电工学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

串并联电阻

电阻串联
Req = R1 + R2 + …
电阻并联
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
两个电阻并联
Req = R1R2 / (R1 + R2)
欧姆定律
V = I·R
功率
P = V·I = I²R = V²/R

方法

  1. 从离端子最远的网络末端开始。
  2. 串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. 每一步之后重新画电路。
  4. 重复直到端子之间只剩一个电阻。

节点分析

基尔霍夫电流定律
ΣIin = ΣIout
支路电流
I = (Va − Vb)/R
参考节点
Vground = 0

方法

  1. 选定参考节点（地），并标出其他节点电压。
  2. 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律：流出各支路的电流等于流入的电流。
  3. 把每条支路电流表示为 (Va − Vb)/R。
  4. 解方程组，再求出所需的电流。

戴维南和诺顿

戴维南电压
Vth = Vopen circuit
戴维南电阻
Rth：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流
IN = Vth/Rth
负载电流
IL = Vth/(Rth + RL)
最大功率传输
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

方法

  1. 移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
  2. 求 a、b 之间的开路电压：这就是 Vth。
  3. 将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 Rth。
  4. 把负载接回等效电路：Vth 与 Rth 串联。
  5. 求诺顿等效电路时进行变换：IN = Vth/Rth，RN = Rth 并联。

RC 和 RL 暂态

时间常数
τ = RC | τ = L/R
响应
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
直流下的电容
开路；vC 不能突变
直流下的电感
短路；iL 不能突变
稳态
t ≈ 5τ

方法

  1. 求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
  2. 求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
  3. 求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
  4. 使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ。

交流阻抗和相量

阻抗
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
角频率
ω = 2πf
模和相角
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
相量形式的欧姆定律
V = I·Z

方法

  1. 换算频率：ω = 2πf。
  2. 求各电抗：XL = ωL，XC = 1/(ωC)。
  3. 像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
  4. 求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。

交流功率和功率因数

有功功率
P = V·I·cos φ
无功功率
Q = V·I·sin φ
视在功率
S = V·I = √(P² + Q²)
功率因数
pf = cos φ = P/S
补偿电容
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

三相电

Y 联结
VL = √3·Vph, IL = Iph
Δ 联结
VL = Vph, IL = √3·Iph
总有功功率
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
视在功率和无功功率
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
补偿电容
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
每个电容上的电压
Δ：VL Y：VL/√3
电动机输入
Pin = Pout/η

变压器

匝数比
a = N1/N2 = V1/V2
电流比
I1/I2 = N2/N1 = 1/a
额定电流
I = S/V
折算阻抗
Z1′ = a²·ZL
部分负载时的铜损
Pcu = x²·Pcu,fl
效率
η = x·S·pf/(x·S·pf + Pcore + x²·Pcu,fl)
最高效率
x = √(Pcore/Pcu,fl)

2练习题

1.串并联电阻中等
R1​ = 5 ΩR3​ = 8 Ω+−V1​12 VR2​15 ΩAR4​5 ΩB

求电源 V1 看到的等效电阻 Req。

V1 = 12 VR1 = 5 ΩR2 = 15 ΩR3 = 8 ΩR4 = 5 Ω
Req = Ω
2.串并联电阻困难
R1​ = 10 ΩIR1​R3​ = 6 ΩR5​ = 10 Ω+−V1​10 VR2​15 ΩAR4​3 ΩBR6​5 Ω

求电源输出并流过 R1 的电流 IR1。

V1 = 10 VR1 = 10 ΩR2 = 15 ΩR3 = 6 ΩR4 = 3 ΩR5 = 10 ΩR6 = 5 Ω
IR1 = A
3.节点分析中等
R1​ = 10 ΩIR1​R3​ = 12 Ω+−V1​15 VR2​20 ΩAR4​6 ΩBIs​2.5 A

用节点分析法求 沿箭头方向流过 R1 的电流 IR1。

V1 = 15 VIs = 2.5 AR1 = 10 ΩR2 = 20 ΩR3 = 12 ΩR4 = 6 Ω
IR1 = A
4.节点分析困难
R1​ = 4 ΩR3​ = 20 Ω+−V1​5 VR2​4 ΩAR4​12 ΩB0.2·VA​

菱形符号是一个电压控制电流源，它向上注入节点 B 的电流为 0.2·VA（单位 A，VA 单位为 V）。用节点分析法求 节点电压 VB（相对于地）。

V1 = 5 VR1 = 4 ΩR2 = 4 ΩR3 = 20 ΩR4 = 12 Ωg = 0.2 A/V
VB = V
5.戴维南和诺顿中等
R1​ = 5 ΩR3​ = 3 Ω+−V1​10 VR2​12 ΩAab

