电工学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

串并联电阻

电阻串联
Req = R1 + R2 + …
电阻并联
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
两个电阻并联
Req = R1R2 / (R1 + R2)
欧姆定律
V = I·R
功率
P = V·I = I²R = V²/R

方法

  1. 从离端子最远的网络末端开始。
  2. 串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. 每一步之后重新画电路。
  4. 重复直到端子之间只剩一个电阻。

节点分析

基尔霍夫电流定律
ΣIin = ΣIout
支路电流
I = (Va − Vb)/R
参考节点
Vground = 0

方法

  1. 选定参考节点（地），并标出其他节点电压。
  2. 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律：流出各支路的电流等于流入的电流。
  3. 把每条支路电流表示为 (Va − Vb)/R。
  4. 解方程组，再求出所需的电流。

戴维南和诺顿

戴维南电压
Vth = Vopen circuit
戴维南电阻
Rth：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流
IN = Vth/Rth
负载电流
IL = Vth/(Rth + RL)
最大功率传输
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

方法

  1. 移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
  2. 求 a、b 之间的开路电压：这就是 Vth。
  3. 将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 Rth。
  4. 把负载接回等效电路：Vth 与 Rth 串联。
  5. 求诺顿等效电路时进行变换：IN = Vth/Rth，RN = Rth 并联。

RC 和 RL 暂态

时间常数
τ = RC | τ = L/R
响应
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
直流下的电容
开路；vC 不能突变
直流下的电感
短路；iL 不能突变
稳态
t ≈ 5τ

方法

  1. 求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
  2. 求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
  3. 求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
  4. 使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ。

交流阻抗和相量

阻抗
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
角频率
ω = 2πf
模和相角
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
相量形式的欧姆定律
V = I·Z

方法

  1. 换算频率：ω = 2πf。
  2. 求各电抗：XL = ωL，XC = 1/(ωC)。
  3. 像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
  4. 求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。

交流功率和功率因数

有功功率
P = V·I·cos φ
无功功率
Q = V·I·sin φ
视在功率
S = V·I = √(P² + Q²)
功率因数
pf = cos φ = P/S
补偿电容
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

三相电

Y 联结
VL = √3·Vph, IL = Iph
Δ 联结
VL = Vph, IL = √3·Iph
总有功功率
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
视在功率和无功功率
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
补偿电容
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
每个电容上的电压
Δ：VL Y：VL/√3
电动机输入
Pin = Pout/η

变压器

匝数比
a = N1/N2 = V1/V2
电流比
I1/I2 = N2/N1 = 1/a
额定电流
I = S/V
折算阻抗
Z1′ = a²·ZL
部分负载时的铜损
Pcu = x²·Pcu,fl
效率
η = x·S·pf/(x·S·pf + Pcore + x²·Pcu,fl)
最高效率
x = √(Pcore/Pcu,fl)

2练习题

1.串并联电阻中等
R1​ = 6 ΩR3​ = 3 Ω+−V1​12 VR2​10 ΩAR4​12 ΩB

求电源 V1 看到的等效电阻 Req。

V1 = 12 VR1 = 6 ΩR2 = 10 ΩR3 = 3 ΩR4 = 12 Ω
Req = Ω
2.串并联电阻困难
R1​ = 10 ΩR3​ = 30 ΩR5​ = 2 Ω+−V1​15 VR2​25 ΩIR2​AR4​10 ΩBR6​15 Ω

求流过 R2 的电流 IR2。

V1 = 15 VR1 = 10 ΩR2 = 25 ΩR3 = 30 ΩR4 = 10 ΩR5 = 2 ΩR6 = 15 Ω
IR2 = A
3.节点分析中等
R1​ = 15 ΩR3​ = 3 ΩIR3​+−V1​30 VR2​4 ΩAR4​12 ΩBIs​2 A

用节点分析法求 沿箭头方向流过 R3 的电流 IR3。

V1 = 30 VIs = 2 AR1 = 15 ΩR2 = 4 ΩR3 = 3 ΩR4 = 12 Ω
IR3 = A
4.节点分析困难
R1​ = 2 ΩR2​ = 2 ΩR4​ = 30 Ω+−V1​9 VR3​20 ΩAR5​6 ΩBIs​0.5 A+−V2​24 V

用节点分析法求 节点电压 VA（相对于地）。

V1 = 9 VIs = 0.5 AV2 = 24 VR1 = 2 ΩR2 = 2 ΩR3 = 20 ΩR4 = 30 ΩR5 = 6 Ω
VA = V
5.戴维南和诺顿中等
R1​ = 3 ΩR3​ = 10 Ω+−V1​9 VR2​2 ΩAab

