动力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

刚体转动

对质心 G 的转动惯量: 杆 mL²/12，圆盘 ½mR²，圆环 mR²，实心球 (2/5)mR²，空心球 (2/3)mR²
平行移轴定理: I = I_G + m·d²
回转半径: I = m·k²
杆绕端点: I = mL²/3
运动方程: ΣM = I·α
以 rad/s 表示的转速: ω = 2π·n/60
动能: E = ½·I·ω²
功和功率: W = T·θ, P = T·ω
无滑动滚动: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
角动量: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
绕枢轴的撞击: m·v·d = I·ω

方法

选择轴：固定的枢轴，或者对滚动的物体选质心。
用标准结果求出对该轴的转动惯量，转轴平移时用 I = I_G + m·d²。
选择方法：求加速度和力用 ΣM = I·α，求速度用能量（½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h），求撞击和突然变化用角动量。
用 v = ω·r 和 a = α·r 联系线运动和角运动，并把 rpm 换算成 rad/s。

齿轮与齿轮系

啮合齿轮: n₁·N₁ = n₂·N₂
扭矩: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
功率: P = T·ω, ω = 2π·n/60
复合轮系: 总传动比 = 各级传动比之积

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

机械振动

固有频率: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
由静挠度求: ω_n = √(g/δ_st)
临界阻尼: c_c = 2√(km) = 2mω_n
阻尼比: ζ = c/c_c
阻尼固有频率: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
对数衰减率: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
弹簧并联: k = k₁ + k₂
弹簧串联: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2练习题

1.运动学中等

一辆以 45 km/h 行驶的汽车以 3.5 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。求制动距离 s。

v₀ = 45 km/ha = −3.5 m/s²v = 0

s = m

2.运动学困难

球 A 从 15 m 高处由静止释放。同一时刻，球 B 从正下方的地面以 25 m/s 竖直上抛。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。两球何时相遇？求 t。

H = 15 mv_0B = 25 m/sg = 9.81 m/s²

t = s

3.牛顿定律中等

一个 18 kg 的物块沿倾角为 25° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.1。取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 18 kgθ = 25°μ = 0.1g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

一个物块被推了一下，以 11.5 m/s 的速度开始沿 15° 的斜面向上滑动。动摩擦因数为 0.25。取 g = 9.81 m/s²。它沿斜面滑行多远 d 后停止？

v₀ = 11.5 m/sθ = 15°μ = 0.25g = 9.81 m/s²

d = m

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 25° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v₀ = 18 m/sθ = 25°g = 9.81 m/s²

x = m

6.抛体运动困难

一个球从 5 m 高的悬崖顶部以 17 m/s、与水平方向成 35° 的角度抛出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求它高出悬崖脚下地面的最大高度 H。

v₀ = 17 m/sθ = 35°h = 5 mg = 9.81 m/s²

H = m

7.圆周运动中等

在游乐场的转筒中，乘客背靠在半径为 1.7 m 的竖直圆筒壁上。圆筒转得足够快时，底板下降，靠摩擦力托住乘客。静摩擦因数为 0.4。取 g = 9.81 m/s²。求最小转速 n，以每分钟转数表示。

r = 1.7 mμ_s = 0.4g = 9.81 m/s²

n = rpm

8.圆周运动困难

一个半径为 50 m 的弯道倾斜 12°，轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.15。取 g = 9.81 m/s²。求汽车通过弯道而不沿坡面向下滑的最低速度 v_min。

r = 50 mθ = 12°μ_s = 0.15g = 9.81 m/s²

v_min = m/s

9.功和能中等

一辆 1200 kg 的汽车以恒定的 90 km/h 驶上 8° 的斜坡。空气阻力和滚动阻力合计 400 N。求车轮须输出的功率 P，以 kW 表示。

m = 1200 kgθ = 8°F_r = 400 Nv = 90 km/hg = 9.81 m/s²

P = kW

10.功和能困难

一个 2.5 kg 的物块从光滑坡道上 4.5 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 1.5 m 的粗糙水平段（μ = 0.3），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 1000 N/m）。求弹簧的最大压缩量 x。

m = 2.5 kgh = 4.5 mL = 1.5 mμ = 0.3k = 1000 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

11.动量与碰撞中等

在无摩擦的导轨上，一个以 4 m/s 运动的 1.5 kg 滑块与一个静止的 3 kg 滑块发生完全弹性的正碰。求碰撞后第二个滑块的速度 v′₂。

m₁ = 1.5 kgm₂ = 3 kgv₁ = 4 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.动量与碰撞困难