求从端口 a–b 看进去的戴维南电阻 Rth。

V1 = 10 VR1 = 5 ΩR2 = 12 ΩR3 = 3 Ω
Rth = Ω
6.戴维南和诺顿困难
R1​ = 2 ΩR3​ = 25 Ω+−V1​15 VR2​8 ΩAIs​1.5 ABRL​20 ΩIL​

在 a–b 之间接入负载 RL = 20 Ω。将电路其余部分替换为戴维南等效电路，求负载电流 IL。

V1 = 15 VIs = 1.5 AR1 = 2 ΩR2 = 8 ΩR3 = 25 ΩRL = 20 Ω
IL = A
7.RC 和 RL 暂态中等
+−Vs​20 Vt = 0R = 22 ΩL10 mHi(t)

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。 开关闭合后多长时间电流达到终值的 90%？求 t。

Vs = 20 VR = 22 ΩL = 10 mH
t = ms
8.RC 和 RL 暂态困难
+−Vs​12 Vt = 0R = 1 kΩC22 µF+−vC​vC​(0) = 5 V

开关在 t = 0 闭合前的一瞬间，电容电压为 5 V，极性如图所示。 求 t = 25 ms 时的电容电压 vC。

Vs = 12 VR = 1 kΩC = 22 µFvC(0) = 5 Vt = 25 ms
vC = V
9.交流阻抗和相量中等
10 V60 HzR = 80 ΩL = 50 mHC = 100 µFI

一个串联 RLC 电路接在 10 V（有效值）、60 Hz 的电源上。 求电流有效值 I。

V = 10 V (rms)f = 60 HzR = 80 ΩL = 50 mHC = 100 µF
I = A
10.交流阻抗和相量困难
12 V1000 HzR = 40 ΩL = 100 mHC = 10 µF+−VC​

一个串联 RLC 电路接在 12 V（有效值）、1000 Hz 的电源上。 求电容两端电压的有效值 VC。

V = 12 V (rms)f = 1000 HzR = 40 ΩL = 100 mHC = 10 µF
VC = V
11.交流功率和功率因数中等
120 VR + jXP = 1440 W20 A

一个感性负载从 120 V（有效值）的单相电源吸取 20 A 和 1440 W。把它建模为电阻 R 与电抗 X 串联。 求 X。

V = 120 VI = 20 AP = 1440 W
X = Ω
12.交流功率和功率因数困难
P1​ = 67 kWQ1​S1​φ

一台 150 kVA 的单相变压器为一个 67 kW、功率因数为 0.75（滞后）的负载供电。在变压器达到其额定 kVA 之前，还能再增加多少电阻性（功率因数为 1）负载的有功功率 ΔP？

Smax = 150 kVAP1 = 67 kWpf1 = 0.75
ΔP = kW
13.三相电中等
ABCVL​ = 480 VNZ = 12 + j9 Ω每相

一个每相阻抗为 12 + j9 Ω 的对称 Y 联结负载接在线电压为 480 V 的对称三相电源上。 求负载吸收的总有功功率 P，以 kW 计。

VL = 480 VZ = 12 + j9 Ω 每相
P = kW
14.三相电困难
P = 200 kWφ1​S1​Q2​QC​ = ?

一个对称三相负载从 480 V（线电压）、60 Hz 的电源取用 200 kW，功率因数为 0.8（滞后）。与负载并联的三相电容器组须把总功率因数提高到 0.92（滞后）。有功功率保持不变。 求电容器组须提供的总无功功率 QC，以 kvar 计。

P = 200 kWpf1 = 0.8pf2 = 0.92VL = 480 Vf = 60 Hz
QC = kvar
15.变压器中等
RL​ = 48 Ω41920 VV2​I1​ = ?I2​

一台匝数比 N₁:N₂ = 4:1 的理想变压器，一次绕组加 920 V 电压。二次绕组两端接一个 48 Ω 的电阻。求一次电流 I1。

N1:N2 = 4:1V1 = 920 VRL = 48 Ω
I1 = A
16.变压器困难
100 kVA

一台单相 100 kVA 变压器的铁损为 600 W，额定负载下铜损为 1200 W。 在多大负载 Sη,max（以 kVA 计）时其效率最高？

S = 100 kVAPcore = 600 WPcu,fl = 1200 W
Sη,max = kVA

3溶液

1.串并联电阻

答案: Req = 11.96 Ω

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

R1​ = 5 ΩR3​ = 8 Ω+−V1​12 VR2​15 ΩAR4​5 ΩB

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R3 + R4 = 8 + 5 = 13 Ω
R2 ∥ 13 = 15·13/(15+13) = 6.964 Ω
Req = R1 + 6.964 = 5 + 6.964 = 11.96 Ω

