动力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

刚体转动

对质心 G 的转动惯量: 杆 mL²/12，圆盘 ½mR²，圆环 mR²，实心球 (2/5)mR²，空心球 (2/3)mR²
平行移轴定理: I = I_G + m·d²
回转半径: I = m·k²
杆绕端点: I = mL²/3
运动方程: ΣM = I·α
以 rad/s 表示的转速: ω = 2π·n/60
动能: E = ½·I·ω²
功和功率: W = T·θ, P = T·ω
无滑动滚动: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
角动量: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
绕枢轴的撞击: m·v·d = I·ω

方法

选择轴：固定的枢轴，或者对滚动的物体选质心。
用标准结果求出对该轴的转动惯量，转轴平移时用 I = I_G + m·d²。
选择方法：求加速度和力用 ΣM = I·α，求速度用能量（½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h），求撞击和突然变化用角动量。
用 v = ω·r 和 a = α·r 联系线运动和角运动，并把 rpm 换算成 rad/s。

齿轮与齿轮系

啮合齿轮: n₁·N₁ = n₂·N₂
扭矩: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
功率: P = T·ω, ω = 2π·n/60
复合轮系: 总传动比 = 各级传动比之积

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

机械振动

固有频率: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
由静挠度求: ω_n = √(g/δ_st)
临界阻尼: c_c = 2√(km) = 2mω_n
阻尼比: ζ = c/c_c
阻尼固有频率: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
对数衰减率: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
弹簧并联: k = k₁ + k₂
弹簧串联: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2练习题

1.运动学中等

一辆以恒定的 16 m/s 超速行驶的汽车经过一辆静止的警车。此时警车启动并以 3.5 m/s² 匀加速。警车在距其出发点多远处追上？求 d。

v_car = 16 m/sa_police = 3.5 m/s²v_0,police = 0

d = m

2.运动学困难

球 A 从 55 m 高处由静止释放。同一时刻，球 B 从正下方的地面以 25 m/s 竖直上抛。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。两球何时相遇？求 t。

H = 55 mv_0B = 25 m/sg = 9.81 m/s²

t = s

3.牛顿定律中等

一个 20 kg 的雪橇被一根与水平方向成 20° 向上的绳子以 60 N 的力拉着在平坦的雪地上移动。动摩擦因数为 0.25。取 g = 9.81 m/s²。求雪橇的加速度 a。

m = 20 kgF = 60 Nθ = 20°μ = 0.25g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

水平桌面上一个 8 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 1.5 kg 重物相连。桌面光滑。取 g = 9.81 m/s²。求系统的加速度 a。

m₁ = 8 kgm₂ = 1.5 kgμ = 0g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以 28 m/s、与水平方向成 55° 的角度朝 53 m 外的一面墙踢出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。球经过墙时的高度 y 是多少？

v₀ = 28 m/sθ = 55°x = 53 mg = 9.81 m/s²

y = m

6.抛体运动困难

一个球从地面以 39 m/s、与水平方向成 35° 的角度抛出。它在下落途中落在一栋 17 m 高的建筑的平屋顶上。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求从抛出点到落点的水平距离 x。

v₀ = 39 m/sθ = 35°h_roof = 17 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.圆周运动中等

一个半径为 380 m 的弯道倾斜 15°。汽车以多大速度 v 通过时完全不需要摩擦力？取 g = 9.81 m/s²。

r = 380 mθ = 15°g = 9.81 m/s²

v = m/s

8.圆周运动困难

一辆 1.5 kg 的小车在无摩擦轨道上从 47 m 高处由静止释放，驶过一个半径为 10 m 的竖直圆环。取 g = 9.81 m/s²。求小车在圆环底部时轨道对它的法向力 N_bottom。

m = 1.5 kgh = 47 mR = 10 mg = 9.81 m/s²

N_bottom = N

9.功和能中等

一个 2.5 kg 的物块沿倾角 30° 的斜面下滑 9 m，动摩擦因数为 0.35。求克服摩擦做的功 W_f。

m = 2.5 kgθ = 30°μ = 0.35d = 9 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

