电工学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

串并联电阻

电阻串联
Req = R1 + R2 + …
电阻并联
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
两个电阻并联
Req = R1R2 / (R1 + R2)
欧姆定律
V = I·R
功率
P = V·I = I²R = V²/R

方法

  1. 从离端子最远的网络末端开始。
  2. 串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. 每一步之后重新画电路。
  4. 重复直到端子之间只剩一个电阻。

节点分析

基尔霍夫电流定律
ΣIin = ΣIout
支路电流
I = (Va − Vb)/R
参考节点
Vground = 0

方法

  1. 选定参考节点（地），并标出其他节点电压。
  2. 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律：流出各支路的电流等于流入的电流。
  3. 把每条支路电流表示为 (Va − Vb)/R。
  4. 解方程组，再求出所需的电流。

戴维南和诺顿

戴维南电压
Vth = Vopen circuit
戴维南电阻
Rth：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流
IN = Vth/Rth
负载电流
IL = Vth/(Rth + RL)
最大功率传输
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

方法

  1. 移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
  2. 求 a、b 之间的开路电压：这就是 Vth。
  3. 将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 Rth。
  4. 把负载接回等效电路：Vth 与 Rth 串联。
  5. 求诺顿等效电路时进行变换：IN = Vth/Rth，RN = Rth 并联。

RC 和 RL 暂态

时间常数
τ = RC | τ = L/R
响应
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
直流下的电容
开路；vC 不能突变
直流下的电感
短路；iL 不能突变
稳态
t ≈ 5τ

方法

  1. 求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
  2. 求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
  3. 求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
  4. 使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ。

交流阻抗和相量

阻抗
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
角频率
ω = 2πf
模和相角
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
相量形式的欧姆定律
V = I·Z

方法

  1. 换算频率：ω = 2πf。
  2. 求各电抗：XL = ωL，XC = 1/(ωC)。
  3. 像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
  4. 求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。

交流功率和功率因数

有功功率
P = V·I·cos φ
无功功率
Q = V·I·sin φ
视在功率
S = V·I = √(P² + Q²)
功率因数
pf = cos φ = P/S
补偿电容
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

三相电

Y 联结
VL = √3·Vph, IL = Iph
Δ 联结
VL = Vph, IL = √3·Iph
总有功功率
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
视在功率和无功功率
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
补偿电容
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
每个电容上的电压
Δ：VL Y：VL/√3
电动机输入
Pin = Pout/η

变压器

匝数比
a = N1/N2 = V1/V2
电流比
I1/I2 = N2/N1 = 1/a
额定电流
I = S/V
折算阻抗
Z1′ = a²·ZL
部分负载时的铜损
Pcu = x²·Pcu,fl
效率
η = x·S·pf/(x·S·pf + Pcore + x²·Pcu,fl)
最高效率
x = √(Pcore/Pcu,fl)

2练习题

1.串并联电阻中等
R1​ = 5 ΩR3​ = 20 Ω+−V1​15 VR2​10 ΩAR4​3 ΩB

求电源 V1 看到的等效电阻 Req。

V1 = 15 VR1 = 5 ΩR2 = 10 ΩR3 = 20 ΩR4 = 3 Ω
Req = Ω
2.串并联电阻困难
R1​ = 30 ΩIR1​R3​ = 20 ΩR5​ = 12 Ω+−V1​9 VR2​30 ΩAR4​4 ΩBR6​10 Ω

求电源输出并流过 R1 的电流 IR1。

V1 = 9 VR1 = 30 ΩR2 = 30 ΩR3 = 20 ΩR4 = 4 ΩR5 = 12 ΩR6 = 10 Ω
IR1 = A
3.节点分析中等
R1​ = 5 ΩR3​ = 3 Ω+−V1​10 VR2​2 ΩAR4​5 ΩBIs​5 A

用节点分析法求电流源 Is 输出的功率 PIs。

V1 = 10 VIs = 5 AR1 = 5 ΩR2 = 2 ΩR3 = 3 ΩR4 = 5 Ω
PIs = W
4.节点分析困难
R1​ = 25 Ω−+Vs​ = 15 VIx​+−V1​10 VR2​20 ΩAR3​6 ΩBIs​6 A

A 与 B 之间的电压源 Vₛ 的 + 端在 B，所以它使 VB − VA = Vₛ。 用含超节点的节点分析法求流过电压源的电流 Ix，方向如箭头所示从 A 到 B。

V1 = 10 VIs = 6 AVs = 15 VR1 = 25 ΩR2 = 20 ΩR3 = 6 Ω
Ix = A
5.戴维南和诺顿中等
R1​ = 5 ΩR3​ = 5 Ω+−V1​10 VR2​12 ΩAab

