动力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

刚体转动

对质心 G 的转动惯量: 杆 mL²/12，圆盘 ½mR²，圆环 mR²，实心球 (2/5)mR²，空心球 (2/3)mR²
平行移轴定理: I = I_G + m·d²
回转半径: I = m·k²
杆绕端点: I = mL²/3
运动方程: ΣM = I·α
以 rad/s 表示的转速: ω = 2π·n/60
动能: E = ½·I·ω²
功和功率: W = T·θ, P = T·ω
无滑动滚动: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
角动量: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
绕枢轴的撞击: m·v·d = I·ω

方法

选择轴：固定的枢轴，或者对滚动的物体选质心。
用标准结果求出对该轴的转动惯量，转轴平移时用 I = I_G + m·d²。
选择方法：求加速度和力用 ΣM = I·α，求速度用能量（½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h），求撞击和突然变化用角动量。
用 v = ω·r 和 a = α·r 联系线运动和角运动，并把 rpm 换算成 rad/s。

齿轮与齿轮系

啮合齿轮: n₁·N₁ = n₂·N₂
扭矩: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
功率: P = T·ω, ω = 2π·n/60
复合轮系: 总传动比 = 各级传动比之积

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

机械振动

固有频率: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
由静挠度求: ω_n = √(g/δ_st)
临界阻尼: c_c = 2√(km) = 2mω_n
阻尼比: ζ = c/c_c
阻尼固有频率: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
对数衰减率: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
弹簧并联: k = k₁ + k₂
弹簧串联: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2练习题

1.运动学中等

一辆以 54 km/h 行驶的汽车以 6.5 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。求制动距离 s。

v₀ = 54 km/ha = −6.5 m/s²v = 0

s = m

2.运动学困难

从离地面 5 m 高的屋顶边缘以 7 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。抛出后多长时间小球落地？求 t。

v₀ = 7 m/sh₀ = 5 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.牛顿定律中等

一个 18 kg 的物块沿倾角为 35° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.25。取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 18 kgθ = 35°μ = 0.25g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

水平地面上的两个物块由一根水平轻绳相连。一个 135 N 的水平力拉前面 3 kg 的物块；9 kg 的物块被拖在后面。两个物块的动摩擦因数均为 0.3。取 g = 9.81 m/s²。求连接绳中的拉力 T。

m₁ = 9 kgm₂ = 3 kgF = 135 Nμ = 0.3g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 45° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v₀ = 36 m/sθ = 45°g = 9.81 m/s²

x = m

6.抛体运动困难

一个球从 25 m 高的悬崖顶上以高于水平面 40° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v₀ = 35 m/sθ = 40°h = 25 mg = 9.81 m/s²

t = s

7.圆周运动中等

一辆汽车驶过路面上的一个凸起的顶部，凸起是半径为 95 m 的圆弧。取 g = 9.81 m/s²。速度超过多少 v_max 时，车轮会在顶部离开路面？

r = 95 mg = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.圆周运动困难

一个 1.4 kg 的小球系在长 1.4 m 的绳上，在竖直平面内做圆周运动。在最低点时它的速度为 3.5 m/s。取 g = 9.81 m/s²。求最低点处绳中的张力 T。

m = 1.4 kgr = 1.4 mv = 3.5 m/sg = 9.81 m/s²

T = N

9.功和能中等

一个 4 kg 的物块沿倾角 25° 的斜面下滑 8 m，动摩擦因数为 0.25。求克服摩擦做的功 W_f。

m = 4 kgθ = 25°μ = 0.25d = 8 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

10.功和能困难

一辆 10 kg 的小车从光滑轨道上 11.2 m 高处由静止释放，轨道通入一个半径为 4 m 的竖直圆环。求小车在圆环顶点时轨道对它的法向力 N。

m = 10 kgh = 11.2 mR = 4 mg = 9.81 m/s²

N = N

11.动量与碰撞中等

在无摩擦的导轨上，一个以 7 m/s 运动的 5 kg 滑块与一个静止的 2 kg 滑块发生完全弹性的正碰。求碰撞后第二个滑块的速度 v′₂。

m₁ = 5 kgm₂ = 2 kgv₁ = 7 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.动量与碰撞困难

一个 0.45 kg 的小球以 11 m/s 撞到墙上，并以 20 m/s 沿原路弹回。接触时间为 5 ms。求墙对小球的平均作用力 F_avg。

m = 0.45 kgv_in = 11 m/sv_out = 20 m/sΔt = 5 ms

F_avg = N

13.刚体转动中等

一个 10.5 kg 的物块悬挂在绕过滑轮的轻绳上，滑轮是质量为 15.5 kg、半径为 0.45 m 的均匀实心圆盘，在无摩擦的水平轴上转动。物块从静止释放。取 g = 9.81 m/s²。求物块下落 2.5 m 后的速度 v。

m = 10.5 kgM = 15.5 kgR = 0.45 mg = 9.81 m/s²h = 2.5 m

v = m/s

14.刚体转动困难

质量为 9.5 kg、长为 0.5 m 的均匀细杆，从无摩擦的上端枢轴处静止悬挂。一颗 30 g 的子弹以 500 m/s 的速度水平击中杆上枢轴下方 0.45 m 处并留在杆中。取 g = 9.81 m/s²。求杆摆动偏离竖直方向的最大角度 φ。

