动力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

刚体转动

对质心 G 的转动惯量: 杆 mL²/12，圆盘 ½mR²，圆环 mR²，实心球 (2/5)mR²，空心球 (2/3)mR²
平行移轴定理: I = I_G + m·d²
回转半径: I = m·k²
杆绕端点: I = mL²/3
运动方程: ΣM = I·α
以 rad/s 表示的转速: ω = 2π·n/60
动能: E = ½·I·ω²
功和功率: W = T·θ, P = T·ω
无滑动滚动: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
角动量: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
绕枢轴的撞击: m·v·d = I·ω

方法

选择轴：固定的枢轴，或者对滚动的物体选质心。
用标准结果求出对该轴的转动惯量，转轴平移时用 I = I_G + m·d²。
选择方法：求加速度和力用 ΣM = I·α，求速度用能量（½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h），求撞击和突然变化用角动量。
用 v = ω·r 和 a = α·r 联系线运动和角运动，并把 rpm 换算成 rad/s。

齿轮与齿轮系

啮合齿轮: n₁·N₁ = n₂·N₂
扭矩: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
功率: P = T·ω, ω = 2π·n/60
复合轮系: 总传动比 = 各级传动比之积

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

机械振动

固有频率: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
由静挠度求: ω_n = √(g/δ_st)
临界阻尼: c_c = 2√(km) = 2mω_n
阻尼比: ζ = c/c_c
阻尼固有频率: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
对数衰减率: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
弹簧并联: k = k₁ + k₂
弹簧串联: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2练习题

1.运动学中等

一架飞机从静止开始，以 2.75 m/s² 沿跑道匀加速。求它滑行 800 m 后的速度 v。

v₀ = 0a = 2.75 m/s²s = 800 m

v = m/s

2.运动学困难

一块石头由静止释放落入井中。释放后 1.5 s 听到落水声。声速为 343 m/s；忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求井的深度 d。

t_total = 1.5 sv_sound = 343 m/sg = 9.81 m/s²

d = m

3.牛顿定律中等

一个 15 kg 的箱子被一个平行于斜面的力沿与水平方向成 20° 的斜面匀速向上推。动摩擦因数为 0.15。取 g = 9.81 m/s²。求推力 F。

m = 15 kgθ = 20°μ = 0.15g = 9.81 m/s²

F = N

4.牛顿定律困难

水平桌面上一个 7 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 4 kg 重物相连。物块与桌面之间的动摩擦因数为 0.1。取 g = 9.81 m/s²。求绳中的张力 T。

m₁ = 7 kgm₂ = 4 kgμ = 0.1g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以 20 m/s、与水平方向成 35° 的角度朝 31 m 外的一面墙踢出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。球经过墙时的高度 y 是多少？

v₀ = 20 m/sθ = 35°x = 31 mg = 9.81 m/s²

y = m

6.抛体运动困难

一个球从 10 m 高的悬崖顶上以高于水平面 50° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v₀ = 33 m/sθ = 50°h = 10 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.圆周运动中等

一辆 800 kg 的汽车以 17 m/s 驶过路面上的一个凸起的顶部。凸起的顶部是半径为 45 m 的圆弧。取 g = 9.81 m/s²。求顶部路面对汽车的法向力 N。

m = 800 kgv = 17 m/sr = 45 mg = 9.81 m/s²

N = N

8.圆周运动困难

一个半径为 160 m 的弯道倾斜 10°，轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.3。取 g = 9.81 m/s²。求汽车通过弯道而不向上、向外滑出的最高速度 v_max。

r = 160 mθ = 10°μ_s = 0.3g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

9.功和能中等

一个 5 kg 的球挂在长 0.5 m 的轻绳上。把它拉向一侧，使绳与竖直方向成 90°，然后从静止释放。求球经过最低点时绳中的拉力 T。

m = 5 kgL = 0.5 mθ = 90°g = 9.81 m/s²

T = N

10.功和能困难

一个 2.5 kg 的物块从光滑坡道上 2 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 1.5 m 的粗糙水平段（μ = 0.3），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 4000 N/m）。求弹簧的最大压缩量 x。

m = 2.5 kgh = 2 mL = 1.5 mμ = 0.3k = 4000 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