10.功和能困难

在 20° 斜坡底部有一根刚度为 5000 N/m 的弹簧，它顶着一个 3 kg 的物块被压缩 15 cm，然后释放。物块与斜坡之间的动摩擦因数为 0.25。物块从释放点沿斜坡向上滑行多远 d 后停下？（忽略弹簧推动的那一小段距离，即在整个距离 d 上都计入摩擦和重力。）

m = 3 kgk = 5000 N/mx = 15 cmθ = 20°μ = 0.25g = 9.81 m/s²

d = m

11.动量与碰撞中等

在无摩擦的导轨上，一个以 3 m/s 运动的 5 kg 滑块与一个静止的 4.5 kg 滑块发生完全弹性的正碰。求碰撞后第二个滑块的速度 v′₂。

m₁ = 5 kgm₂ = 4.5 kgv₁ = 3 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.动量与碰撞困难

在一个十字路口，一辆以 16 m/s 向东行驶的 800 kg 汽车与一辆以 10 m/s 向北行驶的 900 kg 汽车相撞。两车卡在一起。求碰撞后瞬间残骸的速度 v′。

m₁ = 800 kgv₁ = 16 m/s (E)m₂ = 900 kgv₂ = 10 m/s (N)

v′ = m/s

13.刚体转动中等

转动惯量为 27 kg·m² 的飞轮以 2400 rpm 转动。制动器施加 165 N·m 的恒定摩擦转矩。飞轮在停下之前转过多少圈 N？

I = 27 kg·m²n = 2400 rpmT_b = 165 N·m

N = rev

14.刚体转动困难

质量为 3.5 kg、长为 1.3 m 的均匀细杆，从无摩擦的上端枢轴处静止悬挂。一颗 35 g 的子弹以 300 m/s 的速度水平击中杆上枢轴下方 0.97 m 处并留在杆中。求撞击后瞬间杆的角速度 ω。

M = 3.5 kgL = 1.3 mm = 35 gv = 300 m/sd = 0.97 m

ω = rad/s

15.齿轮与齿轮系中等

一台 1.5 kW、1440 rpm 的电动机驱动一个 4 头的蜗杆。蜗轮有 45 个齿，传动效率为 80%。求蜗轮轴上的输出转矩 T_w。

z = 4N_w = 45n = 1440 rpmP = 1.5 kWη = 80%

T_w = N·m

16.齿轮与齿轮系困难

在一个复合轮系中，输入轴上的齿轮 A（18 齿）以 1440 rpm 转动，驱动齿轮 B（50 齿）。齿轮 C（24 齿）与 B 固定在同一根轴上，驱动输出轴上的齿轮 D（32 齿）。求输出转速 n_out。

n_in = 1440 rpmA = 18B = 50C = 24D = 32

n_out = rpm

17.弹簧与单摆中等

要使单摆的周期为 2.6 s，摆长应为多少？取 g = 9.81 m/s²。求 L。

T = 2.6 sg = 9.81 m/s²

L = m

18.弹簧与单摆困难

一个 0.2 kg 的物体连在 k = 420 N/m 的弹簧上，从平衡位置拉开 5 cm 后释放。求振动的总能量 E。

m = 0.2 kgk = 420 N/mA = 5 cm

E = J

19.机械振动中等

一个 20 kg 的质量块由刚度为 150 kN/m 的弹簧和阻尼系数为 350 N·s/m 的黏性阻尼器支承。求阻尼比 ζ。

m = 20 kgk = 150 kN/mc = 350 N·s/m

ζ =

20.机械振动困难

一个 40 kg 的质量块悬挂在弹簧 k₃ = 12 kN/m 上。k₃ 的上端连接在一根刚性杆上，该杆由并排的两根弹簧 k₁ = 12 kN/m 和 k₂ = 5 kN/m 悬挂；杆保持水平。忽略阻尼以及弹簧和杆的质量。求竖向振动的固有频率 f_n，以 Hz 计。