答案

Req = 11.96 Ω
2.串并联电阻

答案: IR1 = 0.6483 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

R1​ = 10 ΩR3​ = 6 ΩR5​ = 10 Ω+−V1​10 VR2​15 ΩAR4​3 ΩBR6​5 Ω

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R5 + R6 = 10 + 5 = 15 Ω
R4 ∥ 15 = 2.5 Ω
R3 + 2.5 = 8.5 Ω
R2 ∥ 8.5 = 5.426 Ω
Req = R1 + 5.426 = 10 + 5.426 = 15.43 Ω

电源电流

电源只看到 Req，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

IR1 = V1/Req = 10/15.43 = 0.6483 A

答案

IR1 = 0.6483 A
3.节点分析

答案: IR1 = 0.3649 A

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

R1​ = 10 ΩR3​ = 12 Ω+−V1​15 VR2​20 ΩAR4​6 ΩBIs​2.5 A

设定节点

地为底部导线。已知节点电压直接来自电源（V1 = 15 V）。未知量：VA, VB。

节点 A 的 KCL

经电阻流出 A 的电流等于电源注入 A 的电流。

VA/R2 + (VA − V1)/R1 + (VA − VB)/R3 = 0
VA/20 + (VA − 15)/10 + (VA − VB)/12 = 0
0.2333·VA − 0.08333·VB = 1.5

节点 B 的 KCL

经电阻流出 B 的电流等于电源注入 B 的电流。

VB/R4 + (VB − VA)/R3 = Is
VB/6 + (VB − VA)/12 = 2.5
−0.08333·VA + 0.25·VB = 2.5

求解

Δ = (0.2333)(0.25) − (−0.08333)(−0.08333) = 0.05139
VA = Δ1/Δ = 0.5833/0.05139 = 11.35 V
VB = Δ2/Δ = 0.7083/0.05139 = 13.78 V

答案

IR1 = (V1 − VA)/R1 = (15 − 11.35)/10 = 0.3649 A
4.节点分析

答案: VB = 5.137 V

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

节点 A 的 KCL

经电阻从 A 流出的电流等于电源注入 A 的电流。

(VA − V1)/R1 + VA/R2 + (VA − VB)/R3 = 0
0.55·VA − 0.05·VB = 1.25

节点 B 的 KCL

受控源向节点 B 注入 g·VA。把它当作独立源处理，然后把含 VA 的项移到左边。

(VB − VA)/R3 + VB/R4 = 0.2·VA
−0.25·VA + 0.1333·VB = 0

求解

Δ = (0.55)(0.1333) − (−0.05)(−0.25) = 0.06083
VA = Δ1/Δ = 0.1667/0.06083 = 2.74 V
VB = Δ2/Δ = 0.3125/0.06083 = 5.137 V

答案

VB = 5.137 V
5.戴维南和诺顿

答案: Rth = 6.529 Ω

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 5 ΩR3​ = 3 Ω短路R2​12 ΩAabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 5·12/(5+12) = 3.529 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 3.529 + 3 = 6.529 Ω
6.戴维南和诺顿

答案: IL = 1.114 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 2 ΩR3​ = 25 Ω短路R2​8 ΩA开路BabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 2·8/(2+8) = 1.6 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 1.6 + 25 = 26.6 Ω
R1​ = 2 ΩR3​ = 25 Ω+−V1​15 VR2​8 ΩAIs​1.5 ABab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 12 + 1.5·1.6 = 14.4 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 14.4 + 1.5·25 = 51.9 V
Rth​ = 26.6 Ω+−Vth​51.9 VRL​20 ΩIL​

将负载接到戴维南等效电路上

戴维南电源与串联的 R_th 在 a–b 处的表现与原电路完全相同，因此负载看到的是一个简单串联回路。

IL = Vth/(Rth + RL) = 51.9/(26.6 + 20) = 1.114 A
7.RC 和 RL 暂态

答案: t = 1.047 ms

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 10 mH / 22 Ω = 0.4545 ms
i(∞) = Vs/R = 20/22 = 0.9091 A

求解时间

0.9 = 1 − e−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0.9)
t = −0.4545·ln(0.1) = 1.047 ms

答案

t = 1.047 ms
8.RC 和 RL 暂态

答案: vC = 9.753 V

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

初始值、终值、时间常数

电容电压不能突变，所以它从储存值开始，趋向电源电压。

vC(0) = 5 V, vC(∞) = Vs = 12 V
τ = R·C = 1 kΩ · 22 µF = 22 ms
vC(t) = 12 + (5 − 12)·e−t/τ