11.动量与碰撞中等

在无摩擦的导轨上，一个以 12 m/s 运动的 4 kg 滑块与一个静止的 3.5 kg 滑块发生完全弹性的正碰。求碰撞后第二个滑块的速度 v′₂。

m₁ = 4 kgm₂ = 3.5 kgv₁ = 12 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.动量与碰撞困难

一个 0.1 kg 的小球以 11 m/s 撞到墙上，并以 16 m/s 沿原路弹回。接触时间为 10 ms。求墙对小球的平均作用力 F_avg。

m = 0.1 kgv_in = 11 m/sv_out = 16 m/sΔt = 10 ms

F_avg = N

13.刚体转动中等

一台电动机用 20 s 把转动惯量为 17.5 kg·m² 的飞轮从静止加速到 1600 rpm。忽略损耗，求它输出的平均功率 P_avg，单位 kW。

I = 17.5 kg·m²n = 1600 rpmt = 20 s

P_avg = kW

14.刚体转动困难

一个质量为 6 kg 的实心圆柱以 7.5 m/s 的速度无滑动地滚动。求它的转动动能 E_rot。

m = 6 kgv = 7.5 m/sI = ½·m·r²

E_rot = J

15.齿轮与齿轮系中等

一台 3 kW 的电动机以 1450 rpm 运转，驱动一个齿数为 32 的小齿轮，小齿轮与一个齿数为 60 的大齿轮啮合。该齿轮副的效率为 96%。求齿轮轴上的输出扭矩 T₂。

P = 3 kWn₁ = 1450 rpmN₁ = 32N₂ = 60η = 96%

T₂ = N·m

16.齿轮与齿轮系困难

在一个行星齿轮系中，太阳轮有 24 个齿，每个行星轮有 18 个齿。齿圈固定，太阳轮以 1440 rpm 驱动。求行星架的转速 n_c。

N_s = 24N_p = 18n_s = 1440 rpm

n_c = rpm

17.弹簧与单摆中等

一名宇航员在另一颗行星上发现，一个长 1.5 m 的单摆在小幅摆动时周期为 1.55 s。求该行星上的重力加速度 g。

L = 1.5 mT = 1.55 s

g = m/s²

18.弹簧与单摆困难

一个 1.2 kg 的物体连在 k = 140 N/m 的弹簧上，从平衡位置拉开 8 cm 后释放。求振动的总能量 E。

m = 1.2 kgk = 140 N/mA = 8 cm

E = J

19.机械振动中等

一个 100 kg 的质量块挂在刚度为 80 kN/m 的弹簧上，黏性阻尼器使阻尼比为 0.5。求其自由振动的有阻尼固有频率 f_d，以 Hz 计。

m = 100 kgk = 80 kN/mζ = 0.5

f_d = Hz

20.机械振动困难

一个 20 kg 的质量块悬挂在弹簧 k₃ = 20 kN/m 上。k₃ 的上端连接在一根刚性杆上，该杆由并排的两根弹簧 k₁ = 30 kN/m 和 k₂ = 15 kN/m 悬挂；杆保持水平。忽略阻尼以及弹簧和杆的质量。求竖向振动的固有频率 f_n，以 Hz 计。

m = 20 kgk₁ = 30 kN/mk₂ = 15 kN/mk₃ = 20 kN/m

f_n = Hz

3溶液

1.运动学

答案: v = 66.33 m/s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

经过该距离后的速度

v = √(2·a·s) = √(2·2.75·800) = 66.33 m/s

答案

v = 66.33 m/s

(238.8 km/h)

