动力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

新题目返回课程

在打印窗口中选择“另存为 PDF”，即可在设备上保存一份副本。

1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

刚体转动

对质心 G 的转动惯量: 杆 mL²/12，圆盘 ½mR²，圆环 mR²，实心球 (2/5)mR²，空心球 (2/3)mR²
平行移轴定理: I = I_G + m·d²
回转半径: I = m·k²
杆绕端点: I = mL²/3
运动方程: ΣM = I·α
以 rad/s 表示的转速: ω = 2π·n/60
动能: E = ½·I·ω²
功和功率: W = T·θ, P = T·ω
无滑动滚动: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
角动量: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
绕枢轴的撞击: m·v·d = I·ω

方法

选择轴：固定的枢轴，或者对滚动的物体选质心。
用标准结果求出对该轴的转动惯量，转轴平移时用 I = I_G + m·d²。
选择方法：求加速度和力用 ΣM = I·α，求速度用能量（½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h），求撞击和突然变化用角动量。
用 v = ω·r 和 a = α·r 联系线运动和角运动，并把 rpm 换算成 rad/s。

齿轮与齿轮系

啮合齿轮: n₁·N₁ = n₂·N₂
扭矩: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
功率: P = T·ω, ω = 2π·n/60
复合轮系: 总传动比 = 各级传动比之积

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

机械振动

固有频率: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
由静挠度求: ω_n = √(g/δ_st)
临界阻尼: c_c = 2√(km) = 2mω_n
阻尼比: ζ = c/c_c
阻尼固有频率: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
对数衰减率: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
弹簧并联: k = k₁ + k₂
弹簧串联: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2练习题

1.运动学中等

一位以 90 km/h 行驶的司机看到一个障碍物。她的反应时间为 0.7 s，之后汽车以 4.5 m/s² 的恒定减速度制动。求从她看到障碍物起的总停车距离 d。

v₀ = 90 km/ht_r = 0.7 sa = −4.5 m/s²

d = m

2.运动学困难

球 A 从 30 m 高处由静止释放。同一时刻，球 B 从正下方的地面以 25 m/s 竖直上抛。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。两球何时相遇？求 t。

H = 30 mv_0B = 25 m/sg = 9.81 m/s²

t = s

3.牛顿定律中等

一个 30 kg 的雪橇被一根与水平方向成 30° 向上的绳子以 180 N 的力拉着在平坦的雪地上移动。动摩擦因数为 0.4。取 g = 9.81 m/s²。求雪橇的加速度 a。

m = 30 kgF = 180 Nθ = 30°μ = 0.4g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

水平桌面上一个 10 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 6 kg 重物相连。桌面光滑。取 g = 9.81 m/s²。求系统的加速度 a。

m₁ = 10 kgm₂ = 6 kgμ = 0g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以 18 m/s、与水平方向成 50° 的角度朝 7 m 外的一面墙踢出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。球经过墙时的高度 y 是多少？

v₀ = 18 m/sθ = 50°x = 7 mg = 9.81 m/s²

y = m

6.抛体运动困难

一个球从 25 m 高的悬崖顶上以高于水平面 45° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v₀ = 27 m/sθ = 45°h = 25 mg = 9.81 m/s²

t = s

7.圆周运动中等

一辆汽车通过半径为 55 m 的水平弯道。轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.4。取 g = 9.81 m/s²。求汽车不打滑地通过弯道的最大速度 v_max。

r = 55 mμ_s = 0.4g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.圆周运动困难

一个半径为 170 m 的弯道倾斜 18°，轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.1。取 g = 9.81 m/s²。求汽车通过弯道而不沿坡面向下滑的最低速度 v_min。

r = 170 mθ = 18°μ_s = 0.1g = 9.81 m/s²

v_min = m/s

9.功和能中等

一个物块由静止沿倾角 35° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.15。求它沿斜面滑行 5 m 后的速度 v。

θ = 35°μ = 0.15d = 5 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

10.功和能困难

一个 0.5 kg 的物块从光滑坡道上 1.5 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 2 m 的粗糙水平段（μ = 0.25），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 800 N/m）。求弹簧的最大压缩量 x。

m = 0.5 kgh = 1.5 mL = 2 mμ = 0.25k = 800 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

11.动量与碰撞中等

在无摩擦的导轨上，一个以 7 m/s 运动的 4 kg 滑块与一个静止的 2.5 kg 滑块发生完全弹性的正碰。求碰撞后第二个滑块的速度 v′₂。

m₁ = 4 kgm₂ = 2.5 kgv₁ = 7 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.动量与碰撞困难