求从端口 a–b 看进去的戴维南电阻 Rth。

V1 = 10 VR1 = 5 ΩR2 = 12 ΩR3 = 5 Ω
Rth = Ω
6.戴维南和诺顿困难
R1​ = 2 ΩR3​ = 20 Ω+−V1​15 VR2​30 ΩAIs​4 ABab

求从端口 a–b 看进去的戴维南电压 Vth。

V1 = 15 VIs = 4 AR1 = 2 ΩR2 = 30 ΩR3 = 20 Ω
Vth = V
7.RC 和 RL 暂态中等
+−Vs​15 Vt = 0R = 15 ΩL68 mHi(t)

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。 求 t = 10 ms 时电感两端的电压 vL。

Vs = 15 VR = 15 ΩL = 68 mHt = 10 ms
vL = V
8.RC 和 RL 暂态困难
+−Vs​9 Vt = 0R = 10 kΩC47 µF+−vC​vC​(0) = 24 V

开关在 t = 0 闭合前的一瞬间，电容电压为 24 V，极性如图所示。 求 t = 750 ms 时的电容电压 vC。

Vs = 9 VR = 10 kΩC = 47 µFvC(0) = 24 Vt = 750 ms
vC = V
9.交流阻抗和相量中等
24 V100 HzR = 30 ΩL = 150 mHI

一个电阻和一个电感并联接在 24 V（有效值）、100 Hz 的电源上。 求阻抗的模 |Z|。

V = 24 V (rms)f = 100 HzR = 30 ΩL = 150 mH
|Z| = Ω
10.交流阻抗和相量困难
230 V50 HzR = 50 ΩL = 200 mHC = 100 µFI

一个串联 RLC 电路接在 230 V（有效值）、50 Hz 的电源上。 求电流有效值 I。

V = 230 V (rms)f = 50 HzR = 50 ΩL = 200 mHC = 100 µF
I = A
11.交流功率和功率因数中等
230 VZ12 + j9 ΩI

一个阻抗为 Z = 12 + j9 Ω 的负载接在 230 V（有效值）的单相电源上。 求它吸收的无功功率 Q。

V = 230 VZ = 12 + j9 Ω
Q = var
12.交流功率和功率因数困难
P1​ = 37 kWQ1​S1​φ

一台 150 kVA 的单相变压器为一个 37 kW、功率因数为 0.6（滞后）的负载供电。在变压器达到其额定 kVA 之前，还能再增加多少电阻性（功率因数为 1）负载的有功功率 ΔP？

Smax = 150 kVAP1 = 37 kWpf1 = 0.6
ΔP = kW
13.三相电中等
ABCVL​ = 690 VIL​ = ?M37 kW, η = 93%cos φ = 0.82

一台三相感应电动机满载时输出机械功率 37 kW。此负载下其效率为 93%，功率因数为 0.82（滞后）。电源线电压为 690 V。求线电流 IL。

Pout = 37 kWη = 93%cos φ = 0.82VL = 690 V
IL = A
14.三相电困难
P = 50 kWφ1​S1​Q2​QC​ = ?

一个对称三相负载从 480 V（线电压）、60 Hz 的电源取用 50 kW，功率因数为 0.78（滞后）。与负载并联的三相电容器组须把总功率因数提高到 0.95（滞后）。有功功率保持不变。 求电容器组须提供的总无功功率 QC，以 kvar 计。

P = 50 kWpf1 = 0.78pf2 = 0.95VL = 480 Vf = 60 Hz
QC = kvar
15.变压器中等
RL​ = 40 Ω511200 VV2​I1​ = ?I2​

一台匝数比 N₁:N₂ = 5:1 的理想变压器，一次绕组加 1200 V 电压。二次绕组两端接一个 40 Ω 的电阻。求一次电流 I1。

N1:N2 = 5:1V1 = 1200 VRL = 40 Ω
I1 = A
16.变压器困难
pf 0.9525 kVA, 75% 负载

一台单相 25 kVA 变压器的铁损为 100 W，额定负载下铜损为 300 W。 它以 0.95（滞后）的功率因数提供额定 kVA 的 75%。求此负载下的总损耗 Ploss，以 W 计。

S = 25 kVAPcore = 100 WPcu,fl = 300 Wx = 0.75pf = 0.95
Ploss = W

3溶液

1.串并联电阻

答案: Req = 11.97 Ω

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

R1​ = 5 ΩR3​ = 20 Ω+−V1​15 VR2​10 ΩAR4​3 ΩB

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R3 + R4 = 20 + 3 = 23 Ω
R2 ∥ 23 = 10·23/(10+23) = 6.97 Ω
Req = R1 + 6.97 = 5 + 6.97 = 11.97 Ω