求从端口 a–b 看进去的戴维南电阻 Rth。

V1 = 9 VR1 = 3 ΩR2 = 2 ΩR3 = 10 Ω
Rth = Ω
6.戴维南和诺顿困难
R1​ = 3 ΩR3​ = 10 Ω+−V1​36 VR2​25 ΩAIs​4 ABab

求从端口 a–b 看进去的戴维南电压 Vth。

V1 = 36 VIs = 4 AR1 = 3 ΩR2 = 25 ΩR3 = 10 Ω
Vth = V
7.RC 和 RL 暂态中等
+−Vs​20 Vt = 0R = 100 ΩL150 mHi(t)

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。 开关闭合后多长时间电流达到终值的 50%？求 t。

Vs = 20 VR = 100 ΩL = 150 mH
t = ms
8.RC 和 RL 暂态困难
+−Vs​9 Vt = 0R = 2.2 kΩC10 µF+−vC​vC​(0) = 3 V

开关在 t = 0 闭合前的一瞬间，电容电压为 3 V，极性如图所示。 vC 需要多长时间达到 7.2 V？求 t。

Vs = 9 VR = 2.2 kΩC = 10 µFvC(0) = 3 V
t = ms
9.交流阻抗和相量中等
50 V200 HzR = 60 ΩL = 250 mHC = 47 µFI

一个串联 RLC 电路接在 50 V（有效值）、200 Hz 的电源上。 求电路的功率因数 cos φ。

V = 50 V (rms)f = 200 HzR = 60 ΩL = 250 mHC = 47 µF
cos φ =
10.交流阻抗和相量困难
50 V100 HzR = 15 ΩL = 250 mHC = 4.7 µFI

一个串联 RLC 电路接在 50 V（有效值）、100 Hz 的电源上。 求电流有效值 I。

V = 50 V (rms)f = 100 HzR = 15 ΩL = 250 mHC = 4.7 µF
I = A
11.交流功率和功率因数中等
230 VZ3 + j4 ΩI

一个阻抗为 Z = 3 + j4 Ω 的负载接在 230 V（有效值）的单相电源上。 求视在功率 S。

V = 230 VZ = 3 + j4 Ω
S = VA
12.交流功率和功率因数困难
120 V1000 HzRs​ = 8 ΩXs​ = j15 ΩZL​ = ?

一个 120 V（有效值）、1000 Hz 的电源具有内阻抗 Zs = 8 + j15 Ω。负载阻抗 ZL 可以自由选择。 求能传输给负载的最大有功功率 Pmax。

Vs = 120 V (rms)f = 1000 HzZs = 8 + j15 Ω
Pmax = W
13.三相电中等
ABCVL​ = 208 VIL​ = 80 Acos φ = 0.85滞后

一个对称三相负载从线电压为 208 V 的电源取用 80 A 的线电流，功率因数为 0.85（滞后）。求负载取用的总有功功率 P，以 kW 计。

VL = 208 VIL = 80 Acos φ = 0.85
P = kW
14.三相电困难
P = 60 kWφ1​S1​Q2​QC​

一个对称三相负载从 415 V（线电压）、50 Hz 的电源取用 60 kW，功率因数为 0.7（滞后）。与负载并联的三相电容器组须把总功率因数提高到 0.92（滞后）。有功功率保持不变。 电容采用 Y 联结。求每个电容的电容量 Cph，以 µF 计。

P = 60 kWpf1 = 0.7pf2 = 0.92VL = 415 Vf = 50 Hz
Cph = µF
15.变压器中等
8 Ω51

一个 8 Ω 的电阻接在匝数比 N₁:N₂ = 5:1 的理想变压器二次绕组两端。求从一次绕组看进去的电阻 R1′。

N1:N2 = 5:1RL = 8 Ω
R1′ = Ω
16.变压器困难
pf 0.9550 kVA, 25% 负载

一台单相 50 kVA 变压器的铁损为 300 W，额定负载下铜损为 750 W。 它以 0.95（滞后）的功率因数提供额定 kVA 的 25%。求此负载下的总损耗 Ploss，以 W 计。

S = 50 kVAPcore = 300 WPcu,fl = 750 Wx = 0.25pf = 0.95
Ploss = W

3溶液

1.串并联电阻

答案: Req = 12 Ω

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

R1​ = 6 ΩR3​ = 3 Ω+−V1​12 VR2​10 ΩAR4​12 ΩB

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R3 + R4 = 3 + 12 = 15 Ω
R2 ∥ 15 = 10·15/(10+15) = 6 Ω
Req = R1 + 6 = 6 + 6 = 12 Ω

