动力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

刚体转动

对质心 G 的转动惯量: 杆 mL²/12，圆盘 ½mR²，圆环 mR²，实心球 (2/5)mR²，空心球 (2/3)mR²
平行移轴定理: I = I_G + m·d²
回转半径: I = m·k²
杆绕端点: I = mL²/3
运动方程: ΣM = I·α
以 rad/s 表示的转速: ω = 2π·n/60
动能: E = ½·I·ω²
功和功率: W = T·θ, P = T·ω
无滑动滚动: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
角动量: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
绕枢轴的撞击: m·v·d = I·ω

方法

选择轴：固定的枢轴，或者对滚动的物体选质心。
用标准结果求出对该轴的转动惯量，转轴平移时用 I = I_G + m·d²。
选择方法：求加速度和力用 ΣM = I·α，求速度用能量（½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h），求撞击和突然变化用角动量。
用 v = ω·r 和 a = α·r 联系线运动和角运动，并把 rpm 换算成 rad/s。

齿轮与齿轮系

啮合齿轮: n₁·N₁ = n₂·N₂
扭矩: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
功率: P = T·ω, ω = 2π·n/60
复合轮系: 总传动比 = 各级传动比之积

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

机械振动

固有频率: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
由静挠度求: ω_n = √(g/δ_st)
临界阻尼: c_c = 2√(km) = 2mω_n
阻尼比: ζ = c/c_c
阻尼固有频率: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
对数衰减率: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
弹簧并联: k = k₁ + k₂
弹簧串联: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2练习题

1.运动学中等

一辆以恒定的 18 m/s 超速行驶的汽车经过一辆静止的警车。此时警车启动并以 4.5 m/s² 匀加速。警车需要多长时间追上？求 t。

v_car = 18 m/sa_police = 4.5 m/s²v_0,police = 0

t = s

2.运动学困难

从离地面 30 m 高的屋顶边缘以 19 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求小球离地面的最大高度 h_max。

v₀ = 19 m/sh₀ = 30 mg = 9.81 m/s²

h_max = m

3.牛顿定律中等

一个 15 kg 的雪橇被一根与水平方向成 35° 向上的绳子以 160 N 的力拉着在平坦的雪地上移动。动摩擦因数为 0.4。取 g = 9.81 m/s²。求雪橇的加速度 a。

m = 15 kgF = 160 Nθ = 35°μ = 0.4g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

水平桌面上一个 6.5 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 3 kg 重物相连。物块与桌面之间的动摩擦因数为 0.2。取 g = 9.81 m/s²。求系统的加速度 a。

m₁ = 6.5 kgm₂ = 3 kgμ = 0.2g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以 20 m/s 抛出，必须落在 35 m 远处。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求两个可能的抛射角中较小的一个 θ。

v₀ = 20 m/sR = 35 mg = 9.81 m/s²

θ = °

6.抛体运动困难

一个球从 10 m 高的悬崖顶部以 23 m/s、与水平方向成 20° 的角度抛出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求它高出悬崖脚下地面的最大高度 H。

v₀ = 23 m/sθ = 20°h = 10 mg = 9.81 m/s²

H = m

7.圆周运动中等

一辆汽车通过半径为 75 m 的水平弯道。轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.7。取 g = 9.81 m/s²。求汽车不打滑地通过弯道的最大速度 v_max。

r = 75 mμ_s = 0.7g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.圆周运动困难

一辆 2 kg 的小车在无摩擦轨道上从 28 m 高处由静止释放，驶过一个半径为 7 m 的竖直圆环。取 g = 9.81 m/s²。求小车在圆环顶部时轨道对它的法向力 N_top。

m = 2 kgh = 28 mR = 7 mg = 9.81 m/s²

N_top = N

9.功和能中等

一个 0.5 kg 的球挂在长 0.8 m 的轻绳上。把它拉向一侧，使绳与竖直方向成 30°，然后从静止释放。求球经过最低点时绳中的拉力 T。

m = 0.5 kgL = 0.8 mθ = 30°g = 9.81 m/s²

T = N

10.功和能困难

在 35° 斜坡底部有一根刚度为 2000 N/m 的弹簧，它顶着一个 1 kg 的物块被压缩 15 cm，然后释放。物块与斜坡之间的动摩擦因数为 0.2。物块从释放点沿斜坡向上滑行多远 d 后停下？（忽略弹簧推动的那一小段距离，即在整个距离 d 上都计入摩擦和重力。）

m = 1 kgk = 2000 N/mx = 15 cmθ = 35°μ = 0.2g = 9.81 m/s²

d = m

11.动量与碰撞中等

在无摩擦的导轨上，一个以 4 m/s 运动的 4.5 kg 滑块与一个静止的 2 kg 滑块发生完全弹性的正碰。求碰撞后第二个滑块的速度 v′₂。

m₁ = 4.5 kgm₂ = 2 kgv₁ = 4 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.动量与碰撞困难