给定时刻的电压

vC(25) = 12 + (−7)·e−25/22 = 9.753 V

答案

vC = 9.753 V
9.交流阻抗和相量

答案: I = 0.1244 A

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

电抗

ω = 2πf = 2π·60 = 377 rad/s
XL = ωL = 377·0.05 = 18.85 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(377·100·10⁻⁶) = 26.53 Ω

阻抗

串联时阻抗按复数相加：Z = R + j(XL − XC)。

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(80² + (−7.676)²) = 80.37 Ω

电流

串联电路中每个元件流过相同电流。

I = V/|Z| = 10/80.37 = 0.1244 A

答案

I = 0.1244 A
10.交流阻抗和相量

答案: VC = 0.3112 V

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

电抗

ω = 2πf = 2π·1000 = 6283 rad/s
XL = ωL = 6283·0.1 = 628.3 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(6283·10·10⁻⁶) = 15.92 Ω

阻抗

串联时阻抗按复数相加：Z = R + j(XL − XC)。

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(40² + (612.4)²) = 613.7 Ω

电流

串联电路中每个元件流过相同电流。

I = V/|Z| = 12/613.7 = 0.01955 A

电容电压

VC = I·XC = 0.01955·15.92 = 0.3112 V

答案

VC = 0.3112 V
11.交流功率和功率因数

答案: X = 4.8 Ω

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

由有功功率求电阻

R = P/I² = 1440/20² = 3.6 Ω

由阻抗求电抗

|Z| = V/I = 120/20 = 6 Ω
X = √(|Z|² − R²) = √(6² − 3.6²) = 4.8 Ω

答案

X = 4.8 Ω
12.交流功率和功率因数

答案: ΔP = 70.87 kW

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

现有负载的无功功率

Q1 = 67·tan(arccos 0.75) = 59.09 kvar

最大总有功功率

满额定时 S = Smax，而电阻性负载不改变 Q。

P = √(Smax² − Q1²) = √(150² − 59.09²) = 137.9 kW

增加的有功功率

ΔP = 137.9 − 67 = 70.87 kW

答案

ΔP = 70.87 kW
13.三相电

答案: P = 12.29 kW

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，VL = √3·Vph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，IL = √3·Iph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。

相电压

Vph = 480/√3 = 277.1 V

相电流

|Z| = √(12² + 9²) = 15 Ω
Iph = 277.1/15 = 18.48 A

总有功功率

只有每个阻抗的电阻部分吸收有功功率。

P = 3·Iph²·R = 3·18.48²·12 = 12.29 kW

答案

P = 12.29 kW

验算：cos φ = R/|Z| = 0.8，用 √3·VL·IL·cos φ 得到相同的功率。

14.三相电

答案: QC = 64.8 kvar

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，VL = √3·Vph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，IL = √3·Iph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。 功率因数校正：电容就地提供无功功率，QC = P·(tan φ1 − tan φ2)。三个电容各提供 QC/3 = V²·ω·C，其中 V 是该电容两端的电压：Δ 联结电容器组为 VL，Y 联结电容器组为 VL/√3。

补偿前后的无功功率

有功功率不变，因此每个功率因数对应确定的无功功率：Q = P·tan φ。

Q1 = 200·tan(acos 0.8) = 200·0.75 = 150 kvar
Q2 = 200·tan(acos 0.92) = 200·0.426 = 85.2 kvar

电容提供的无功功率

QC = Q1 − Q2 = 64.8 kvar

答案

QC = 64.8 kvar
15.变压器

答案: I1 = 1.198 A

理想变压器：电压之比等于匝数之比，电流之比等于匝数的反比：V₁/V₂ = N₁/N₂ = a，I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a，因此输入功率等于输出功率，V₁·I₁ = V₂·I₂。二次侧的负载阻抗 Z 从一次侧看相当于 a²·Z。

二次电压和电流

V2 = 920/4 = 230 V
I2 = 230/48 = 4.792 A

一次电流

理想变压器没有损耗：V₁·I₁ = V₂·I₂。

I1 = I2/4 = 1.198 A

答案

I1 = 1.198 A

验算：从一次侧看负载为 a²·RL = 768 Ω，920/768 得到相同的电流。

16.变压器

答案: Sη,max = 70.71 kVA

变压器损耗：铁损（磁滞和涡流）取决于电压，在任何负载下都相同。绕组中的铜损与电流的平方成正比，因此在额定负载的 x 倍时为 x²·Pcu,fl。效率 η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu)，其中 Pout = x·S·pf。铜损等于铁损时的负载下效率最高。

铜损等于铁损

x²·1200 = 600 → x = √(600/1200) = 0.7071

最高效率时的负载

Sη,max = x·S = 0.7071·100 = 70.71 kVA

答案

Sη,max = 70.71 kVA

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