2.运动学

答案: d = 10.59 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

时间的两部分

½·9.81·t₁² = 343·(1.5 − t₁)

4.905·t₁² + 343·t₁ − 514.5 = 0

下落时间

只有正根有物理意义。

t₁ = (−343 + √(343² + 4·4.905·514.5))/(2·4.905) = 1.469 s

深度

d = ½·9.81·1.469² = 10.59 m

答案

d = 10.59 m

3.牛顿定律

答案: F = 71.07 N

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

匀速：各力平衡。

F = m·g·sin θ + μ·m·g·cos θ

推力

F = 50.33 + 20.74 = 71.07 N

答案

F = 71.07 N

4.牛顿定律

答案: T = 27.47 N

系统的加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (39.24 − 6.867)/11 = 2.943 m/s²

由桌面上的物块求张力

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 7·2.943 + 6.867 = 27.47 N

答案

T = 27.47 N

5.抛体运动

答案: y = 4.144 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

到达墙的时间

v_x = 20·cos 35° = 16.38 m/s

t = x/v_x = 31/16.38 = 1.892 s

此时的高度

y = 11.47·1.892 − ½·9.81·1.892² = 4.144 m

答案

y = 4.144 m

球到达墙时已经在下落。

6.抛体运动

答案: x = 117.2 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 33·cos 50° = 21.21 m/s

v_y = v₀·sin θ = 33·sin 50° = 25.28 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 10 + 25.28·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (25.28 + √(639.1 + 196.2))/9.81 = 5.523 s

水平距离

x = v_x·t = 21.21·5.523 = 117.2 m

答案

x = 117.2 m

7.圆周运动

答案: N = 2710 N

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

顶点的受力

指向圆心（向下）为正。

m·g − N = m·v²/r

N = 800·9.81 − 800·17²/45 = 7848 − 5138 = 2710 N

答案

N = 2710 N

汽车感觉变轻了：路面向上的支持力小于其重量。

8.圆周运动

答案: v_max = 28.1 m/s

力的平衡

摩擦力沿斜面向下。

N·(sin θ + μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ − μ·sin θ) = m·g

速率

v = √(160·9.81·0.4691/0.9327) = 28.1 m/s

答案

v_max = 28.1 m/s

(101.1 km/h)

9.功和能

答案: T = 147.2 N

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。在圆周路径上，指向圆心的合力必须等于 mv²/r。

最低点的速度

v² = 2gL(1 − cos θ) = 2·9.81·0.5·(1 − cos 90°) = 9.81 m²/s²

最低点的受力

m·g = 5·9.81 = 49.05 N

T = mg + mv²/L = 49.05 + 5·9.81/0.5 = 147.2 N

答案

T = 147.2 N

校核：T = mg(3 − 2cos θ) = 147.2 N。

10.功和能

答案: x = 13.79 cm

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 24.53·(2 − 0.3·1.5) = 38.01 J

最大压缩量

½kx² = 38.01 → x = √(2·38.01/4000) = 0.1379 m = 13.79 cm

答案

x = 13.79 cm

11.动量与碰撞

答案: v′₂ = 12.8 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′₁ = (4 − 3.5)/(4 + 3.5)·12 = 0.8 m/s

v′₂ = 2·4/(4 + 3.5)·12 = 12.8 m/s

答案

v′₂ = 12.8 m/s

12.动量与碰撞

答案: F_avg = 270 N

动量的变化量

J = m·Δv = 0.1·(16 + 11) = 2.7 N·s

平均作用力

F_avg = J/Δt = 2.7/0.01 = 270 N

答案

F_avg = 270 N

13.刚体转动

答案: P_avg = 12.28 kW

绕定轴转动：各力对转轴的力矩之和等于 I·α（ΣM = I·α），就像平动中的 ΣF = m·a。用能量形式表示，转矩 T 转过角度 θ（弧度）做的功为 T·θ，它改变动能 ½·I·ω²；重力使质心增加或减少 m·g·Δh。功率为 P = T·ω。