一个 0.6 kg 的小球以 29 m/s 撞到墙上，并以 18 m/s 沿原路弹回。接触时间为 5 ms。求墙给小球的冲量大小 J。

m = 0.6 kgv_in = 29 m/sv_out = 18 m/sΔt = 5 ms

J = N·s

13.刚体转动中等

一个 5 kg 的物块悬挂在绕过滑轮的轻绳上，滑轮是质量为 15 kg、半径为 0.3 m 的均匀实心圆盘，在无摩擦的水平轴上转动。物块从静止释放。取 g = 9.81 m/s²。求物块的加速度 a。

m = 5 kgM = 15 kgR = 0.3 mg = 9.81 m/s²

a = m/s²

14.刚体转动困难

一个质量为 8 kg 的空心球以 8 m/s 的速度无滑动地滚动。求它的转动动能 E_rot。

m = 8 kgv = 8 m/sI = (2/3)·m·r²

E_rot = J

15.齿轮与齿轮系中等

一个 160 mm 的带轮以 2880 rpm 通过皮带驱动一个 300 mm 的带轮，打滑率为 1 %。求从动轮的转速 n₂。

n₁ = 2880 rpmd₁ = 160 mmd₂ = 300 mms = 1 %

n₂ = rpm

16.齿轮与齿轮系困难

在一个复合轮系中，输入轴上的齿轮 A（50 齿）以 1500 rpm 转动，驱动齿轮 B（80 齿）。齿轮 C（20 齿）与 B 固定在同一根轴上，驱动输出轴上的齿轮 D（32 齿）。求输出转速 n_out。

n_in = 1500 rpmA = 50B = 80C = 20D = 32

n_out = rpm

17.弹簧与单摆中等

一名宇航员在另一颗行星上发现，一个长 1.2 m 的单摆在小幅摆动时周期为 5.41 s。求该行星上的重力加速度 g。

L = 1.2 mT = 5.41 s

g = m/s²

18.弹簧与单摆困难

一个 0.5 kg 的物体连在 k = 70 N/m 的弹簧上，从平衡位置拉开 6 cm 后释放。求它的最大速度 v_max。

m = 0.5 kgk = 70 N/mA = 6 cm

v_max = m/s

19.机械振动中等

在有阻尼质量–弹簧系统的自由振动试验中，位移峰值 12 mm 之后 2 个周期出现峰值 7.3 mm。求阻尼比 ζ。

x₀ = 12 mmx₂ = 7.3 mmn = 2

ζ =

20.机械振动困难

一个 40 kg 的质量块悬挂在并排（并联）的两根弹簧上，刚度分别为 k₁ = 40 kN/m 和 k₂ = 20 kN/m。质量块保持水平。求弹簧系统的等效刚度 k_eq，以 kN/m 计。

m = 40 kgk₁ = 40 kN/mk₂ = 20 kN/m

k_eq = kN/m

3溶液

1.运动学

答案: t = 8 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

距离相等

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·18/4.5 = 8 s

答案

t = 8 s

此时警车的速度为 2v = 36 m/s。

2.运动学

答案: h_max = 48.4 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

高出屋顶的高度

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 19²/(2·9.81) = 18.4 m

离地面的高度

h_max = 30 + 18.4 = 48.4 m

答案

h_max = 48.4 m

3.牛顿定律

答案: a = 7.261 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

法向力

N = m·g − F·sin θ = 147.2 − 160·sin 35° = 55.38 N

水平方向的力

m·a = F·cos θ − μ·N = 131.1 − 22.15

a = 108.9/15 = 7.261 m/s²

答案

a = 7.261 m/s²

4.牛顿定律

答案: a = 1.755 m/s²

系统的加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (29.43 − 12.75)/9.5 = 1.755 m/s²

答案

a = 1.755 m/s²

5.抛体运动

答案: θ = 29.57 °

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

射程公式

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9.81·35/20² = 0.8584

相角

2θ = 59.13° → θ = 29.57°

答案

θ = 29.57°

另一个解为 90° − θ = 60.43°。

6.抛体运动

答案: H = 13.15 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

竖直方向的初速度

v_y = 23·sin 20° = 7.866 m/s

高出悬崖的上升高度

Δh = v_y²/(2g) = 7.866²/(2·9.81) = 3.154 m

离地面的高度

H = 10 + 3.154 = 13.15 m

答案

H = 13.15 m

7.圆周运动

答案: v_max = 22.69 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

摩擦力提供向心力

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.7·9.81·75) = 22.69 m/s

答案

v_max = 22.69 m/s (81.7 km/h)