答案

Req = 11.97 Ω
2.串并联电阻

答案: IR1 = 0.2086 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

R1​ = 30 ΩR3​ = 20 ΩR5​ = 12 Ω+−V1​9 VR2​30 ΩAR4​4 ΩBR6​10 Ω

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R5 + R6 = 12 + 10 = 22 Ω
R4 ∥ 22 = 3.385 Ω
R3 + 3.385 = 23.38 Ω
R2 ∥ 23.38 = 13.14 Ω
Req = R1 + 13.14 = 30 + 13.14 = 43.14 Ω

电源电流

电源只看到 Req，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

IR1 = V1/Req = 9/43.14 = 0.2086 A

答案

IR1 = 0.2086 A
3.节点分析

答案: PIs = 66.29 W

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

节点 A 的 KCL

经电阻流出 A 的电流等于电源注入 A 的电流。

VA/R2 + (VA − V1)/R1 + (VA − VB)/R3 = 0
VA/2 + (VA − 10)/5 + (VA − VB)/3 = 0
1.033·VA − 0.3333·VB = 2

节点 B 的 KCL

经电阻流出 B 的电流等于电源注入 B 的电流。

VB/R4 + (VB − VA)/R3 = Is
VB/5 + (VB − VA)/3 = 5
−0.3333·VA + 0.5333·VB = 5

求解

Δ = (1.033)(0.5333) − (−0.3333)(−0.3333) = 0.44
VA = Δ1/Δ = 2.733/0.44 = 6.212 V
VB = Δ2/Δ = 5.833/0.44 = 13.26 V

电流源输出的功率

电源把 Iₛ 从地（0 V）向上注入节点 B，即升到 VB。电流从其 + 端流出的电源输出功率 P = V·I。

PIs = VB·Is = 13.26·5 = 66.29 W

答案

PIs = 66.29 W
4.节点分析

答案: Ix = −0.9675 A

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

构成超节点

A 与 B 之间的电压源中的电流未知，所以不能分别在 A 或 B 单独列 KCL。把 A、B 和电压源一起包成一个超节点：流入它的电流等于流出它的电流。

VB = VA + 15
(VA − V1)/R1 + VA/R2 + VB/R3 = Is

求解

(VA − 10)/25 + VA/20 + (VA + 15)/6 = 6
VA·(1/25 + 1/20 + 1/6) = 6 + 10/25 − 15/6 = 3.9
VA = 3.9/0.2567 = 15.19 V
VB = 30.19 V

流过电压源的电流

仅在节点 A 列 KCL：经 R₁ 流入的电流从 R₂ 和电压源流出。

IR1 = (10 − 15.19)/25 = −0.2078 A
Ix = IR1 − VA/R2 = −0.2078 − 15.19/20 = −0.9675 A

答案

Ix = −0.9675 A

结果为负表示实际电流与箭头方向相反。

5.戴维南和诺顿

答案: Rth = 8.529 Ω

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 5 ΩR3​ = 5 Ω短路R2​12 ΩAabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 5·12/(5+12) = 3.529 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 3.529 + 5 = 8.529 Ω
6.戴维南和诺顿

答案: Vth = −73.44 V

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 2 ΩR3​ = 20 Ω短路R2​30 ΩA开路BabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 2·30/(2+30) = 1.875 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 1.875 + 20 = 21.88 Ω
R1​ = 2 ΩR3​ = 20 Ω+−V1​15 VR2​30 ΩAIs​4 ABab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 14.06 + (−4)·1.875 = 6.563 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 6.563 + (−4)·20 = −73.44 V
7.RC 和 RL 暂态

答案: vL = 1.652 V

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 68 mH / 15 Ω = 4.533 ms
i(∞) = Vs/R = 15/15 = 1 A

电感电压

t = 0 时全部电源电压加在电感上；之后衰减到零。

vL(t) = Vs·e−t/τ = 15·e−10/4.533 = 1.652 V

答案

vL = 1.652 V
8.RC 和 RL 暂态

答案: vC = 12.04 V

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

初始值、终值、时间常数

电容电压不能突变，所以它从储存值开始，趋向电源电压。

vC(0) = 24 V, vC(∞) = Vs = 9 V
τ = R·C = 10 kΩ · 47 µF = 470 ms
vC(t) = 9 + (24 − 9)·e−t/τ