m = 40 kgk₁ = 12 kN/mk₂ = 5 kN/mk₃ = 12 kN/m

f_n = Hz

3溶液

1.运动学

答案: d = 146.3 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

距离相等

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·16/3.5 = 9.143 s

距离

d = v·t = 16·9.143 = 146.3 m

答案

d = 146.3 m

此时警车的速度为 2v = 32 m/s。

2.运动学

答案: t = 2.2 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

相遇时间

向上为正，地面为 y = 0。

55 − ½g·t² = 25·t − ½g·t² → t = 55/25 = 2.2 s

答案

t = 2.2 s

3.牛顿定律

答案: a = 0.6231 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

法向力

N = m·g − F·sin θ = 196.2 − 60·sin 20° = 175.7 N

水平方向的力

m·a = F·cos θ − μ·N = 56.38 − 43.92

a = 12.46/20 = 0.6231 m/s²

答案

a = 0.6231 m/s²

4.牛顿定律

答案: a = 1.549 m/s²

系统的加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (14.71 − 0)/9.5 = 1.549 m/s²

答案

a = 1.549 m/s²

5.抛体运动

答案: y = 22.27 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

到达墙的时间

v_x = 28·cos 55° = 16.06 m/s

t = x/v_x = 53/16.06 = 3.3 s

此时的高度

y = 22.94·3.3 − ½·9.81·3.3² = 22.27 m

答案

y = 22.27 m

球到达墙时已经在下落。

6.抛体运动

答案: x = 114.9 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

v_x = 31.95 m/s, v_y = 22.37 m/s

落到屋顶的时间

较大的根：球正在下降。

17 = 22.37·t − 4.905·t²

t = (22.37 + √(22.37² − 2·9.81·17))/9.81 = 3.597 s

水平距离

x = v_x·t = 31.95·3.597 = 114.9 m

答案

x = 114.9 m

7.圆周运动

答案: v = 31.6 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

力的平衡

N·cos θ = m·g, N·sin θ = m·v²/r → tan θ = v²/(r·g)

速率

v = √(r·g·tan θ) = √(380·9.81·tan 15°) = 31.6 m/s

答案

v = 31.6 m/s

(113.8 km/h)

8.圆周运动

答案: N_bottom = 153 N

由能量守恒求速度

v² = 2·9.81·47 = 922.1 m²/s²

受力

指向圆心为正。

N = m·v²/R + m·g = 1.5·922.1/10 + 14.71 = 153 N

答案

N_bottom = 153 N

9.功和能

答案: W_f = 66.9 J

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

摩擦力

N = mg·cos θ = 24.53·0.866 = 21.24 N

F = μN = 0.35·21.24 = 7.434 N

克服摩擦做的功

W_f = F·d = 7.434·9 = 66.9 J

答案

W_f = 66.9 J

10.功和能

答案: d = 3.313 m

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

弹簧能量

x = 15 cm = 0.15 m

½kx² = ½·5000·0.15² = 56.25 J

沿斜面的能量衡算

m·g = 3·9.81 = 29.43 N

½kx² = mg·d·(sin θ + μ·cos θ)

d = 56.25/(29.43·(0.342 + 0.25·0.9397)) = 3.313 m

答案

d = 3.313 m

11.动量与碰撞

答案: v′₂ = 3.158 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′₁ = (5 − 4.5)/(5 + 4.5)·3 = 0.1579 m/s

v′₂ = 2·5/(5 + 4.5)·3 = 3.158 m/s

答案

v′₂ = 3.158 m/s

12.动量与碰撞

答案: v′ = 9.204 m/s

动量分量

p_x = 800·16 = 12800 kg·m/s

p_y = 900·10 = 9000 kg·m/s

残骸的速度

v′ = √(p_x² + p_y²)/(m₁ + m₂) = 15647/1700 = 9.204 m/s

答案

v′ = 9.204 m/s

13.刚体转动

答案: N = 822.5 rev

绕定轴转动：各力对转轴的力矩之和等于 I·α（ΣM = I·α），就像平动中的 ΣF = m·a。用能量形式表示，转矩 T 转过角度 θ（弧度）做的功为 T·θ，它改变动能 ½·I·ω²；重力使质心增加或减少 m·g·Δh。功率为 P = T·ω。

