动力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

新题目返回课程

在打印窗口中选择“另存为 PDF”，即可在设备上保存一份副本。

1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

刚体转动

对质心 G 的转动惯量: 杆 mL²/12，圆盘 ½mR²，圆环 mR²，实心球 (2/5)mR²，空心球 (2/3)mR²
平行移轴定理: I = I_G + m·d²
回转半径: I = m·k²
杆绕端点: I = mL²/3
运动方程: ΣM = I·α
以 rad/s 表示的转速: ω = 2π·n/60
动能: E = ½·I·ω²
功和功率: W = T·θ, P = T·ω
无滑动滚动: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
角动量: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
绕枢轴的撞击: m·v·d = I·ω

方法

选择轴：固定的枢轴，或者对滚动的物体选质心。
用标准结果求出对该轴的转动惯量，转轴平移时用 I = I_G + m·d²。
选择方法：求加速度和力用 ΣM = I·α，求速度用能量（½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h），求撞击和突然变化用角动量。
用 v = ω·r 和 a = α·r 联系线运动和角运动，并把 rpm 换算成 rad/s。

齿轮与齿轮系

啮合齿轮: n₁·N₁ = n₂·N₂
扭矩: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
功率: P = T·ω, ω = 2π·n/60
复合轮系: 总传动比 = 各级传动比之积

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

机械振动

固有频率: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
由静挠度求: ω_n = √(g/δ_st)
临界阻尼: c_c = 2√(km) = 2mω_n
阻尼比: ζ = c/c_c
阻尼固有频率: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
对数衰减率: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
弹簧并联: k = k₁ + k₂
弹簧串联: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2练习题

1.运动学中等

一辆以 108 km/h 行驶的汽车以 5 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。求制动距离 s。

v₀ = 108 km/ha = −5 m/s²v = 0

s = m

2.运动学困难

球 A 从 25 m 高处由静止释放。同一时刻，球 B 从正下方的地面以 13 m/s 竖直上抛。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。它们在离地面多高处 y 相遇？

H = 25 mv_0B = 13 m/sg = 9.81 m/s²

y = m

3.牛顿定律中等

一个 11 kg 的物块沿倾角为 35° 的光滑斜面下滑。取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 11 kgθ = 35°μ = 0g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

水平桌面上一个 4.5 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 0.5 kg 重物相连。桌面光滑。取 g = 9.81 m/s²。求绳中的张力 T。

m₁ = 4.5 kgm₂ = 0.5 kgμ = 0g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 50° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球达到的最大高度 H。

v₀ = 36 m/sθ = 50°g = 9.81 m/s²

H = m

6.抛体运动困难

一个球从 40 m 高的悬崖顶部以 29 m/s、与水平方向成 50° 的角度抛出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求它高出悬崖脚下地面的最大高度 H。

v₀ = 29 m/sθ = 50°h = 40 mg = 9.81 m/s²

H = m

7.圆周运动中等

一辆汽车通过半径为 85 m 的水平弯道。轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.4。取 g = 9.81 m/s²。求汽车不打滑地通过弯道的最大速度 v_max。

r = 85 mμ_s = 0.4g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.圆周运动困难

一个半径为 170 m 的弯道倾斜 18°，轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.4。取 g = 9.81 m/s²。求汽车通过弯道而不向上、向外滑出的最高速度 v_max。

r = 170 mθ = 18°μ_s = 0.4g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

9.功和能中等

一个物块由静止沿倾角 45° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.4。求它沿斜面滑行 12 m 后的速度 v。

θ = 45°μ = 0.4d = 12 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

10.功和能困难

一个 2.5 kg 的物块从光滑坡道上 4.5 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 4 m 的粗糙水平段（μ = 0.1），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 500 N/m）。求物块到达弹簧时的速度 v。

m = 2.5 kgh = 4.5 mL = 4 mμ = 0.1k = 500 N/mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.动量与碰撞中等

一个以 13 m/s 水平运动的 11 kg 抛射体爆炸成沿同一直线运动的两块碎片。5 kg 的碎片以 23 m/s 继续向前运动。求 6 kg 碎片的速度 v′₂（以原运动方向为正）。