答案

Req = 12 Ω
2.串并联电阻

答案: IR2 = 0.3581 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

R1​ = 10 ΩR3​ = 30 ΩR5​ = 2 Ω+−V1​15 VR2​25 ΩAR4​10 ΩBR6​15 Ω

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R5 + R6 = 2 + 15 = 17 Ω
R4 ∥ 17 = 6.296 Ω
R3 + 6.296 = 36.3 Ω
R2 ∥ 36.3 = 14.8 Ω
Req = R1 + 14.8 = 10 + 14.8 = 24.8 Ω

电源电流

电源只看到 Req，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

IR1 = V1/Req = 15/24.8 = 0.6048 A

流过 R₂ 的电流

减去 R₁ 上的压降得到节点 A 的电压，即 R₂ 两端的电压。

VA = V1 − IR1·R1 = 15 − 0.6048·10 = 8.952 V
IR2 = VA/R2 = 8.952/25 = 0.3581 A

答案

IR2 = 0.3581 A
3.节点分析

答案: IR3 = 1.67 A

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

R1​ = 15 ΩR3​ = 3 Ω+−V1​30 VR2​4 ΩAR4​12 ΩBIs​2 A

设定节点

地为底部导线。已知节点电压直接来自电源（V1 = 30 V）。未知量：VA, VB。

节点 A 的 KCL

经电阻流出 A 的电流等于电源注入 A 的电流。

VA/R2 + (VA − V1)/R1 + (VA − VB)/R3 = 0
VA/4 + (VA − 30)/15 + (VA − VB)/3 = 0
0.65·VA − 0.3333·VB = 2

节点 B 的 KCL

经电阻流出 B 的电流等于电源注入 B 的电流。

VB/R4 + (VB − VA)/R3 = Is
VB/12 + (VB − VA)/3 = (−2)
−0.3333·VA + 0.4167·VB = −2

求解

Δ = (0.65)(0.4167) − (−0.3333)(−0.3333) = 0.1597
VA = Δ1/Δ = 0.1667/0.1597 = 1.043 V
VB = Δ2/Δ = −0.6333/0.1597 = −3.965 V

答案

IR3 = (VA − VB)/R3 = (1.043 − −3.965)/3 = 1.67 A
4.节点分析

答案: VA = 7.835 V

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

R1​ = 2 ΩR2​ = 2 ΩR4​ = 30 Ω+−V1​9 VR3​20 ΩAR5​6 ΩBIs​0.5 A+−V2​24 V

设定节点

地为底部导线。已知节点电压直接来自电源（V1 = 9 V, V2 = 24 V）。未知量：VA, VB。

节点 A 的 KCL

经电阻流出 A 的电流等于电源注入 A 的电流。

VA/R3 + (VA − V1)/R1 + (VA − VB)/R2 = 0
VA/20 + (VA − 9)/2 + (VA − VB)/2 = 0
1.05·VA − 0.5·VB = 4.5

节点 B 的 KCL

经电阻流出 B 的电流等于电源注入 B 的电流。

VB/R5 + (VB − VA)/R2 + (VB − V2)/R4 = Is
VB/6 + (VB − VA)/2 + (VB − 24)/30 = 0.5
−0.5·VA + 0.7·VB = 1.3

求解

Δ = (1.05)(0.7) − (−0.5)(−0.5) = 0.485
VA = Δ1/Δ = 3.8/0.485 = 7.835 V
VB = Δ2/Δ = 3.615/0.485 = 7.454 V

答案

VA = 7.835 V
5.戴维南和诺顿

答案: Rth = 11.2 Ω

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 3 ΩR3​ = 10 Ω短路R2​2 ΩAabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 3·2/(3+2) = 1.2 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 1.2 + 10 = 11.2 Ω
6.戴维南和诺顿

答案: Vth = 82.86 V

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 3 ΩR3​ = 10 Ω短路R2​25 ΩA开路BabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 3·25/(3+25) = 2.679 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 2.679 + 10 = 12.68 Ω
R1​ = 3 ΩR3​ = 10 Ω+−V1​36 VR2​25 ΩAIs​4 ABab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 32.14 + 4·2.679 = 42.86 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 42.86 + 4·10 = 82.86 V
7.RC 和 RL 暂态

答案: t = 1.04 ms

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 150 mH / 100 Ω = 1.5 ms
i(∞) = Vs/R = 20/100 = 0.2 A

求解时间

0.5 = 1 − e−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0.5)
t = −1.5·ln(0.5) = 1.04 ms

答案

t = 1.04 ms
8.RC 和 RL 暂态

答案: t = 26.49 ms

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

初始值、终值、时间常数

电容电压不能突变，所以它从储存值开始，趋向电源电压。

vC(0) = 3 V, vC(∞) = Vs = 9 V
τ = R·C = 2.2 kΩ · 10 µF = 22 ms
vC(t) = 9 + (3 − 9)·e−t/τ

