动力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

刚体转动

对质心 G 的转动惯量: 杆 mL²/12，圆盘 ½mR²，圆环 mR²，实心球 (2/5)mR²，空心球 (2/3)mR²
平行移轴定理: I = I_G + m·d²
回转半径: I = m·k²
杆绕端点: I = mL²/3
运动方程: ΣM = I·α
以 rad/s 表示的转速: ω = 2π·n/60
动能: E = ½·I·ω²
功和功率: W = T·θ, P = T·ω
无滑动滚动: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
角动量: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
绕枢轴的撞击: m·v·d = I·ω

方法

选择轴：固定的枢轴，或者对滚动的物体选质心。
用标准结果求出对该轴的转动惯量，转轴平移时用 I = I_G + m·d²。
选择方法：求加速度和力用 ΣM = I·α，求速度用能量（½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h），求撞击和突然变化用角动量。
用 v = ω·r 和 a = α·r 联系线运动和角运动，并把 rpm 换算成 rad/s。

齿轮与齿轮系

啮合齿轮: n₁·N₁ = n₂·N₂
扭矩: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
功率: P = T·ω, ω = 2π·n/60
复合轮系: 总传动比 = 各级传动比之积

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

机械振动

固有频率: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
由静挠度求: ω_n = √(g/δ_st)
临界阻尼: c_c = 2√(km) = 2mω_n
阻尼比: ζ = c/c_c
阻尼固有频率: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
对数衰减率: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
弹簧并联: k = k₁ + k₂
弹簧串联: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2练习题

1.运动学中等

一辆以 108 km/h 行驶的汽车以 4 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。制动需要多长时间？求 t。

v₀ = 108 km/ha = −4 m/s²v = 0

t = s

2.运动学困难

球 A 从 20 m 高处由静止释放。同一时刻，球 B 从正下方的地面以 11 m/s 竖直上抛。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。两球何时相遇？求 t。

H = 20 mv_0B = 11 m/sg = 9.81 m/s²

t = s

3.牛顿定律中等

一个 9 kg 的物块沿倾角为 25° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.25。取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 9 kgθ = 25°μ = 0.25g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

倾角为 20° 的斜面上有一个 8.5 kg 的物块，它通过一根跨过斜面顶端无摩擦滑轮的轻绳与一个悬挂的 6 kg 物体相连。悬挂物向下运动。物块与斜面之间的动摩擦因数为 0.25。取 g = 9.81 m/s²。求系统的加速度 a。

m₁ = 8.5 kgm₂ = 6 kgθ = 20°μ = 0.25g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 55° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v₀ = 22 m/sθ = 55°g = 9.81 m/s²

x = m

6.抛体运动困难

一个球从 15 m 高的悬崖顶部以 28 m/s、与水平方向成 35° 的角度抛出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求它高出悬崖脚下地面的最大高度 H。

v₀ = 28 m/sθ = 35°h = 15 mg = 9.81 m/s²

H = m

7.圆周运动中等

一辆汽车通过半径为 75 m 的水平弯道。轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.7。取 g = 9.81 m/s²。求汽车不打滑地通过弯道的最大速度 v_max。

r = 75 mμ_s = 0.7g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.圆周运动困难

一个 1.6 kg 的小球系在长 0.5 m 的绳上，在竖直平面内做圆周运动。在最低点时它的速度为 8 m/s。取 g = 9.81 m/s²。求最低点处绳中的张力 T。

m = 1.6 kgr = 0.5 mv = 8 m/sg = 9.81 m/s²

T = N

9.功和能中等

一个玩具发射器有一根刚度为 1000 N/m 的竖直弹簧。把一个 0.5 kg 的球放在上面，将弹簧压缩 8 cm，然后释放。忽略空气阻力和弹簧质量，求球上升的高度 h，从弹簧压缩时球的位置量起。

m = 0.5 kgk = 1000 N/mx = 8 cmg = 9.81 m/s²

h = m

10.功和能困难

一个 0.5 kg 的物块从光滑坡道上 2.5 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 3 m 的粗糙水平段（μ = 0.1），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 1000 N/m）。求弹簧的最大压缩量 x。

m = 0.5 kgh = 2.5 mL = 3 mμ = 0.1k = 1000 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

11.动量与碰撞中等

一颗 10 g 的子弹水平射入一个用轻绳悬挂的 1 kg 木块，并留在其中。木块摆起，直到比初始位置高 25 cm。取 g = 9.81 m/s²。求子弹撞击前的速度 v。

m = 10 gM = 1 kgh = 25 cmg = 9.81 m/s²

v = m/s

12.动量与碰撞困难

一辆 2000 kg 的汽车撞上一辆停放的 1400 kg 汽车。两车残骸卡在一起，滑行 22 m 后停止。轮胎与路面之间的动摩擦因数为 0.6。取 g = 9.81 m/s²。求碰撞前瞬间第一辆汽车的速度 v₁。

m₁ = 2000 kgm₂ = 1400 kgd = 22 mμ = 0.6g = 9.81 m/s²

v₁ = m/s

13.刚体转动中等

一台电动机用 24 s 把转动惯量为 37.5 kg·m² 的飞轮从静止加速到 1300 rpm。忽略损耗，求它输出的平均功率 P_avg，单位 kW。

I = 37.5 kg·m²n = 1300 rpmt = 24 s

P_avg = kW

14.刚体转动困难

一个质量为 1 kg 的实心球以 8 m/s 的速度无滑动地滚动。求它的转动动能 E_rot。

m = 1 kgv = 8 m/sI = (2/5)·m·r²

E_rot = J

15.齿轮与齿轮系中等

一个 1 头的蜗杆以 2900 rpm 转动，驱动一个 60 齿的蜗轮。求蜗轮的转速 n_w。

z = 1N_w = 60n = 2900 rpm

n_w = rpm

16.齿轮与齿轮系困难

一条开口皮带连接一个 200 mm 的带轮和一个 500 mm 的带轮，二者中心相距 500 mm。求小带轮上的包角 θ，单位为度。

d₁ = 200 mmd₂ = 500 mmC = 500 mm

θ = °

17.弹簧与单摆中等

一名宇航员在另一颗行星上发现，一个长 2 m 的单摆在小幅摆动时周期为 4.61 s。求该行星上的重力加速度 g。

L = 2 mT = 4.61 s

g = m/s²

18.弹簧与单摆困难

一个 3.4 kg 的物体连在 k = 340 N/m 的弹簧上，从平衡位置拉开 12 cm 后释放。求它的最大加速度 a_max。

m = 3.4 kgk = 340 N/mA = 12 cm

a_max = m/s²

19.机械振动中等

一个 15 kg 的质量块挂在刚度为 25 kN/m 的弹簧上，黏性阻尼器使阻尼比为 0.5。求其自由振动的有阻尼固有频率 f_d，以 Hz 计。

m = 15 kgk = 25 kN/mζ = 0.5

f_d = Hz

20.机械振动困难

一个 20 kg 的质量块悬挂在首尾相接（串联）的两根弹簧上：上弹簧 k₁ = 100 kN/m，下弹簧 k₂ = 20 kN/m。忽略阻尼和弹簧的质量。求竖向振动的固有频率 f_n，以 Hz 计。

m = 20 kgk₁ = 100 kN/mk₂ = 20 kN/m

f_n = Hz

3溶液

1.运动学

答案: t = 7.5 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 108/3.6 = 30 m/s

制动时间

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 30/4 = 7.5 s

答案

t = 7.5 s

2.运动学

答案: t = 1.818 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

相遇时间

向上为正，地面为 y = 0。

20 − ½g·t² = 11·t − ½g·t² → t = 20/11 = 1.818 s

答案

t = 1.818 s

3.牛顿定律

答案: a = 1.923 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 25° − 0.25·cos 25°) = 9.81·(0.4226 − 0.2266) = 1.923 m/s²

答案

a = 1.923 m/s²

4.牛顿定律

答案: a = 0.7415 m/s²

沿绳子方向的力

m₂·g = 58.86 N

m₁·g·sin θ = 28.52 N

μ·m₁·g·cos θ = 19.59 N

系统的加速度

a = (58.86 − 28.52 − 19.59)/14.5 = 0.7415 m/s²

答案

a = 0.7415 m/s²

5.抛体运动

答案: x = 46.36 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 22·cos 55° = 12.62 m/s

v_y = v₀·sin θ = 22·sin 55° = 18.02 m/s

飞行时间

起点与落点等高：t = 2v_y/g。

t = 2·18.02/9.81 = 3.674 s

水平距离

x = v_x·t = 12.62·3.674 = 46.36 m

答案

x = 46.36 m

6.抛体运动

答案: H = 28.15 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

竖直方向的初速度

v_y = 28·sin 35° = 16.06 m/s

高出悬崖的上升高度

Δh = v_y²/(2g) = 16.06²/(2·9.81) = 13.15 m

离地面的高度

H = 15 + 13.15 = 28.15 m

答案

H = 28.15 m

7.圆周运动

答案: v_max = 22.69 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

摩擦力提供向心力

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.7·9.81·75) = 22.69 m/s

答案

v_max = 22.69 m/s (81.7 km/h)

8.圆周运动

答案: T = 220.5 N

最低点处的受力

指向圆心（向上）为正。

T − m·g = m·v²/r

T = 1.6·9.81 + 1.6·8²/0.5 = 15.7 + 204.8 = 220.5 N

答案

T = 220.5 N

9.功和能

答案: h = 0.6524 m

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

弹簧能量

x = 8 cm = 0.08 m

½kx² = ½·1000·0.08² = 3.2 J

高度

m·g = 0.5·9.81 = 4.905 N

h = ½kx²/(mg) = 3.2/4.905 = 0.6524 m

答案

h = 0.6524 m

10.功和能

答案: x = 14.69 cm

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 4.905·(2.5 − 0.1·3) = 10.79 J

最大压缩量

½kx² = 10.79 → x = √(2·10.79/1000) = 0.1469 m = 14.69 cm

答案

x = 14.69 cm

11.动量与碰撞

答案: v = 223.7 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

撞击后的摆动

V = √(2·g·h) = √(2·9.81·0.25) = 2.215 m/s

碰撞

m·v = (m + M)·V → v = (0.01 + 1)·2.215/0.01 = 223.7 m/s

答案

v = 223.7 m/s

12.动量与碰撞

答案: v₁ = 27.36 m/s

碰撞后的速度

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0.6·9.81·22) = 16.09 m/s

碰撞中的动量

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 3400·16.09/2000 = 27.36 m/s

答案

v₁ = 27.36 m/s

(98.49 km/h)

13.刚体转动

答案: P_avg = 14.48 kW

绕定轴转动：各力对转轴的力矩之和等于 I·α（ΣM = I·α），就像平动中的 ΣF = m·a。用能量形式表示，转矩 T 转过角度 θ（弧度）做的功为 T·θ，它改变动能 ½·I·ω²；重力使质心增加或减少 m·g·Δh。功率为 P = T·ω。

角速度

ω = 2π·1300/60 = 136.1 rad/s

能量

E = ½·I·ω² = ½·37.5·136.1² = 347492 J

平均功率

P_avg = E/t = 347492/24 = 14479 W = 14.48 kW

答案

P_avg = 14.48 kW

14.刚体转动

答案: E_rot = 12.8 J

滚动与角动量：无滑动滚动的物体满足 v = ω·r，所以它的动能是 ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²))。沿斜面滚下时给出 a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²))。当没有外力矩作用于某一轴时，对该轴的角动量保持不变，I₁·ω₁ = I₂·ω₂，即使动能有损失。

平动部分和转动部分

E_trans = ½·m·v² = ½·1·8² = 32 J

E_rot = ½·I·ω² = ½·0.4·m·r²·(v/r)² = 0.4·32 = 12.8 J

答案

E_rot = 12.8 J

15.齿轮与齿轮系

答案: n_w = 48.33 rpm

齿轮系：相互啮合的齿轮在轮齿处的线速度相同，所以 n₁·N₁ = n₂·N₂：齿数较少的齿轮转得更快。装在同一根轴上的齿轮转速相同。功率被传递下去（扣除损失），所以转速降低时扭矩增大：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η，且 P = T·ω，其中 ω = 2π·n/60。

蜗轮转速

n_w = n·z/N_w = 2900·1/60 = 48.33 rpm

答案

n_w = 48.33 rpm

16.齿轮与齿轮系

答案: θ = 145.1 °

皮带传动：无打滑时，两个带轮的轮缘线速度相同，v = π·d·n/60，所以 n₁·d₁ = n₂·d₂，速比为 d₂/d₁。打滑率 s 使从动轮稍慢：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。传递的功率为 P = (T₁ − T₂)·v，其中 T₁ 为紧边张力，T₂ 为松边张力。摩擦限制了张力之比：T₁/T₂ = e^μθ，其中 θ 是小带轮上的包角（弧度）；对开口皮带，θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))，C 为中心距。

皮带角

asin(0.3) = 17.46°

包角

θ = 180 − 2·17.46 = 145.1°

答案

θ = 145.1°

17.弹簧与单摆

答案: g = 3.715 m/s²

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

求 g

g = 4π²·L/T² = 4π²·2/4.61² = 3.715 m/s²

答案

g = 3.715 m/s²

18.弹簧与单摆

答案: a_max = 12 m/s²

角频率

ω = √(340/3.4) = 10 rad/s

最大加速度

a_max = A·ω² = 0.12·10² = 12 m/s²

答案

a_max = 12 m/s²

19.机械振动

答案: f_d = 5.627 Hz

质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ω_n = √(k/m)（rad/s），f_n = ω_n/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/c_c，其中临界阻尼 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

无阻尼固有频率

ω_n = √(25000/15) = 40.82 rad/s

f_n = 40.82/(2π) = 6.497 Hz

有阻尼固有频率

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 6.497·√(1 − 0.5²) = 5.627 Hz

答案

f_d = 5.627 Hz

20.机械振动

答案: f_n = 4.594 Hz

等效刚度

串联弹簧受力相同、变形相加，所以按倒数组合：1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

1/k_eq = 1/100 + 1/20 → k_eq = 100·20/(100 + 20) = 16.67 kN/m

固有频率

ω_n = √(16667/20) = 28.87 rad/s

f_n = 28.87/(2π) = 4.594 Hz

答案

f_n = 4.594 Hz

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