M = 11 kgu = 13 m/sm₁ = 5 kgv′₁ = 23 m/sm₂ = 6 kg

v′₂ = m/s

12.动量与碰撞困难

一个 0.6 kg 的小球以 26 m/s 撞到墙上，并以 15 m/s 沿原路弹回。接触时间为 5 ms。求墙对小球的平均作用力 F_avg。

m = 0.6 kgv_in = 26 m/sv_out = 15 m/sΔt = 5 ms

F_avg = N

13.刚体转动中等

质量为 2.5 kg、长为 0.8 m 的均匀细杆一端铰接，在水平位置从静止释放。忽略摩擦，取 g = 9.81 m/s²。求杆摆过竖直位置时的角速度 ω。

m = 2.5 kgL = 0.8 mg = 9.81 m/s²

ω = rad/s

14.刚体转动困难

一个薄圆环从静止开始，沿与水平面成 15° 的斜面无滑动地滚下。取 g = 9.81 m/s²。它的半径为 0.1 m。求它沿斜面滚过 9 m 后的角速度 ω。

θ = 15°s = 9 mI = m·r²g = 9.81 m/s²r = 0.1 m

ω = rad/s

15.齿轮与齿轮系中等

一条皮带绕在一个以 1450 rpm 转动、直径 100 mm 的主动轮上。紧边张力为 800 N，松边张力为 240 N。求传递的功率 P，单位 kW。

d₁ = 100 mmn₁ = 1450 rpmT₁ = 800 NT₂ = 240 N

P = kW

16.齿轮与齿轮系困难

在一个复合轮系中，输入轴上的齿轮 A（15 齿）以 1440 rpm 转动，驱动齿轮 B（20 齿）。齿轮 C（25 齿）与 B 固定在同一根轴上，驱动输出轴上的齿轮 D。输出轴须以 337.5 rpm 转动。齿轮 D 须有多少个齿 N_D？

n_in = 1440 rpmA = 15B = 20C = 25n_out = 337.5 rpm

N_D =

17.弹簧与单摆中等

一个单摆的摆长为 0.5 m。取 g = 9.81 m/s²。求小角度摆动时的周期 T。

L = 0.5 mg = 9.81 m/s²

T = s

18.弹簧与单摆困难

一个 0.3 kg 的物体连在 k = 140 N/m 的弹簧上，从平衡位置拉开 19 cm 后释放。求振动的总能量 E。

m = 0.3 kgk = 140 N/mA = 19 cm

E = J

19.机械振动中等

一个 5 kg 的质量块挂在刚度为 2 kN/m 的弹簧上，黏性阻尼器使阻尼比为 0.6。求其自由振动的有阻尼固有频率 f_d，以 Hz 计。

m = 5 kgk = 2 kN/mζ = 0.6

f_d = Hz

20.机械振动困难

一个 25 kg 的质量块悬挂在首尾相接（串联）的两根弹簧上：上弹簧 k₁ = 15 kN/m，下弹簧 k₂ = 50 kN/m。求弹簧系统的等效刚度 k_eq，以 kN/m 计。

m = 25 kgk₁ = 15 kN/mk₂ = 50 kN/m

k_eq = kN/m

3溶液

1.运动学

答案: s = 90 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 108/3.6 = 30 m/s

制动距离

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 30²/(2·5) = 90 m

答案

s = 90 m

2.运动学

答案: y = 6.86 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

相遇时间

向上为正，地面为 y = 0。

25 − ½g·t² = 13·t − ½g·t² → t = 25/13 = 1.923 s

相遇高度

y = 13·1.923 − ½·9.81·1.923² = 6.86 m

答案

y = 6.86 m

3.牛顿定律

答案: a = 5.627 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 35° − 0·cos 35°) = 9.81·(0.5736 − 0) = 5.627 m/s²

答案

a = 5.627 m/s²

4.牛顿定律

答案: T = 4.415 N

系统的加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (4.905 − 0)/5 = 0.981 m/s²

由桌面上的物块求张力

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 4.5·0.981 + 0 = 4.415 N

答案

T = 4.415 N

5.抛体运动

答案: H = 38.76 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 36·cos 50° = 23.14 m/s

v_y = v₀·sin θ = 36·sin 50° = 27.58 m/s

最高点

在最高点竖直速度为零：v_y² = 2gH。

H = v_y²/(2g) = 27.58²/(2·9.81) = 38.76 m

答案

H = 38.76 m

6.抛体运动

答案: H = 65.15 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

竖直方向的初速度

v_y = 29·sin 50° = 22.22 m/s

高出悬崖的上升高度

Δh = v_y²/(2g) = 22.22²/(2·9.81) = 25.15 m

离地面的高度

H = 40 + 25.15 = 65.15 m

答案

H = 65.15 m

7.圆周运动

答案: v_max = 18.26 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

摩擦力提供向心力

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.4·9.81·85) = 18.26 m/s

答案

v_max = 18.26 m/s (65.75 km/h)

8.圆周运动

答案: v_max = 37.28 m/s

力的平衡

摩擦力沿斜面向下。

N·(sin θ + μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ − μ·sin θ) = m·g

速率

v = √(170·9.81·0.6894/0.8274) = 37.28 m/s

答案

v_max = 37.28 m/s

(134.2 km/h)

9.功和能

答案: v = 9.994 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

沿斜面的能量衡算

物块下降高度 d·sin θ，摩擦消耗 μmg·cos θ·d。质量约去。

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9.81·12·(0.7071 − 0.4·0.7071)) = 9.994 m/s