M = 9.5 kgL = 0.5 mm = 30 gv = 500 m/sd = 0.45 mg = 9.81 m/s²

φ = °

15.齿轮与齿轮系中等

一台 0.37 kW、1450 rpm 的电动机驱动一个 2 头的蜗杆。蜗轮有 36 个齿，传动效率为 75%。求蜗轮轴上的输出转矩 T_w。

z = 2N_w = 36n = 1450 rpmP = 0.37 kWη = 75%

T_w = N·m

16.齿轮与齿轮系困难

在一个复合轮系中，输入轴上的齿轮 A（36 齿）以 2900 rpm 转动，驱动齿轮 B（60 齿）。齿轮 C（18 齿）与 B 固定在同一根轴上，驱动输出轴上的齿轮 D（24 齿）。求输出转速 n_out。

n_in = 2900 rpmA = 36B = 60C = 18D = 24

n_out = rpm

17.弹簧与单摆中等

一个单摆的摆长为 0.9 m。取 g = 9.81 m/s²。求小角度摆动时的周期 T。

L = 0.9 mg = 9.81 m/s²

T = s

18.弹簧与单摆困难

一个连在 k = 340 N/m 弹簧上的物体在无摩擦表面上以 17 cm 的振幅振动。求物体距平衡位置 14 cm 时弹簧中储存的能量 U。

k = 340 N/mA = 17 cmx = 14 cm

U = J

19.机械振动中等

一个 2 kg 的质量块由刚度为 12 kN/m 的弹簧和阻尼系数为 60 N·s/m 的黏性阻尼器支承。求阻尼比 ζ。

m = 2 kgk = 12 kN/mc = 60 N·s/m

ζ =

20.机械振动困难

一个 50 kg 的质量块悬挂在弹簧 k₃ = 30 kN/m 上。k₃ 的上端连接在一根刚性杆上，该杆由并排的两根弹簧 k₁ = 5 kN/m 和 k₂ = 60 kN/m 悬挂；杆保持水平。忽略阻尼以及弹簧和杆的质量。求竖向振动的固有频率 f_n，以 Hz 计。

m = 50 kgk₁ = 5 kN/mk₂ = 60 kN/mk₃ = 30 kN/m

f_n = Hz

3溶液

1.运动学

答案: s = 17.31 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 54/3.6 = 15 m/s

制动距离

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 15²/(2·6.5) = 17.31 m

答案

s = 17.31 m

2.运动学

答案: t = 1.95 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

运动方程

向上为正，地面在出发点下方 h₀ 处。

−5 = 7·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 7·t − 5 = 0

解一元二次方程

只有正根有物理意义。

t = (7 + √(7² + 2·9.81·5))/9.81 = 1.95 s

答案

t = 1.95 s

3.牛顿定律

答案: a = 3.618 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 35° − 0.25·cos 35°) = 9.81·(0.5736 − 0.2048) = 3.618 m/s²

答案

a = 3.618 m/s²

4.牛顿定律

答案: T = 101.3 N

整个系统

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (135 − 35.32)/12 = 8.307 m/s²

单独分析后面的物块

T = m₁·(a + μ·g) = 9·(8.307 + 2.943) = 101.3 N

答案

T = 101.3 N

两个物块的 μ 相同时，摩擦力被消去：T = F·m₁/(m₁ + m₂)。

5.抛体运动

答案: x = 132.1 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 36·cos 45° = 25.46 m/s

v_y = v₀·sin θ = 36·sin 45° = 25.46 m/s

飞行时间

起点与落点等高：t = 2v_y/g。

t = 2·25.46/9.81 = 5.19 s

水平距离

x = v_x·t = 25.46·5.19 = 132.1 m

答案

x = 132.1 m

6.抛体运动

答案: t = 5.511 s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 35·cos 40° = 26.81 m/s

v_y = v₀·sin θ = 35·sin 40° = 22.5 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 25 + 22.5·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (22.5 + √(506.1 + 490.5))/9.81 = 5.511 s

答案

t = 5.511 s

7.圆周运动

答案: v_max = 30.53 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

法向力为零

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9.81·95) = 30.53 m/s

答案

v_max = 30.53 m/s

(109.9 km/h)

