动力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

刚体转动

对质心 G 的转动惯量: 杆 mL²/12，圆盘 ½mR²，圆环 mR²，实心球 (2/5)mR²，空心球 (2/3)mR²
平行移轴定理: I = I_G + m·d²
回转半径: I = m·k²
杆绕端点: I = mL²/3
运动方程: ΣM = I·α
以 rad/s 表示的转速: ω = 2π·n/60
动能: E = ½·I·ω²
功和功率: W = T·θ, P = T·ω
无滑动滚动: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
角动量: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
绕枢轴的撞击: m·v·d = I·ω

方法

选择轴：固定的枢轴，或者对滚动的物体选质心。
用标准结果求出对该轴的转动惯量，转轴平移时用 I = I_G + m·d²。
选择方法：求加速度和力用 ΣM = I·α，求速度用能量（½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h），求撞击和突然变化用角动量。
用 v = ω·r 和 a = α·r 联系线运动和角运动，并把 rpm 换算成 rad/s。

齿轮与齿轮系

啮合齿轮: n₁·N₁ = n₂·N₂
扭矩: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
功率: P = T·ω, ω = 2π·n/60
复合轮系: 总传动比 = 各级传动比之积

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

机械振动

固有频率: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
由静挠度求: ω_n = √(g/δ_st)
临界阻尼: c_c = 2√(km) = 2mω_n
阻尼比: ζ = c/c_c
阻尼固有频率: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
对数衰减率: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
弹簧并联: k = k₁ + k₂
弹簧串联: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2练习题

1.运动学中等

一位以 80 km/h 行驶的司机看到一个障碍物。她的反应时间为 0.5 s，之后汽车以 5.5 m/s² 的恒定减速度制动。求从她看到障碍物起的总停车距离 d。

v₀ = 80 km/ht_r = 0.5 sa = −5.5 m/s²

d = m

2.运动学困难

一块石头由静止释放落入井中。释放后 4.1 s 听到落水声。声速为 343 m/s；忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求井的深度 d。

t_total = 4.1 sv_sound = 343 m/sg = 9.81 m/s²

d = m

3.牛顿定律中等

一个 19 kg 的物块沿倾角为 45° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.25。取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 19 kgθ = 45°μ = 0.25g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

水平桌面上一个 1.5 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 5.5 kg 重物相连。物块与桌面之间的动摩擦因数为 0.2。取 g = 9.81 m/s²。求系统的加速度 a。

m₁ = 1.5 kgm₂ = 5.5 kgμ = 0.2g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以 38 m/s 抛出，必须落在 85 m 远处。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求两个可能的抛射角中较小的一个 θ。

v₀ = 38 m/sR = 85 mg = 9.81 m/s²

θ = °

6.抛体运动困难

一个球从 50 m 高的悬崖顶上以高于水平面 35° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v₀ = 18 m/sθ = 35°h = 50 mg = 9.81 m/s²

t = s

7.圆周运动中等

一辆 900 kg 的汽车以 7 m/s 驶过路面上的一个凸起的顶部。凸起的顶部是半径为 100 m 的圆弧。取 g = 9.81 m/s²。求顶部路面对汽车的法向力 N。

m = 900 kgv = 7 m/sr = 100 mg = 9.81 m/s²

N = N

8.圆周运动困难

一个小球系在长 0.5 m 的绳上，在竖直平面内做圆周运动。取 g = 9.81 m/s²。在最高点处，速度至少为多少 v_min 才能使绳子恰好保持绷紧？

r = 0.5 mg = 9.81 m/s²

v_min = m/s

9.功和能中等

一辆汽车在水平路面上以 90 km/h 行驶，紧急制动后车轮抱死滑行至停止。轮胎与路面之间的动摩擦因数为 0.5。求制动距离 d。

v = 90 km/hμ = 0.5g = 9.81 m/s²

d = m

10.功和能困难

一辆 0.5 kg 的小车从光滑轨道上 12 m 高处由静止释放，轨道通入一个半径为 4 m 的竖直圆环。求小车在圆环顶点时轨道对它的法向力 N。

m = 0.5 kgh = 12 mR = 4 mg = 9.81 m/s²

N = N

11.动量与碰撞中等

在无摩擦的导轨上，一个以 2 m/s 运动的 2.5 kg 滑块与一个静止的 3 kg 滑块发生完全弹性的正碰。求碰撞后第一个滑块的速度 v′₁（以其原运动方向为正）。

m₁ = 2.5 kgm₂ = 3 kgv₁ = 2 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.动量与碰撞困难

一个 0.2 kg 的小球以 17 m/s 撞到墙上，并以 9 m/s 沿原路弹回。接触时间为 10 ms。求墙对小球的平均作用力 F_avg。

m = 0.2 kgv_in = 17 m/sv_out = 9 m/sΔt = 10 ms

F_avg = N

13.刚体转动中等

质量为 6 kg、长为 1.9 m 的均匀细杆一端铰接，在水平位置从静止释放。一个质量为 4 kg 的小球固定在它的自由端。忽略摩擦，取 g = 9.81 m/s²。求杆摆过竖直位置时自由端的速度 v。

m = 6 kgL = 1.9 mm_ball = 4 kgg = 9.81 m/s²

v = m/s

14.刚体转动困难

一个薄圆环从静止开始，沿与水平面成 35° 的斜面无滑动地滚下。取 g = 9.81 m/s²。它的半径为 0.2 m。求它沿斜面滚过 3.5 m 后的角速度 ω。

θ = 35°s = 3.5 mI = m·r²g = 9.81 m/s²r = 0.2 m

ω = rad/s

15.齿轮与齿轮系中等

一个 2 头的蜗杆以 1440 rpm 转动，驱动一个 48 齿的蜗轮。求蜗轮的转速 n_w。

z = 2N_w = 48n = 1440 rpm

n_w = rpm

16.齿轮与齿轮系困难

在一个行星齿轮系中，太阳轮有 24 个齿，每个行星轮有 20 个齿。行星架固定，太阳轮以 3000 rpm 驱动。求齿圈的转速 n_r（大小）。

N_s = 24N_p = 20n_s = 3000 rpm

n_r = rpm

17.弹簧与单摆中等

要使单摆的周期为 2.1 s，摆长应为多少？取 g = 9.81 m/s²。求 L。

T = 2.1 sg = 9.81 m/s²

L = m

18.弹簧与单摆困难

一个物体做简谐振动，周期为 2.3 s，振幅为 10 cm。它从最大位移 10 cm 处运动到位移 6 cm 处所需的最短时间 t 是多少？

T = 2.3 sA = 10 cmx = 6 cm

t = s

19.机械振动中等

在有阻尼质量–弹簧系统的自由振动试验中，位移峰值 15 mm 之后 2 个周期出现峰值 2.2 mm。求阻尼比 ζ。

x₀ = 15 mmx₂ = 2.2 mmn = 2

ζ =

20.机械振动困难

一个 20 kg 的质量块悬挂在首尾相接（串联）的两根弹簧上：上弹簧 k₁ = 5 kN/m，下弹簧 k₂ = 20 kN/m。求弹簧系统的等效刚度 k_eq，以 kN/m 计。

m = 20 kgk₁ = 5 kN/mk₂ = 20 kN/m

k_eq = kN/m

3溶液

1.运动学

答案: d = 56 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

单位

v₀ = 80/3.6 = 22.22 m/s

反应距离

d₁ = v₀·t_r = 22.22·0.5 = 11.11 m

制动距离

d₂ = v₀²/(2a) = 22.22²/(2·5.5) = 44.89 m

合计

d = 11.11 + 44.89 = 56 m

答案

d = 56 m

2.运动学

答案: d = 74 m

时间的两部分

½·9.81·t₁² = 343·(4.1 − t₁)

4.905·t₁² + 343·t₁ − 1406 = 0

下落时间

只有正根有物理意义。

t₁ = (−343 + √(343² + 4·4.905·1406))/(2·4.905) = 3.884 s

深度

d = ½·9.81·3.884² = 74 m

答案

d = 74 m

3.牛顿定律

答案: a = 5.203 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 45° − 0.25·cos 45°) = 9.81·(0.7071 − 0.1768) = 5.203 m/s²

答案

a = 5.203 m/s²

4.牛顿定律

答案: a = 7.287 m/s²

系统的加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (53.96 − 2.943)/7 = 7.287 m/s²

答案

a = 7.287 m/s²

5.抛体运动

答案: θ = 17.64 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

射程公式

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9.81·85/38² = 0.5775

相角

2θ = 35.27° → θ = 17.64°

答案

θ = 17.64°

另一个解为 90° − θ = 72.36°。

6.抛体运动

答案: t = 4.414 s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 18·cos 35° = 14.74 m/s

v_y = v₀·sin θ = 18·sin 35° = 10.32 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 50 + 10.32·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (10.32 + √(106.6 + 981))/9.81 = 4.414 s

答案

t = 4.414 s

7.圆周运动

答案: N = 8388 N

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

顶点的受力

指向圆心（向下）为正。

m·g − N = m·v²/r

N = 900·9.81 − 900·7²/100 = 8829 − 441 = 8388 N

答案

N = 8388 N

汽车感觉变轻了：路面向上的支持力小于其重量。

8.圆周运动

答案: v_min = 2.215 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

最高点张力为零

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9.81·0.5) = 2.215 m/s

答案

v_min = 2.215 m/s

9.功和能

答案: d = 63.71 m

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

以基本单位表示的速度

v = 90/3.6 = 25 m/s

能量衡算

½mv² = μmg·d → d = v²/(2μg) = 25²/(2·0.5·9.81) = 63.71 m

答案

d = 63.71 m

速度加倍，制动距离变为四倍。

10.功和能

答案: N = 4.905 N

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。在圆周路径上，指向圆心的合力必须等于 mv²/r。

顶点的速度

v² = 2g(h − 2R) = 2·9.81·(12 − 8) = 78.48 m²/s²

顶点的受力

m·g = 0.5·9.81 = 4.905 N

N = mv²/R − mg = 0.5·78.48/4 − 4.905 = 4.905 N

答案

N = 4.905 N

当 h = 2.5R 时小车恰好能通过圆环；此时顶点处 N = 0。

11.动量与碰撞

答案: v′₁ = −0.1818 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′₁ = (2.5 − 3)/(2.5 + 3)·2 = −0.1818 m/s

v′₂ = 2·2.5/(2.5 + 3)·2 = 1.818 m/s

答案

v′₁ = −0.1818 m/s

负号表示第一个滑块被弹回。

12.动量与碰撞

答案: F_avg = 520 N

动量的变化量

J = m·Δv = 0.2·(9 + 17) = 5.2 N·s

平均作用力

F_avg = J/Δt = 5.2/0.01 = 520 N

答案

F_avg = 520 N

13.刚体转动

答案: v = 6.595 m/s

Rotation about a fixed axis: the sum of the moments about the axis equals I·α (ΣM = I·α), just as ΣF = m·a for translation. In energy form, a torque T turning through an angle θ (in radians) does work T·θ, which changes the kinetic energy ½·I·ω²; gravity adds or removes m·g·Δh of the centre of mass. Power is P = T·ω.

势能的减少

m·g·L/2 + m_ball·g·L = 6·9.81·0.95 + 4·9.81·1.9 = 130.5 J

对销钉的转动惯量

I_O = m·L²/3 + m_ball·L² = 7.22 + 14.44 = 21.66 kg·m²

能量衡算

½·I_O·ω² = 130.5 → ω = √(2·130.5/21.66) = 3.471 rad/s

v = ω·L = 3.471·1.9 = 6.595 m/s

答案

v = 6.595 m/s

14.刚体转动

答案: ω = 22.19 rad/s

Rolling and angular momentum: a body rolling without slipping has v = ω·r, so its kinetic energy is ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Down a slope that gives a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). When no external moment acts about an axis, the angular momentum about that axis stays constant, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, even if kinetic energy is lost.

下降的高度

h = s·sin θ = 3.5·sin 35° = 2.008 m

滚动时的能量平衡

无滑动滚动：ω = v/r，接触点处的摩擦力不做功。

m·g·h = ½·m·v²·(1 + 1)

v = √(2·9.81·2.008/2) = 4.438 m/s

ω = v/r = 4.438/0.2 = 22.19 rad/s

答案

ω = 22.19 rad/s

15.齿轮与齿轮系

答案: n_w = 60 rpm

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

蜗轮转速

n_w = n·z/N_w = 1440·2/48 = 60 rpm

答案

n_w = 60 rpm

16.齿轮与齿轮系

答案: n_r = 1125 rpm

行星齿轮系：太阳轮、齿圈和行星架的转速由威利斯方程 (n_s − n_c)/(n_r − n_c) = −N_r/N_s 联系起来：从行星架上看，该轮系是以行星轮为惰轮的普通轮系。固定其中一个构件，轮系就成为一个单一传动比的减速器。

齿圈齿数

N_r = N_s + 2·N_p = 24 + 2·20 = 64

行星架固定时的威利斯方程

n_c = 0 时，太阳轮通过起惰轮作用的行星轮驱动齿圈。

n_r = −n_s·N_s/N_r = −3000·24/64 = −1125 rpm

|n_r| = 1125 rpm

答案

n_r = 1125 rpm

齿圈与太阳轮转向相反。

17.弹簧与单摆

答案: L = 1.096 m

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

求摆长

L = g·(T/2π)² = 9.81·(2.1/2π)² = 1.096 m

答案

L = 1.096 m

18.弹簧与单摆

答案: t = 0.3394 s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

角频率

ω = 2π/T = 2π/2.3 = 2.732 rad/s

求解时间

0.6 = cos(ω·t) → ω·t = arccos(0.6) = 0.9273 rad

t = 0.9273/2.732 = 0.3394 s

答案

t = 0.3394 s

19.机械振动

答案: ζ = 0.151

质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ω_n = √(k/m)（rad/s），f_n = ω_n/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/c_c，其中临界阻尼 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

对数衰减率

δ = (1/2)·ln(15/2.2) = 0.9598

阻尼比

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.9598/√(39.48 + 0.9212) = 0.151

答案

ζ = 0.151

20.机械振动

答案: k_eq = 4 kN/m

等效刚度

串联弹簧受力相同、变形相加，所以按倒数组合：1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

1/k_eq = 1/5 + 1/20 → k_eq = 5·20/(5 + 20) = 4 kN/m

答案

k_eq = 4 kN/m

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