答案

v = 9.994 m/s

10.功和能

答案: v = 8.969 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 24.53·(4.5 − 0.1·4) = 100.6 J

到达弹簧时的速度

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9.81·4.1) = 8.969 m/s

答案

v = 8.969 m/s

11.动量与碰撞

答案: v′₂ = 4.667 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

碰撞前的动量

p = M·u = 11·13 = 143 kg·m/s

碰撞后的动量

143 = 5·23 + 6·v′₂

v′₂ = (143 − 115)/6 = 4.667 m/s

答案

v′₂ = 4.667 m/s

12.动量与碰撞

答案: F_avg = 4920 N

动量的变化量

J = m·Δv = 0.6·(15 + 26) = 24.6 N·s

平均作用力

F_avg = J/Δt = 24.6/0.005 = 4920 N

答案

F_avg = 4920 N

13.刚体转动

答案: ω = 6.065 rad/s

绕定轴转动：各力对转轴的力矩之和等于 I·α（ΣM = I·α），就像平动中的 ΣF = m·a。用能量形式表示，转矩 T 转过角度 θ（弧度）做的功为 T·θ，它改变动能 ½·I·ω²；重力使质心增加或减少 m·g·Δh。功率为 P = T·ω。

势能的减少

m·g·L/2 = 2.5·9.81·0.4 = 9.81 J

对销钉的转动惯量

I_O = m·L²/3 = 2.5·0.8²/3 = 0.5333 kg·m²

能量衡算

½·I_O·ω² = 9.81 → ω = √(2·9.81/0.5333) = 6.065 rad/s

答案

ω = 6.065 rad/s

14.刚体转动

答案: ω = 47.8 rad/s

滚动与角动量：无滑动滚动的物体满足 v = ω·r，所以它的动能是 ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²))。沿斜面滚下时给出 a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²))。当没有外力矩作用于某一轴时，对该轴的角动量保持不变，I₁·ω₁ = I₂·ω₂，即使动能有损失。

下降的高度

h = s·sin θ = 9·sin 15° = 2.329 m

滚动时的能量平衡

无滑动滚动：ω = v/r，接触点处的摩擦力不做功。

m·g·h = ½·m·v²·(1 + 1)

v = √(2·9.81·2.329/2) = 4.78 m/s

ω = v/r = 4.78/0.1 = 47.8 rad/s

答案

ω = 47.8 rad/s

15.齿轮与齿轮系

答案: P = 4.252 kW

皮带传动：无打滑时，两个带轮的轮缘线速度相同，v = π·d·n/60，所以 n₁·d₁ = n₂·d₂，速比为 d₂/d₁。打滑率 s 使从动轮稍慢：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。传递的功率为 P = (T₁ − T₂)·v，其中 T₁ 为紧边张力，T₂ 为松边张力。摩擦限制了张力之比：T₁/T₂ = e^μθ，其中 θ 是小带轮上的包角（弧度）；对开口皮带，θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))，C 为中心距。

皮带速度

v = 7.592 m/s

功率

P = (800 − 240)·7.592 = 4252 W = 4.252 kW

答案

P = 4.252 kW

16.齿轮与齿轮系

答案: N_D = 80

齿轮系：相互啮合的齿轮在轮齿处的线速度相同，所以 n₁·N₁ = n₂·N₂：齿数较少的齿轮转得更快。装在同一根轴上的齿轮转速相同。功率被传递下去（扣除损失），所以转速降低时扭矩增大：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η，且 P = T·ω，其中 ω = 2π·n/60。

中间轴转速

n_B = n_C = 1440·15/20 = 1080 rpm

齿轮 D 的齿数

N_D = C·n_C/n_out = 25·1080/337.5 = 80

答案

N_D = 80

17.弹簧与单摆

答案: T = 1.419 s

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

单摆周期

T = 2π·√(0.5/9.81) = 1.419 s

答案

T = 1.419 s

18.弹簧与单摆

答案: E = 2.527 J

角频率

ω = √(140/0.3) = 21.6 rad/s

能量

E = ½·k·A² = ½·140·0.19² = 2.527 J

答案

E = 2.527 J

19.机械振动

答案: f_d = 2.546 Hz

质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ω_n = √(k/m)（rad/s），f_n = ω_n/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/c_c，其中临界阻尼 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

无阻尼固有频率

ω_n = √(2000/5) = 20 rad/s

f_n = 20/(2π) = 3.183 Hz

有阻尼固有频率

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 3.183·√(1 − 0.6²) = 2.546 Hz

答案

f_d = 2.546 Hz

20.机械振动

答案: k_eq = 11.54 kN/m

等效刚度

串联弹簧受力相同、变形相加，所以按倒数组合：1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

1/k_eq = 1/15 + 1/50 → k_eq = 15·50/(15 + 50) = 11.54 kN/m

答案

k_eq = 11.54 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics