s

答案

J = 12.6 N·s

13.刚体转动

答案: P_avg = 11.27 kW

绕定轴转动：各力对转轴的力矩之和等于 I·α（ΣM = I·α），就像平动中的 ΣF = m·a。用能量形式表示，转矩 T 转过角度 θ（弧度）做的功为 T·θ，它改变动能 ½·I·ω²；重力使质心增加或减少 m·g·Δh。功率为 P = T·ω。

角速度

ω = 2π·1800/60 = 188.5 rad/s

能量

E = ½·I·ω² = ½·26·188.5² = 461897 J

平均功率

P_avg = E/t = 461897/41 = 11266 W = 11.27 kW

答案

P_avg = 11.27 kW

14.刚体转动

答案: φ = 27.79 °

滚动与角动量：无滑动滚动的物体满足 v = ω·r，所以它的动能是 ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²))。沿斜面滚下时给出 a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²))。当没有外力矩作用于某一轴时，对该轴的角动量保持不变，I₁·ω₁ = I₂·ω₂，即使动能有损失。

撞击后的转动惯量

I = M·L²/3 + m·d² = 5.5·1.2²/3 + 0.02·0.53² = 2.646 kg·m²

对枢轴的角动量

枢轴力通过枢轴，所以撞击期间它对枢轴没有力矩。

m·v·d = I·ω → ω = 0.02·420·0.53/2.646 = 1.683 rad/s

摆动过程中的能量

½·I·ω² = ½·2.646·1.683² = 3.746 J

(M·g·L/2 + m·g·d)·(1 − cos φ) = 32.48·(1 − cos φ)

cos φ = 1 − 3.746/32.48 = 0.8847 → φ = 27.79°

答案

φ = 27.79°

15.齿轮与齿轮系

答案: T₁ = 7.46 N·m

齿轮系：相互啮合的齿轮在轮齿处的线速度相同，所以 n₁·N₁ = n₂·N₂：齿数较少的齿轮转得更快。装在同一根轴上的齿轮转速相同。功率被传递下去（扣除损失），所以转速降低时扭矩增大：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η，且 P = T·ω，其中 ω = 2π·n/60。

电动机扭矩

ω₁ = 2π·960/60 = 100.5 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 750/100.5 = 7.46 N·m

答案

T₁ = 7.46 N·m

16.齿轮与齿轮系

答案: P = 5.894 kW

皮带传动：无打滑时，两个带轮的轮缘线速度相同，v = π·d·n/60，所以 n₁·d₁ = n₂·d₂，速比为 d₂/d₁。打滑率 s 使从动轮稍慢：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。传递的功率为 P = (T₁ − T₂)·v，其中 T₁ 为紧边张力，T₂ 为松边张力。摩擦限制了张力之比：T₁/T₂ = e^μθ，其中 θ 是小带轮上的包角（弧度）；对开口皮带，θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))，C 为中心距。

包角

θ = 2.532 rad

松边张力

e^μθ = e^0.6331 = 1.883, T₂ = 800/1.883 = 424.8 N

功率

P = (800 − 424.8)·15.71 = 5.894 kW

答案

P = 5.894 kW

17.弹簧与单摆

答案: v = 2.142 m/s

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

角频率

ω = √(120/0.4) = 17.32 rad/s

x 处的速度

v = ω·√(A² − x²) = 17.32·√(0.13² − 0.04²) = 2.142 m/s

答案

v = 2.142 m/s

18.弹簧与单摆

答案: t = 0.3585 s

角频率

ω = 2π/T = 2π/3.5 = 1.795 rad/s

求解时间

0.6 = sin(ω·t) → ω·t = arcsin(0.6) = 0.6435 rad

t = 0.6435/1.795 = 0.3585 s

答案

t = 0.3585 s

19.机械振动

答案: ζ = 0.495

质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ω_n = √(k/m)（rad/s），f_n = ω_n/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/c_c，其中临界阻尼 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

临界阻尼

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(40000·2) = 565.7 N·s/m

阻尼比

ζ = c/c_c = 280/565.7 = 0.495

答案

ζ = 0.495

ζ < 1，所以系统为欠阻尼，在衰减的同时振荡。

20.机械振动

答案: k_eq = 27.27 kN/m

等效刚度

串联弹簧受力相同、变形相加，所以按倒数组合：1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

1/k_eq = 1/50 + 1/60 → k_eq = 50·60/(50 + 60) = 27.27 kN/m

答案

k_eq = 27.27 kN/m

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