求解时间

7.2 = 9 + (−6)·e−t/τ → e−t/τ = (7.2 − 9)/(3 − 9) = 0.3
t = τ·ln((3 − 9)/(7.2 − 9)) = 22·ln(3.333) = 26.49 ms

答案

t = 26.49 ms
9.交流阻抗和相量

答案: cos φ = 0.1979

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

电抗

XL = 314.2 Ω, XC = 16.93 Ω

阻抗

|Z| = √(60² + (297.2)²) = 303.2 Ω

功率因数

cos φ = R/|Z| = 60/303.2 = 0.1979
电路是感性的，所以功率因数滞后。

答案

cos φ = 0.1979
10.交流阻抗和相量

答案: I = 0.2745 A

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

电抗

ω = 2πf = 2π·100 = 628.3 rad/s
XL = ωL = 628.3·0.25 = 157.1 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(628.3·4.7·10⁻⁶) = 338.6 Ω

阻抗

串联时阻抗按复数相加：Z = R + j(XL − XC)。

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(15² + (−181.5)²) = 182.2 Ω

电流

串联电路中每个元件流过相同电流。

I = V/|Z| = 50/182.2 = 0.2745 A

答案

I = 0.2745 A
11.交流功率和功率因数

答案: S = 10580 VA

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

电流

|Z| = √(3² + 4²) = 5 Ω
I = V/|Z| = 230/5 = 46 A

视在功率

S = V·I = 230·46 = 10580 VA

答案

S = 10580 VA
12.交流功率和功率因数

答案: Pmax = 450 W

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

共轭匹配

负载电抗抵消电源电抗，负载电阻等于电源电阻。

ZL = Zs* = 8 − j15 Ω

最大功率

I = Vs/(2Rs) = 120/16 = 7.5 A
Pmax = I²·RL = Vs²/(4Rs) = 120²/(4·8) = 450 W

答案

Pmax = 450 W
13.三相电

答案: P = 24.5 kW

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，VL = √3·Vph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，IL = √3·Iph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。

视在功率

S = √3·VL·IL = √3·208·80 = 28.82 kVA

有功功率

P = S·cos φ = 28.82·0.85 = 24.5 kW

答案

P = 24.5 kW
14.三相电

答案: Cph = 658.9 µF

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，VL = √3·Vph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，IL = √3·Iph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。 功率因数校正：电容就地提供无功功率，QC = P·(tan φ1 − tan φ2)。三个电容各提供 QC/3 = V²·ω·C，其中 V 是该电容两端的电压：Δ 联结电容器组为 VL，Y 联结电容器组为 VL/√3。

补偿前后的无功功率

有功功率不变，因此每个功率因数对应确定的无功功率：Q = P·tan φ。

Q1 = 60·tan(acos 0.7) = 60·1.02 = 61.21 kvar
Q2 = 60·tan(acos 0.92) = 60·0.426 = 25.56 kvar

电容提供的无功功率

QC = Q1 − Q2 = 35.65 kvar

每相电容

在 Y 联结电容器组中，每个电容接在一根相线和星点之间。

V = 415/√3 = 239.6 V, ω = 2π·50 = 314.2 rad/s
Cph = (QC/3)/(ω·V²) = 11884/(314.2·239.6²) = 658.9 µF

答案

Cph = 658.9 µF
15.变压器

答案: R1′ = 200 Ω

理想变压器：电压之比等于匝数之比，电流之比等于匝数的反比：V₁/V₂ = N₁/N₂ = a，I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a，因此输入功率等于输出功率，V₁·I₁ = V₂·I₂。二次侧的负载阻抗 Z 从一次侧看相当于 a²·Z。

折算电阻

电压升高 a 倍，电流降低 a 倍，所以比值 V/I 增大 a² 倍。

R1′ = a²·RL = 5²·8 = 200 Ω

答案

R1′ = 200 Ω
16.变压器

答案: Ploss = 346.9 W

变压器损耗：铁损（磁滞和涡流）取决于电压，在任何负载下都相同。绕组中的铜损与电流的平方成正比，因此在额定负载的 x 倍时为 x²·Pcu,fl。效率 η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu)，其中 Pout = x·S·pf。铜损等于铁损时的负载下效率最高。

此负载下的铜损

Pcu = x²·Pcu,fl = 0.0625·750 = 46.88 W

总损耗

铁损在任何负载下都相同。

Ploss = 300 + 46.88 = 346.9 W

答案

Ploss = 346.9 W

此负载下的效率为 η = 97.16%。

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