一个 0.45 kg 的小球以 18 m/s 撞到墙上，并以 15 m/s 沿原路弹回。接触时间为 10 ms。求墙对小球的平均作用力 F_avg。

m = 0.45 kgv_in = 18 m/sv_out = 15 m/sΔt = 10 ms

F_avg = N

13.刚体转动中等

质量为 4 kg、长为 1.7 m 的均匀细杆一端铰接，保持水平。从静止释放。取 g = 9.81 m/s²。求释放瞬间的角加速度 α。

m = 4 kgL = 1.7 mg = 9.81 m/s²

α = rad/s²

14.刚体转动困难

一个质量为 12.5 kg 的薄圆环以 7 m/s 的速度无滑动地滚动。求它的转动动能 E_rot。

m = 12.5 kgv = 7 m/sI = m·r²

E_rot = J

15.齿轮与齿轮系中等

一台 3 kW 的电动机以 1500 rpm 运转，驱动一个齿数为 18 的小齿轮，小齿轮与一个齿数为 25 的大齿轮啮合。该齿轮副的效率为 97%。求电动机轴上的扭矩 T₁。

P = 3 kWn₁ = 1500 rpmN₁ = 18N₂ = 25η = 97%

T₁ = N·m

16.齿轮与齿轮系困难

在一个复合轮系中，输入轴上的齿轮 A（12 齿）以 1450 rpm 转动，驱动齿轮 B（15 齿）。齿轮 C（18 齿）与 B 固定在同一根轴上，驱动输出轴上的齿轮 D（30 齿）。求输出转速 n_out。

n_in = 1450 rpmA = 12B = 15C = 18D = 30

n_out = rpm

17.弹簧与单摆中等

一个连在 k = 250 N/m 弹簧上的 3.4 kg 物体被沿正方向拉开 10 cm，在 t = 0 时由静止释放。求 t = 0.25 s 时它相对于平衡位置的位移 x（带符号）。

m = 3.4 kgk = 250 N/mA = 10 cmt = 0.25 s

x = cm

18.弹簧与单摆困难

一个 3.3 kg 的物体连在 k = 450 N/m 的弹簧上，从平衡位置拉开 3 cm 后释放。求它的最大速度 v_max。

m = 3.3 kgk = 450 N/mA = 3 cm

v_max = m/s

19.机械振动中等

一个 10 kg 的质量块由刚度为 4 kN/m 的弹簧和阻尼系数为 100 N·s/m 的黏性阻尼器支承。求阻尼比 ζ。

m = 10 kgk = 4 kN/mc = 100 N·s/m

ζ =

20.机械振动困难

一个 100 kg 的质量块悬挂在并排（并联）的两根弹簧上，刚度分别为 k₁ = 12 kN/m 和 k₂ = 50 kN/m。质量块保持水平。求弹簧系统的等效刚度 k_eq，以 kN/m 计。

m = 100 kgk₁ = 12 kN/mk₂ = 50 kN/m

k_eq = kN/m

3溶液

1.运动学

答案: d = 86.94 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 90/3.6 = 25 m/s

反应距离

d₁ = v₀·t_r = 25·0.7 = 17.5 m

制动距离

d₂ = v₀²/(2a) = 25²/(2·4.5) = 69.44 m

合计

d = 17.5 + 69.44 = 86.94 m

答案

d = 86.94 m

2.运动学

答案: t = 1.2 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

相遇时间

向上为正，地面为 y = 0。

30 − ½g·t² = 25·t − ½g·t² → t = 30/25 = 1.2 s

答案

t = 1.2 s

3.牛顿定律

答案: a = 2.472 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

法向力

N = m·g − F·sin θ = 294.3 − 180·sin 30° = 204.3 N

水平方向的力

m·a = F·cos θ − μ·N = 155.9 − 81.72

a = 74.16/30 = 2.472 m/s²

答案

a = 2.472 m/s²

4.牛顿定律

答案: a = 3.679 m/s²

系统的加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (58.86 − 0)/16 = 3.679 m/s²

答案

a = 3.679 m/s²

5.抛体运动

答案: y = 6.547 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

到达墙的时间

v_x = 18·cos 50° = 11.57 m/s

t = x/v_x = 7/11.57 = 0.605 s

此时的高度

y = 13.79·0.605 − ½·9.81·0.605² = 6.547 m

答案

y = 6.547 m

球到达墙时仍在上升。

6.抛体运动

答案: t = 4.927 s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 27·cos 45° = 19.09 m/s

v_y = v₀·sin θ = 27·sin 45° = 19.09 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 25 + 19.09·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (19.09 + √(364.5 + 490.5))/9.81 = 4.927 s

答案

t = 4.927 s

7.圆周运动

答案: v_max = 14.69 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

摩擦力提供向心力

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.4·9.81·55) = 14.69 m/s

答案

v_max = 14.69 m/s (52.89 km/h)

8.圆周运动

答案: v_min = 19.06 m/s

力的平衡

摩擦力沿斜面向上。

N·(sin θ − μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ + μ·sin θ) = m·g

速率

v = √(170·9.81·0.2139/0.982) = 19.06 m/s

答案

v_min = 19.06 m/s

(68.62 km/h)

9.功和能

答案: v = 6.649 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

沿斜面的能量衡算

物块下降高度 d·sin θ，摩擦消耗 μmg·cos θ·d。质量约去。

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9.81·5·(0.5736 − 0.15·0.8192)) = 6.649 m/s

答案

v = 6.649 m/s

10.功和能

答案: x = 11.07 cm

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 4.905·(1.5 − 0.25·2) = 4.905 J

最大压缩量

½kx² = 4.905 → x = √(2·4.905/800) = 0.1107 m = 11.07 cm

答案

x = 11.07 cm

11.动量与碰撞

答案: v′₂ = 8.615 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′₁ = (4 − 2.5)/(4 + 2.5)·7 = 1.615 m/s

v′₂ = 2·4/(4 + 2.5)·7 = 8.615 m/s

答案

v′₂ = 8.615 m/s

12.动量与碰撞

答案: F_avg = 1485 N

动量的变化量

J = m·Δv = 0.45·(15 + 18) = 14.85 N·s

平均作用力

F_avg = J/Δt = 14.85/0.01 = 1485 N

答案

F_avg = 1485 N

13.刚体转动

答案: α = 8.656 rad/s²

绕定轴转动：各力对转轴的力矩之和等于 I·α（ΣM = I·α），就像平动中的 ΣF = m·a。用能量形式表示，转矩 T 转过角度 θ（弧度）做的功为 T·θ，它改变动能 ½·I·ω²；重力使质心增加或减少 m·g·Δh。功率为 P = T·ω。

对销钉取矩

在释放的瞬间 ω = 0，所以没有向心加速度，质心笔直向下加速。

m·g·L/2 = (m·L²/3)·α → α = 3g/(2L) = 3·9.81/(2·1.7) = 8.656 rad/s²

答案

α = 8.656 rad/s²

14.刚体转动

答案: E_rot = 306.3 J

滚动与角动量：无滑动滚动的物体满足 v = ω·r，所以它的动能是 ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²))。沿斜面滚下时给出 a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²))。当没有外力矩作用于某一轴时，对该轴的角动量保持不变，I₁·ω₁ = I₂·ω₂，即使动能有损失。

平动部分和转动部分

E_trans = ½·m·v² = ½·12.5·7² = 306.3 J

E_rot = ½·I·ω² = ½·1·m·r²·(v/r)² = 1·306.3 = 306.3 J

答案

E_rot = 306.3 J

15.齿轮与齿轮系

答案: T₁ = 19.1 N·m

齿轮系：相互啮合的齿轮在轮齿处的线速度相同，所以 n₁·N₁ = n₂·N₂：齿数较少的齿轮转得更快。装在同一根轴上的齿轮转速相同。功率被传递下去（扣除损失），所以转速降低时扭矩增大：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η，且 P = T·ω，其中 ω = 2π·n/60。

电动机扭矩

ω₁ = 2π·1500/60 = 157.1 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 3000/157.1 = 19.1 N·m

答案

T₁ = 19.1 N·m

16.齿轮与齿轮系

答案: n_out = 696 rpm

第一级

n_B = 1450·12/15 = 1160 rpm = n_C

第二级

n_out = 1160·18/30 = 696 rpm

答案

n_out = 696 rpm

总传动比 = 2.083 : 1

17.弹簧与单摆

答案: x = −5.421 cm

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

角频率

ω = √(250/3.4) = 8.575 rad/s

ω·t = 8.575·0.25 = 2.144 rad

位移

x = A·cos(ω·t) = 10·cos(2.144) = −5.421 cm

答案

x = −5.421 cm

18.弹簧与单摆

答案: v_max = 0.3503 m/s

角频率

ω = √(450/3.3) = 11.68 rad/s

最大速度

v_max = A·ω = 0.03·11.68 = 0.3503 m/s

答案

v_max = 0.3503 m/s

19.机械振动

答案: ζ = 0.25

质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ω_n = √(k/m)（rad/s），f_n = ω_n/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/c_c，其中临界阻尼 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

临界阻尼

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(4000·10) = 400 N·s/m

阻尼比

ζ = c/c_c = 100/400 = 0.25

答案

ζ = 0.25

ζ < 1，所以系统为欠阻尼，在衰减的同时振荡。

20.机械振动

答案: k_eq = 62 kN/m

等效刚度

并排的弹簧变形相同、力相加，所以刚度直接相加：k = k₁ + k₂。

k_eq = 12 + 50 = 62 kN/m

答案

k_eq = 62 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics