动力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

刚体转动

对质心 G 的转动惯量: 杆 mL²/12，圆盘 ½mR²，圆环 mR²，实心球 (2/5)mR²，空心球 (2/3)mR²
平行移轴定理: I = I_G + m·d²
回转半径: I = m·k²
杆绕端点: I = mL²/3
运动方程: ΣM = I·α
以 rad/s 表示的转速: ω = 2π·n/60
动能: E = ½·I·ω²
功和功率: W = T·θ, P = T·ω
无滑动滚动: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
角动量: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
绕枢轴的撞击: m·v·d = I·ω

方法

选择轴：固定的枢轴，或者对滚动的物体选质心。
用标准结果求出对该轴的转动惯量，转轴平移时用 I = I_G + m·d²。
选择方法：求加速度和力用 ΣM = I·α，求速度用能量（½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h），求撞击和突然变化用角动量。
用 v = ω·r 和 a = α·r 联系线运动和角运动，并把 rpm 换算成 rad/s。

齿轮与齿轮系

啮合齿轮: n₁·N₁ = n₂·N₂
扭矩: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
功率: P = T·ω, ω = 2π·n/60
复合轮系: 总传动比 = 各级传动比之积

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

机械振动

固有频率: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
由静挠度求: ω_n = √(g/δ_st)
临界阻尼: c_c = 2√(km) = 2mω_n
阻尼比: ζ = c/c_c
阻尼固有频率: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
对数衰减率: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
弹簧并联: k = k₁ + k₂
弹簧串联: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2练习题

1.运动学中等

一辆以 54 km/h 行驶的汽车以 7 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。求制动距离 s。

v₀ = 54 km/ha = −7 m/s²v = 0

s = m

2.运动学困难

一枚模型火箭从静止竖直向上发射。其发动机使它获得 20 m/s² 的恒定向上加速度，持续 2 s，之后发动机停止，火箭做自由运动。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求火箭达到的最大高度 h_max。

a = 20 m/s²t₁ = 2 sg = 9.81 m/s²

h_max = m

3.牛顿定律中等

质量为 6 kg 和 5 kg 的两个物体用轻绳相连，分别悬挂在一个轻质无摩擦滑轮的两侧。系统由静止释放。取 g = 9.81 m/s²。求绳中的张力 T。

m₁ = 6 kgm₂ = 5 kgg = 9.81 m/s²

T = N

4.牛顿定律困难

一个物块被推了一下，以 5 m/s 的速度开始沿 15° 的斜面向上滑动。动摩擦因数为 0.15。取 g = 9.81 m/s²。它沿斜面滑行多远 d 后停止？

v₀ = 5 m/sθ = 15°μ = 0.15g = 9.81 m/s²

d = m

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以 26 m/s、与水平方向成 40° 的角度朝 54 m 外的一面墙踢出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。球经过墙时的高度 y 是多少？

v₀ = 26 m/sθ = 40°x = 54 mg = 9.81 m/s²

y = m

6.抛体运动困难

一个球从 45 m 高的悬崖顶上以高于水平面 35° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v₀ = 22 m/sθ = 35°h = 45 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.圆周运动中等

在游乐场的转筒中，乘客背靠在半径为 2.8 m 的竖直圆筒壁上。圆筒转得足够快时，底板下降，靠摩擦力托住乘客。静摩擦因数为 0.4。取 g = 9.81 m/s²。求最小转速 n，以每分钟转数表示。

r = 2.8 mμ_s = 0.4g = 9.81 m/s²

n = rpm

8.圆周运动困难

一个小球系在长 1.5 m 的绳上，在竖直平面内做圆周运动。取 g = 9.81 m/s²。在最高点处，速度至少为多少 v_min 才能使绳子恰好保持绷紧？

r = 1.5 mg = 9.81 m/s²

v_min = m/s

9.功和能中等

一个物块由静止沿倾角 40° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.35。求它沿斜面滑行 7 m 后的速度 v。

θ = 40°μ = 0.35d = 7 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

10.功和能困难

一个 10 kg 的物块放在粗糙的水平桌面上（μ = 0.25）。一根轻绳从它出发，跨过桌边的光滑滑轮，连接一个悬挂的 5 kg 物块。系统由静止释放。求悬挂物块下降 0.5 m 后两物块的速度 v。

m₁ = 10 kgm₂ = 5 kgμ = 0.25d = 0.5 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.动量与碰撞中等

在无摩擦的导轨上，一个以 12 m/s 运动的 3.5 kg 滑块与一个静止的 3 kg 滑块发生完全弹性的正碰。求碰撞后第二个滑块的速度 v′₂。

m₁ = 3.5 kgm₂ = 3 kgv₁ = 12 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.动量与碰撞困难

一颗 20 g 的子弹水平射入一个用长 1.7 m 的轻绳悬挂的 1 kg 木块，并留在其中。绳子摆起的最大角度为与竖直方向成 10°。取 g = 9.81 m/s²。求子弹撞击前的速度 v。

m = 20 gM = 1 kgL = 1.7 mθ = 10°g = 9.81 m/s²

v = m/s

13.刚体转动中等

一个 2 kg 的物块悬挂在绕过滑轮的轻绳上，滑轮是质量为 3.5 kg、半径为 0.2 m 的均匀实心圆盘，在无摩擦的水平轴上转动。物块从静止释放。取 g = 9.81 m/s²。求绳中的张力 T。

m = 2 kgM = 3.5 kgR = 0.2 mg = 9.81 m/s²

T = N

14.刚体转动困难

一个实心圆柱从静止开始，沿与水平面成 15° 的斜面无滑动地滚下。取 g = 9.81 m/s²。它的半径为 0.1 m。求它沿斜面滚过 1 m 后的角速度 ω。

θ = 15°s = 1 mI = ½·m·r²g = 9.81 m/s²r = 0.1 m

ω = rad/s

15.齿轮与齿轮系中等

两根平行轴相距 120 mm。须用一对模数为 3 mm、减速比为 3 : 1 的直齿圆柱齿轮把它们连接起来。小齿轮须有多少个齿 N₁？

a = 120 mmm = 3 mmi = 3

N₁ =

16.齿轮与齿轮系困难

一条开口皮带连接一个 100 mm 的带轮和一个 300 mm 的带轮，二者中心相距 1200 mm。求小带轮上的包角 θ，单位为度。

d₁ = 100 mmd₂ = 300 mmC = 1200 mm

θ = °

17.弹簧与单摆中等

一名宇航员在另一颗行星上发现，一个长 1 m 的单摆在小幅摆动时周期为 1.88 s。求该行星上的重力加速度 g。

L = 1 mT = 1.88 s

g = m/s²

18.弹簧与单摆困难

一个 2.9 kg 的物体连在 k = 80 N/m 的弹簧上，从平衡位置拉开 3 cm 后释放。求它的最大速度 v_max。

m = 2.9 kgk = 80 N/mA = 3 cm

v_max = m/s

19.机械振动中等

一个 25 kg 的质量块挂在刚度为 40 kN/m 的弹簧上，黏性阻尼器使阻尼比为 0.5。求其自由振动的有阻尼固有频率 f_d，以 Hz 计。

m = 25 kgk = 40 kN/mζ = 0.5

f_d = Hz

20.机械振动困难

一个 40 kg 的质量块悬挂在首尾相接（串联）的两根弹簧上：上弹簧 k₁ = 5 kN/m，下弹簧 k₂ = 20 kN/m。忽略阻尼和弹簧的质量。求竖向振动的固有频率 f_n，以 Hz 计。

m = 40 kgk₁ = 5 kN/mk₂ = 20 kN/m

f_n = Hz

3溶液

1.运动学

答案: s = 16.07 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 54/3.6 = 15 m/s

制动距离

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 15²/(2·7) = 16.07 m

答案

s = 16.07 m

2.运动学

答案: h_max = 121.5 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

动力阶段

v₁ = 20·2 = 40 m/s

h₁ = ½·20·2² = 40 m

向上的自由飞行

在最高点速度为零。

Δh = v₁²/(2g) = 40²/(2·9.81) = 81.55 m

h_max = 40 + 81.55 = 121.5 m

答案

h_max = 121.5 m

3.牛顿定律

答案: T = 53.51 N

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

加速度

净驱动力是两个重量之差；它带动的是总质量。

a = (6 − 5)·9.81/(6 + 5) = 0.8918 m/s²

由较轻物体求拉力

T − m₂·g = m₂·a → T = 5·(9.81 + 0.8918) = 53.51 N

答案

T = 53.51 N

4.牛顿定律

答案: d = 3.156 m

减速度

两个力都沿斜面向下；质量约去。

a = 9.81·(sin 15° + 0.15·cos 15°) = 3.96 m/s²

距离

d = v₀²/(2a) = 5²/(2·3.96) = 3.156 m

答案

d = 3.156 m

5.抛体运动

答案: y = 9.256 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

到达墙的时间

v_x = 26·cos 40° = 19.92 m/s

t = x/v_x = 54/19.92 = 2.711 s

此时的高度

y = 16.71·2.711 − ½·9.81·2.711² = 9.256 m

答案

y = 9.256 m

球到达墙时已经在下落。

6.抛体运动

答案: x = 82.48 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 22·cos 35° = 18.02 m/s

v_y = v₀·sin θ = 22·sin 35° = 12.62 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 45 + 12.62·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (12.62 + √(159.2 + 882.9))/9.81 = 4.577 s

水平距离

x = v_x·t = 18.02·4.577 = 82.48 m

答案

x = 82.48 m

7.圆周运动

答案: n = 28.26 rpm

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

乘客受到的力

N = m·ω²·r

μ·N = m·g → μ·ω²·r = g

角速度

ω = √(g/(μ·r)) = √(9.81/(0.4·2.8)) = 2.96 rad/s

转速

n = ω·60/(2π) = 28.26 rpm

答案

n = 28.26 rpm

8.圆周运动

答案: v_min = 3.836 m/s

最高点张力为零

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9.81·1.5) = 3.836 m/s

答案

v_min = 3.836 m/s

9.功和能

答案: v = 7.173 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

沿斜面的能量衡算

物块下降高度 d·sin θ，摩擦消耗 μmg·cos θ·d。质量约去。

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9.81·7·(0.6428 − 0.35·0.766)) = 7.173 m/s

答案

v = 7.173 m/s

10.功和能

答案: v = 1.279 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

释放和损失的能量

m₂g·d = 49.05·0.5 = 24.53 J

μ·m₁g·d = 0.25·98.1·0.5 = 12.26 J

两个物块的动能

½(m₁ + m₂)v² = 12.26 → v = √(2·12.26/15) = 1.279 m/s

答案

v = 1.279 m/s

11.动量与碰撞

答案: v′₂ = 12.92 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′₁ = (3.5 − 3)/(3.5 + 3)·12 = 0.9231 m/s

v′₂ = 2·3.5/(3.5 + 3)·12 = 12.92 m/s

答案

v′₂ = 12.92 m/s

12.动量与碰撞

答案: v = 36.3 m/s

木块的上升高度

h = L·(1 − cos θ) = 1.7·(1 − cos 10°) = 0.02583 m

撞击后的速度

V = √(2·9.81·0.02583) = 0.7118 m/s

碰撞

v = (m + M)·V/m = 1.02·0.7118/0.02 = 36.3 m/s

答案

v = 36.3 m/s

13.刚体转动

答案: T = 9.156 N

绕定轴转动：各力对转轴的力矩之和等于 I·α（ΣM = I·α），就像平动中的 ΣF = m·a。用能量形式表示，转矩 T 转过角度 θ（弧度）做的功为 T·θ，它改变动能 ½·I·ω²；重力使质心增加或减少 m·g·Δh。功率为 P = T·ω。

物块和滑轮

物块: m·g − T = m·a

滑轮: T·R = I·α = ½·M·R²·(a/R) → T = ½·M·a

加速度

a = m·g/(m + M/2) = 2·9.81/(2 + 1.75) = 5.232 m/s²

张力

T = m·(g − a) = 2·(9.81 − 5.232) = 9.156 N

答案

T = 9.156 N

14.刚体转动

答案: ω = 18.4 rad/s

滚动与角动量：无滑动滚动的物体满足 v = ω·r，所以它的动能是 ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²))。沿斜面滚下时给出 a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²))。当没有外力矩作用于某一轴时，对该轴的角动量保持不变，I₁·ω₁ = I₂·ω₂，即使动能有损失。

下降的高度

h = s·sin θ = 1·sin 15° = 0.2588 m

滚动时的能量平衡

无滑动滚动：ω = v/r，接触点处的摩擦力不做功。

m·g·h = ½·m·v²·(1 + 0.5)

v = √(2·9.81·0.2588/1.5) = 1.84 m/s

ω = v/r = 1.84/0.1 = 18.4 rad/s

答案

ω = 18.4 rad/s

15.齿轮与齿轮系

答案: N₁ = 20

齿轮几何：模数 m 决定齿的大小。齿数为 N 的齿轮分度圆直径为 d = m·N，相互啮合的两个齿轮模数相同，其中心距为 a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2。节线速度为 v = π·d·n/60，切向齿力由转矩求得：F_t = 2T/d。

总齿数

N₁ + N₂ = 2a/m = 2·120/3 = 80

按传动比分配

N₁ = 80/(1 + 3) = 20

答案

N₁ = 20

16.齿轮与齿轮系

答案: θ = 170.4 °

皮带传动：无打滑时，两个带轮的轮缘线速度相同，v = π·d·n/60，所以 n₁·d₁ = n₂·d₂，速比为 d₂/d₁。打滑率 s 使从动轮稍慢：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。传递的功率为 P = (T₁ − T₂)·v，其中 T₁ 为紧边张力，T₂ 为松边张力。摩擦限制了张力之比：T₁/T₂ = e^μθ，其中 θ 是小带轮上的包角（弧度）；对开口皮带，θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))，C 为中心距。

皮带角

asin(0.08333) = 4.78°

包角

θ = 180 − 2·4.78 = 170.4°

答案

θ = 170.4°

17.弹簧与单摆

答案: g = 11.17 m/s²

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

求 g

g = 4π²·L/T² = 4π²·1/1.88² = 11.17 m/s²

答案

g = 11.17 m/s²

18.弹簧与单摆

答案: v_max = 0.1576 m/s

角频率

ω = √(80/2.9) = 5.252 rad/s

最大速度

v_max = A·ω = 0.03·5.252 = 0.1576 m/s

答案

v_max = 0.1576 m/s

19.机械振动

答案: f_d = 5.513 Hz

质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ω_n = √(k/m)（rad/s），f_n = ω_n/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/c_c，其中临界阻尼 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

无阻尼固有频率

ω_n = √(40000/25) = 40 rad/s

f_n = 40/(2π) = 6.366 Hz

有阻尼固有频率

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 6.366·√(1 − 0.5²) = 5.513 Hz

答案

f_d = 5.513 Hz

20.机械振动

答案: f_n = 1.592 Hz

等效刚度

串联弹簧受力相同、变形相加，所以按倒数组合：1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

1/k_eq = 1/5 + 1/20 → k_eq = 5·20/(5 + 20) = 4 kN/m

固有频率

ω_n = √(4000/40) = 10 rad/s

f_n = 10/(2π) = 1.592 Hz

答案

f_n = 1.592 Hz

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