8.圆周运动

答案: T = 25.98 N

最低点处的受力

指向圆心（向上）为正。

T − m·g = m·v²/r

T = 1.4·9.81 + 1.4·3.5²/1.4 = 13.73 + 12.25 = 25.98 N

答案

T = 25.98 N

9.功和能

答案: W_f = 71.13 J

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

摩擦力

N = mg·cos θ = 39.24·0.9063 = 35.56 N

F = μN = 0.25·35.56 = 8.891 N

克服摩擦做的功

W_f = F·d = 8.891·8 = 71.13 J

答案

W_f = 71.13 J

10.功和能

答案: N = 58.86 N

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。在圆周路径上，指向圆心的合力必须等于 mv²/r。

顶点的速度

v² = 2g(h − 2R) = 2·9.81·(11.2 − 8) = 62.78 m²/s²

顶点的受力

m·g = 10·9.81 = 98.1 N

N = mv²/R − mg = 10·62.78/4 − 98.1 = 58.86 N

答案

N = 58.86 N

当 h = 2.5R 时小车恰好能通过圆环；此时顶点处 N = 0。

11.动量与碰撞

答案: v′₂ = 10 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′₁ = (5 − 2)/(5 + 2)·7 = 3 m/s

v′₂ = 2·5/(5 + 2)·7 = 10 m/s

答案

v′₂ = 10 m/s

12.动量与碰撞

答案: F_avg = 2790 N

动量的变化量

J = m·Δv = 0.45·(20 + 11) = 13.95 N·s

平均作用力

F_avg = J/Δt = 13.95/0.005 = 2790 N

答案

F_avg = 2790 N

13.刚体转动

答案: v = 5.312 m/s

绕定轴转动：各力对转轴的力矩之和等于 I·α（ΣM = I·α），就像平动中的 ΣF = m·a。用能量形式表示，转矩 T 转过角度 θ（弧度）做的功为 T·θ，它改变动能 ½·I·ω²；重力使质心增加或减少 m·g·Δh。功率为 P = T·ω。

物块和滑轮

物块: m·g − T = m·a

滑轮: T·R = I·α = ½·M·R²·(a/R) → T = ½·M·a

加速度

a = m·g/(m + M/2) = 10.5·9.81/(10.5 + 7.75) = 5.644 m/s²

下落后的速度

v = √(2·a·h) = √(2·5.644·2.5) = 5.312 m/s

答案

v = 5.312 m/s

14.刚体转动

答案: φ = 102.6 °

滚动与角动量：无滑动滚动的物体满足 v = ω·r，所以它的动能是 ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²))。沿斜面滚下时给出 a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²))。当没有外力矩作用于某一轴时，对该轴的角动量保持不变，I₁·ω₁ = I₂·ω₂，即使动能有损失。

撞击后的转动惯量

I = M·L²/3 + m·d² = 9.5·0.5²/3 + 0.03·0.45² = 0.7977 kg·m²

对枢轴的角动量

枢轴力通过枢轴，所以撞击期间它对枢轴没有力矩。

m·v·d = I·ω → ω = 0.03·500·0.45/0.7977 = 8.461 rad/s

摆动过程中的能量

½·I·ω² = ½·0.7977·8.461² = 28.56 J

(M·g·L/2 + m·g·d)·(1 − cos φ) = 23.43·(1 − cos φ)

cos φ = 1 − 28.56/23.43 = −0.2188 → φ = 102.6°

答案

φ = 102.6°

15.齿轮与齿轮系

答案: T_w = 32.9 N·m

齿轮系：相互啮合的齿轮在轮齿处的线速度相同，所以 n₁·N₁ = n₂·N₂：齿数较少的齿轮转得更快。装在同一根轴上的齿轮转速相同。功率被传递下去（扣除损失），所以转速降低时扭矩增大：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η，且 P = T·ω，其中 ω = 2π·n/60。

蜗轮转速

n_w = n·z/N_w = 1450·2/36 = 80.56 rpm

输出扭矩

ω_w = 2π·80.56/60 = 8.436 rad/s

T_w = η·P/ω_w = 0.75·370/8.436 = 32.9 N·m

答案

T_w = 32.9 N·m

16.齿轮与齿轮系

答案: n_out = 1305 rpm

第一级

n_B = 2900·36/60 = 1740 rpm = n_C

第二级

n_out = 1740·18/24 = 1305 rpm

答案

n_out = 1305 rpm

总传动比 = 2.222 : 1

17.弹簧与单摆

答案: T = 1.903 s

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

单摆周期

T = 2π·√(0.9/9.81) = 1.903 s

答案

T = 1.903 s

18.弹簧与单摆

答案: U = 3.332 J

总能量

E = ½·k·A² = ½·340·0.17² = 4.913 J

x 处的弹簧能量

U = ½·k·x² = ½·340·0.14² = 3.332 J

答案

U = 3.332 J

19.机械振动

答案: ζ = 0.1936

质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ω_n = √(k/m)（rad/s），f_n = ω_n/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/c_c，其中临界阻尼 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

临界阻尼

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(12000·2) = 309.8 N·s/m

阻尼比

ζ = c/c_c = 60/309.8 = 0.1936

答案

ζ = 0.1936

ζ < 1，所以系统为欠阻尼，在衰减的同时振荡。

20.机械振动

答案: f_n = 3.225 Hz

等效刚度

只有 k₁ 和 k₂ 是并联的。这一对与 k₃ 串联，所以要按倒数组合。

k₁₂ = 5 + 60 = 65 kN/m

k_eq = 65·30/(65 + 30) = 20.53 kN/m

固有频率

ω_n = √(20526/50) = 20.26 rad/s

f_n = 20.26/(2π) = 3.225 Hz

答案

f_n = 3.225 Hz

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