一个 0.15 kg 的小球以 19 m/s 撞到墙上，并以 10 m/s 沿原路弹回。接触时间为 40 ms。求墙给小球的冲量大小 J。

m = 0.15 kgv_in = 19 m/sv_out = 10 m/sΔt = 40 ms

J = N·s

13.刚体转动中等

质量为 2.5 kg、长为 2.3 m 的均匀细杆一端铰接，在水平位置从静止释放。忽略摩擦，取 g = 9.81 m/s²。求杆摆过竖直位置时自由端的速度 v。

m = 2.5 kgL = 2.3 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

14.刚体转动困难

一个薄圆环沿与水平面成 10° 的斜面无滑动地滚下。取 g = 9.81 m/s²。求其质心的加速度 a。

θ = 10°I = m·r²g = 9.81 m/s²

a = m/s²

15.齿轮与齿轮系中等

一条皮带绕在一个以 720 rpm 转动、直径 80 mm 的主动轮上。紧边张力为 500 N，松边张力为 250 N。求传递的功率 P，单位 kW。

d₁ = 80 mmn₁ = 720 rpmT₁ = 500 NT₂ = 250 N

P = kW

16.齿轮与齿轮系困难

一条开口皮带把一个以 1500 rpm 转动、直径 125 mm 的主动轮与一个 500 mm 的带轮相连；中心距为 600 mm。摩擦系数为 0.3，紧边张力不得超过 800 N。求皮带在不打滑时能传递的最大功率 P，单位 kW（忽略离心效应）。

d₁ = 125 mmn₁ = 1500 rpmd₂ = 500 mmC = 600 mmμ = 0.3T₁ = 800 N

P = kW

17.弹簧与单摆中等

一个连在 k = 80 N/m 弹簧上的 3.9 kg 物体被沿正方向拉开 13 cm，在 t = 0 时由静止释放。求 t = 0.6 s 时它的速度 v（带符号）。

m = 3.9 kgk = 80 N/mA = 13 cmt = 0.6 s

v = m/s

18.弹簧与单摆困难

把一个 0.5 kg 的物体挂在一根 k = 280 N/m、处于原长的竖直弹簧下端，然后由静止释放。取 g = 9.81 m/s²。求弹簧的最大伸长量 x_max，以 cm 表示。

m = 0.5 kgk = 280 N/mg = 9.81 m/s²

x_max = cm

19.机械振动中等

在有阻尼质量–弹簧系统的自由振动试验中，位移峰值 12 mm 之后一个周期出现峰值 7.2 mm。求阻尼比 ζ。

x₀ = 12 mmx₁ = 7.2 mmn = 1

ζ =

20.机械振动困难

一个 25 kg 的质量块悬挂在首尾相接（串联）的两根弹簧上：上弹簧 k₁ = 80 kN/m，下弹簧 k₂ = 5 kN/m。忽略阻尼和弹簧的质量。求竖向振动的固有频率 f_n，以 Hz 计。

m = 25 kgk₁ = 80 kN/mk₂ = 5 kN/m

f_n = Hz

3溶液

1.运动学

答案: s = 22.32 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 45/3.6 = 12.5 m/s

制动距离

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 12.5²/(2·3.5) = 22.32 m

答案

s = 22.32 m

2.运动学

答案: t = 0.6 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

相遇时间

向上为正，地面为 y = 0。

15 − ½g·t² = 25·t − ½g·t² → t = 15/25 = 0.6 s

答案

t = 0.6 s

3.牛顿定律

答案: a = 3.257 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 25° − 0.1·cos 25°) = 9.81·(0.4226 − 0.09063) = 3.257 m/s²

答案

a = 3.257 m/s²

4.牛顿定律

答案: d = 13.47 m

减速度

两个力都沿斜面向下；质量约去。

a = 9.81·(sin 15° + 0.25·cos 15°) = 4.908 m/s²

距离

d = v₀²/(2a) = 11.5²/(2·4.908) = 13.47 m

答案

d = 13.47 m

5.抛体运动

答案: x = 25.3 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 18·cos 25° = 16.31 m/s

v_y = v₀·sin θ = 18·sin 25° = 7.607 m/s

飞行时间

起点与落点等高：t = 2v_y/g。

t = 2·7.607/9.81 = 1.551 s

水平距离

x = v_x·t = 16.31·1.551 = 25.3 m

答案

x = 25.3 m

6.抛体运动

答案: H = 9.846 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

竖直方向的初速度

v_y = 17·sin 35° = 9.751 m/s

高出悬崖的上升高度

Δh = v_y²/(2g) = 9.751²/(2·9.81) = 4.846 m

离地面的高度

H = 5 + 4.846 = 9.846 m

答案

H = 9.846 m

7.圆周运动

答案: n = 36.27 rpm

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

乘客受到的力

N = m·ω²·r

μ·N = m·g → μ·ω²·r = g

角速度

ω = √(g/(μ·r)) = √(9.81/(0.4·1.7)) = 3.798 rad/s

转速

n = ω·60/(2π) = 36.27 rpm

答案

n = 36.27 rpm

8.圆周运动

答案: v_min = 5.453 m/s

力的平衡

摩擦力沿斜面向上。

N·(sin θ − μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ + μ·sin θ) = m·g

速率

v = √(50·9.81·0.06119/1.009) = 5.453 m/s

答案

v_min = 5.453 m/s

(19.63 km/h)