给定时刻的电压

vC(750) = 9 + (15)·e−750/470 = 12.04 V

答案

vC = 12.04 V
9.交流阻抗和相量

答案: |Z| = 28.59 Ω

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

电抗

XL = ωL = 2π·100·0.15 = 94.25 Ω

支路电流

两条支路都直接接在电源两端，所以每条支路都承受全部电压 V。

IR = V/R = 24/30 = 0.8 A
IX = V/XL = 24/94.25 = 0.2546 A

总电流

电阻电流与 V 同相，电抗电流与 V 相差 90°，所以它们按直角三角形的两边合成。

I = √(IR² + IX²) = √(0.8² + 0.2546²) = 0.8396 A

阻抗

|Z| = V/I = 24/0.8396 = 28.59 Ω

答案

|Z| = 28.59 Ω
10.交流阻抗和相量

答案: I = 3.91 A

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

电抗

ω = 2πf = 2π·50 = 314.2 rad/s
XL = ωL = 314.2·0.2 = 62.83 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(314.2·100·10⁻⁶) = 31.83 Ω

阻抗

串联时阻抗按复数相加：Z = R + j(XL − XC)。

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(50² + (31)²) = 58.83 Ω

电流

串联电路中每个元件流过相同电流。

I = V/|Z| = 230/58.83 = 3.91 A

答案

I = 3.91 A
11.交流功率和功率因数

答案: Q = 2116 var

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

电流

|Z| = √(12² + 9²) = 15 Ω
I = V/|Z| = 230/15 = 15.33 A

无功功率

Q = I²·X = 15.33²·9 = 2116 var

答案

Q = 2116 var
12.交流功率和功率因数

答案: ΔP = 104.7 kW

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

现有负载的无功功率

Q1 = 37·tan(arccos 0.6) = 49.33 kvar

最大总有功功率

满额定时 S = Smax，而电阻性负载不改变 Q。

P = √(Smax² − Q1²) = √(150² − 49.33²) = 141.7 kW

增加的有功功率

ΔP = 141.7 − 37 = 104.7 kW

答案

ΔP = 104.7 kW
13.三相电

答案: IL = 40.6 A

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，VL = √3·Vph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，IL = √3·Iph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。

电输入功率

Pin = Pout/η = 37/0.93 = 39.78 kW

线路电流

IL = Pin/(√3·VL·cos φ) = 39785/(√3·690·0.82) = 40.6 A

答案

IL = 40.6 A
14.三相电

答案: QC = 23.68 kvar

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，VL = √3·Vph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，IL = √3·Iph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。 功率因数校正：电容就地提供无功功率，QC = P·(tan φ1 − tan φ2)。三个电容各提供 QC/3 = V²·ω·C，其中 V 是该电容两端的电压：Δ 联结电容器组为 VL，Y 联结电容器组为 VL/√3。

补偿前后的无功功率

有功功率不变，因此每个功率因数对应确定的无功功率：Q = P·tan φ。

Q1 = 50·tan(acos 0.78) = 50·0.8023 = 40.11 kvar
Q2 = 50·tan(acos 0.95) = 50·0.3287 = 16.43 kvar

电容提供的无功功率

QC = Q1 − Q2 = 23.68 kvar

答案

QC = 23.68 kvar
15.变压器

答案: I1 = 1.2 A

理想变压器：电压之比等于匝数之比，电流之比等于匝数的反比：V₁/V₂ = N₁/N₂ = a，I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a，因此输入功率等于输出功率，V₁·I₁ = V₂·I₂。二次侧的负载阻抗 Z 从一次侧看相当于 a²·Z。

二次电压和电流

V2 = 1200/5 = 240 V
I2 = 240/40 = 6 A

一次电流

理想变压器没有损耗：V₁·I₁ = V₂·I₂。

I1 = I2/5 = 1.2 A

答案

I1 = 1.2 A

验算：从一次侧看负载为 a²·RL = 1000 Ω，1200/1000 得到相同的电流。

16.变压器

答案: Ploss = 268.8 W

变压器损耗：铁损（磁滞和涡流）取决于电压，在任何负载下都相同。绕组中的铜损与电流的平方成正比，因此在额定负载的 x 倍时为 x²·Pcu,fl。效率 η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu)，其中 Pout = x·S·pf。铜损等于铁损时的负载下效率最高。

此负载下的铜损

Pcu = x²·Pcu,fl = 0.5625·300 = 168.8 W

总损耗

铁损在任何负载下都相同。

Ploss = 100 + 168.8 = 268.8 W

答案

Ploss = 268.8 W

此负载下的效率为 η = 98.51%。

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