角速度

ω = 2π·1600/60 = 167.6 rad/s

能量

E = ½·I·ω² = ½·17.5·167.6² = 245643 J

平均功率

P_avg = E/t = 245643/20 = 12282 W = 12.28 kW

答案

P_avg = 12.28 kW

14.刚体转动

答案: E_rot = 84.38 J

滚动与角动量：无滑动滚动的物体满足 v = ω·r，所以它的动能是 ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²))。沿斜面滚下时给出 a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²))。当没有外力矩作用于某一轴时，对该轴的角动量保持不变，I₁·ω₁ = I₂·ω₂，即使动能有损失。

平动部分和转动部分

E_trans = ½·m·v² = ½·6·7.5² = 168.8 J

E_rot = ½·I·ω² = ½·0.5·m·r²·(v/r)² = 0.5·168.8 = 84.38 J

答案

E_rot = 84.38 J

15.齿轮与齿轮系

答案: T₂ = 35.56 N·m

齿轮系：相互啮合的齿轮在轮齿处的线速度相同，所以 n₁·N₁ = n₂·N₂：齿数较少的齿轮转得更快。装在同一根轴上的齿轮转速相同。功率被传递下去（扣除损失），所以转速降低时扭矩增大：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η，且 P = T·ω，其中 ω = 2π·n/60。

电动机扭矩

ω₁ = 2π·1450/60 = 151.8 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 3000/151.8 = 19.76 N·m

输出扭矩

T₂ = 19.76·60/32·0.96 = 35.56 N·m

答案

T₂ = 35.56 N·m

16.齿轮与齿轮系

答案: n_c = 411.4 rpm

行星齿轮系：太阳轮、齿圈和行星架的转速由威利斯方程 (n_s − n_c)/(n_r − n_c) = −N_r/N_s 联系起来：从行星架上看，该轮系是以行星轮为惰轮的普通轮系。固定其中一个构件，轮系就成为一个单一传动比的减速器。

齿圈齿数

N_r = N_s + 2·N_p = 24 + 2·18 = 60

齿圈固定时的威利斯方程

令 n_r = 0，求行星架的转速。

(1440 − n_c)/(0 − n_c) = −60/24

n_c = n_s·N_s/(N_s + N_r) = 1440·24/84 = 411.4 rpm

答案

n_c = 411.4 rpm

行星架与太阳轮转向相同。

17.弹簧与单摆

答案: g = 24.65 m/s²

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

求 g

g = 4π²·L/T² = 4π²·1.5/1.55² = 24.65 m/s²

答案

g = 24.65 m/s²

18.弹簧与单摆

答案: E = 0.448 J

角频率

ω = √(140/1.2) = 10.8 rad/s

能量

E = ½·k·A² = ½·140·0.08² = 0.448 J

答案

E = 0.448 J

19.机械振动

答案: f_d = 3.898 Hz

质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ω_n = √(k/m)（rad/s），f_n = ω_n/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/c_c，其中临界阻尼 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

无阻尼固有频率

ω_n = √(80000/100) = 28.28 rad/s

f_n = 28.28/(2π) = 4.502 Hz

有阻尼固有频率

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 4.502·√(1 − 0.5²) = 3.898 Hz

答案

f_d = 3.898 Hz

20.机械振动

答案: f_n = 4.188 Hz

等效刚度

只有 k₁ 和 k₂ 是并联的。这一对与 k₃ 串联，所以要按倒数组合。

k₁₂ = 30 + 15 = 45 kN/m

k_eq = 45·20/(45 + 20) = 13.85 kN/m

固有频率

ω_n = √(13846/20) = 26.31 rad/s

f_n = 26.31/(2π) = 4.188 Hz

答案

f_n = 4.188 Hz

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