角速度

ω = 2π·2400/60 = 251.3 rad/s

制动器做的功等于动能

½·I·ω² = ½·27·251.3² = 852734 J

θ = 852734/165 = 5168 rad

圈数

N = θ/2π = 822.5 rev

答案

N = 822.5 rev

14.刚体转动

答案: ω = 5.081 rad/s

滚动与角动量：无滑动滚动的物体满足 v = ω·r，所以它的动能是 ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²))。沿斜面滚下时给出 a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²))。当没有外力矩作用于某一轴时，对该轴的角动量保持不变，I₁·ω₁ = I₂·ω₂，即使动能有损失。

撞击后的转动惯量

I = M·L²/3 + m·d² = 3.5·1.3²/3 + 0.035·0.97² = 2.005 kg·m²

对枢轴的角动量

枢轴力通过枢轴，所以撞击期间它对枢轴没有力矩。

m·v·d = I·ω → ω = 0.035·300·0.97/2.005 = 5.081 rad/s

答案

ω = 5.081 rad/s

15.齿轮与齿轮系

答案: T_w = 89.52 N·m

齿轮系：相互啮合的齿轮在轮齿处的线速度相同，所以 n₁·N₁ = n₂·N₂：齿数较少的齿轮转得更快。装在同一根轴上的齿轮转速相同。功率被传递下去（扣除损失），所以转速降低时扭矩增大：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η，且 P = T·ω，其中 ω = 2π·n/60。

蜗轮转速

n_w = n·z/N_w = 1440·4/45 = 128 rpm

输出扭矩

ω_w = 2π·128/60 = 13.4 rad/s

T_w = η·P/ω_w = 0.8·1500/13.4 = 89.52 N·m

答案

T_w = 89.52 N·m

16.齿轮与齿轮系

答案: n_out = 388.8 rpm

第一级

n_B = 1440·18/50 = 518.4 rpm = n_C

第二级

n_out = 518.4·24/32 = 388.8 rpm

答案

n_out = 388.8 rpm

总传动比 = 3.704 : 1

17.弹簧与单摆

答案: L = 1.68 m

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

求摆长

L = g·(T/2π)² = 9.81·(2.6/2π)² = 1.68 m

答案

L = 1.68 m

18.弹簧与单摆

答案: E = 0.525 J

角频率

ω = √(420/0.2) = 45.83 rad/s

能量

E = ½·k·A² = ½·420·0.05² = 0.525 J

答案

E = 0.525 J

19.机械振动

答案: ζ = 0.101

质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ω_n = √(k/m)（rad/s），f_n = ω_n/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/c_c，其中临界阻尼 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

临界阻尼

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(150000·20) = 3464 N·s/m

阻尼比

ζ = c/c_c = 350/3464 = 0.101

答案

ζ = 0.101

ζ < 1，所以系统为欠阻尼，在衰减的同时振荡。

20.机械振动

答案: f_n = 2.111 Hz

等效刚度

只有 k₁ 和 k₂ 是并联的。这一对与 k₃ 串联，所以要按倒数组合。

k₁₂ = 12 + 5 = 17 kN/m

k_eq = 17·12/(17 + 12) = 7.034 kN/m

固有频率

ω_n = √(7034/40) = 13.26 rad/s

f_n = 13.26/(2π) = 2.111 Hz

答案

f_n = 2.111 Hz

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