8.圆周运动

答案: N_top = 58.86 N

由能量守恒求速度

v² = 2·9.81·(28 − 2·7) = 274.7 m²/s²

受力

指向圆心为正。

N = m·v²/R − m·g = 2·274.7/7 − 19.62 = 58.86 N

答案

N_top = 58.86 N

9.功和能

答案: T = 6.219 N

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。在圆周路径上，指向圆心的合力必须等于 mv²/r。

最低点的速度

v² = 2gL(1 − cos θ) = 2·9.81·0.8·(1 − cos 30°) = 2.103 m²/s²

最低点的受力

m·g = 0.5·9.81 = 4.905 N

T = mg + mv²/L = 4.905 + 0.5·2.103/0.8 = 6.219 N

答案

T = 6.219 N

校核：T = mg(3 − 2cos θ) = 6.219 N。

10.功和能

答案: d = 3.11 m

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

弹簧能量

x = 15 cm = 0.15 m

½kx² = ½·2000·0.15² = 22.5 J

沿斜面的能量衡算

m·g = 1·9.81 = 9.81 N

½kx² = mg·d·(sin θ + μ·cos θ)

d = 22.5/(9.81·(0.5736 + 0.2·0.8192)) = 3.11 m

答案

d = 3.11 m

11.动量与碰撞

答案: v′₂ = 5.538 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′₁ = (4.5 − 2)/(4.5 + 2)·4 = 1.538 m/s

v′₂ = 2·4.5/(4.5 + 2)·4 = 5.538 m/s

答案

v′₂ = 5.538 m/s

12.动量与碰撞

答案: J = 28.2 N·s

动量的变化量

J = m·Δv = 0.6·(18 + 29) = 28.2 N·s

答案

J = 28.2 N·s

13.刚体转动

答案: a = 3.924 m/s²

绕定轴转动：各力对转轴的力矩之和等于 I·α（ΣM = I·α），就像平动中的 ΣF = m·a。用能量形式表示，转矩 T 转过角度 θ（弧度）做的功为 T·θ，它改变动能 ½·I·ω²；重力使质心增加或减少 m·g·Δh。功率为 P = T·ω。

物块和滑轮

物块: m·g − T = m·a

滑轮: T·R = I·α = ½·M·R²·(a/R) → T = ½·M·a

加速度

a = m·g/(m + M/2) = 5·9.81/(5 + 7.5) = 3.924 m/s²

答案

a = 3.924 m/s²

14.刚体转动

答案: E_rot = 170.7 J

滚动与角动量：无滑动滚动的物体满足 v = ω·r，所以它的动能是 ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²))。沿斜面滚下时给出 a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²))。当没有外力矩作用于某一轴时，对该轴的角动量保持不变，I₁·ω₁ = I₂·ω₂，即使动能有损失。

平动部分和转动部分

E_trans = ½·m·v² = ½·8·8² = 256 J

E_rot = ½·I·ω² = ½·0.6667·m·r²·(v/r)² = 0.6667·256 = 170.7 J

答案

E_rot = 170.7 J

15.齿轮与齿轮系

答案: n₂ = 1521 rpm

皮带传动：无打滑时，两个带轮的轮缘线速度相同，v = π·d·n/60，所以 n₁·d₁ = n₂·d₂，速比为 d₂/d₁。打滑率 s 使从动轮稍慢：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。传递的功率为 P = (T₁ − T₂)·v，其中 T₁ 为紧边张力，T₂ 为松边张力。摩擦限制了张力之比：T₁/T₂ = e^μθ，其中 θ 是小带轮上的包角（弧度）；对开口皮带，θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))，C 为中心距。

无打滑时的转速

2880·160/300 = 1536 rpm

有打滑

n₂ = 1536·0.99 = 1521 rpm

答案

n₂ = 1521 rpm

16.齿轮与齿轮系

答案: n_out = 585.9 rpm

齿轮系：相互啮合的齿轮在轮齿处的线速度相同，所以 n₁·N₁ = n₂·N₂：齿数较少的齿轮转得更快。装在同一根轴上的齿轮转速相同。功率被传递下去（扣除损失），所以转速降低时扭矩增大：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η，且 P = T·ω，其中 ω = 2π·n/60。

第一级

n_B = 1500·50/80 = 937.5 rpm = n_C

第二级

n_out = 937.5·20/32 = 585.9 rpm

答案

n_out = 585.9 rpm

总传动比 = 2.56 : 1

17.弹簧与单摆

答案: g = 1.619 m/s²

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

求 g

g = 4π²·L/T² = 4π²·1.2/5.41² = 1.619 m/s²

答案

g = 1.619 m/s²

18.弹簧与单摆

答案: v_max = 0.7099 m/s

角频率

ω = √(70/0.5) = 11.83 rad/s

最大速度

v_max = A·ω = 0.06·11.83 = 0.7099 m/s

答案

v_max = 0.7099 m/s

19.机械振动

答案: ζ = 0.03952

质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ω_n = √(k/m)（rad/s），f_n = ω_n/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/c_c，其中临界阻尼 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

对数衰减率

δ = (1/2)·ln(12/7.3) = 0.2485

阻尼比

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.2485/√(39.48 + 0.06176) = 0.03952

答案

ζ = 0.03952

20.机械振动

答案: k_eq = 60 kN/m

等效刚度

并排的弹簧变形相同、力相加，所以刚度直接相加：k = k₁ + k₂。

k_eq = 40 + 20 = 60 kN/m

答案

k_eq = 60 kN/m

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