9.功和能

答案: P = 50.96 kW

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。功率等于力乘以速度：P = F·v。

驱动力

m·g = 1200·9.81 = 11772 N

mg·sin θ = 11772·sin 8° = 1638 N

F = 1638 + 400 = 2038 N

功率

v = 90/3.6 = 25 m/s

P = F·v = 2038·25 = 50959 W = 50.96 kW

答案

P = 50.96 kW

10.功和能

答案: x = 44.57 cm

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 24.53·(4.5 − 0.3·1.5) = 99.33 J

最大压缩量

½kx² = 99.33 → x = √(2·99.33/1000) = 0.4457 m = 44.57 cm

答案

x = 44.57 cm

11.动量与碰撞

答案: v′₂ = 2.667 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′₁ = (1.5 − 3)/(1.5 + 3)·4 = −1.333 m/s

v′₂ = 2·1.5/(1.5 + 3)·4 = 2.667 m/s

答案

v′₂ = 2.667 m/s

12.动量与碰撞

答案: J = 4.35 N·s

动量的变化量

J = m·Δv = 0.15·(10 + 19) = 4.35 N·s

答案

J = 4.35 N·s

13.刚体转动

答案: v = 8.227 m/s

绕定轴转动：各力对转轴的力矩之和等于 I·α（ΣM = I·α），就像平动中的 ΣF = m·a。用能量形式表示，转矩 T 转过角度 θ（弧度）做的功为 T·θ，它改变动能 ½·I·ω²；重力使质心增加或减少 m·g·Δh。功率为 P = T·ω。

势能的减少

m·g·L/2 = 2.5·9.81·1.15 = 28.2 J

对销钉的转动惯量

I_O = m·L²/3 = 2.5·2.3²/3 = 4.408 kg·m²

能量衡算

½·I_O·ω² = 28.2 → ω = √(2·28.2/4.408) = 3.577 rad/s

v = ω·L = 3.577·2.3 = 8.227 m/s

答案

v = 8.227 m/s

14.刚体转动

答案: a = 0.8517 m/s²

滚动与角动量：无滑动滚动的物体满足 v = ω·r，所以它的动能是 ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²))。沿斜面滚下时给出 a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²))。当没有外力矩作用于某一轴时，对该轴的角动量保持不变，I₁·ω₁ = I₂·ω₂，即使动能有损失。

运动方程

m·g·sin θ − f = m·a

f·r = I·α = 1·m·r²·(a/r) → f = 1·m·a

加速度

a = g·sin θ/(1 + c) = 9.81·sin 10°/2 = 0.8517 m/s²

答案

a = 0.8517 m/s²

15.齿轮与齿轮系

答案: P = 0.754 kW

皮带传动：无打滑时，两个带轮的轮缘线速度相同，v = π·d·n/60，所以 n₁·d₁ = n₂·d₂，速比为 d₂/d₁。打滑率 s 使从动轮稍慢：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。传递的功率为 P = (T₁ − T₂)·v，其中 T₁ 为紧边张力，T₂ 为松边张力。摩擦限制了张力之比：T₁/T₂ = e^μθ，其中 θ 是小带轮上的包角（弧度）；对开口皮带，θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))，C 为中心距。

皮带速度

v = 3.016 m/s

功率

P = (500 − 250)·3.016 = 754 W = 0.754 kW

答案

P = 0.754 kW

16.齿轮与齿轮系

答案: P = 4.151 kW

包角

θ = 2.506 rad

松边张力

e^μθ = e^0.7518 = 2.121, T₂ = 800/2.121 = 377.2 N

功率

P = (800 − 377.2)·9.817 = 4.151 kW

答案

P = 4.151 kW

17.弹簧与单摆

答案: v = −0.2423 m/s

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

角频率

ω = √(80/3.9) = 4.529 rad/s

ω·t = 4.529·0.6 = 2.717 rad

速度

v = −A·ω·sin(ω·t) = −0.13·4.529·sin(2.717) = −0.2423 m/s

答案

v = −0.2423 m/s

18.弹簧与单摆

答案: x_max = 3.504 cm

平衡位置和振幅

x₀ = m·g/k = 0.5·9.81/280 = 0.01752 m = A

最低点

x_max = 2A = 0.03504 m = 3.504 cm

答案

x_max = 3.504 cm

19.机械振动

答案: ζ = 0.08103

质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ω_n = √(k/m)（rad/s），f_n = ω_n/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/c_c，其中临界阻尼 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

对数衰减率

δ = (1/1)·ln(12/7.2) = 0.5108

阻尼比

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.5108/√(39.48 + 0.2609) = 0.08103

答案

ζ = 0.08103

20.机械振动

答案: f_n = 2.184 Hz

等效刚度

串联弹簧受力相同、变形相加，所以按倒数组合：1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

1/k_eq = 1/80 + 1/5 → k_eq = 80·5/(80 + 5) = 4.706 kN/m

固有频率

ω_n = √(4706/25) = 13.72 rad/s

f_n = 13.72/(2π) = 2.184 Hz

答案

f_n = 2.184 Hz

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