电工学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

串并联电阻

电阻串联: R_eq = R₁ + R₂ + …
电阻并联: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
两个电阻并联: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
欧姆定律: V = I·R
功率: P = V·I = I²R = V²/R

方法

从离端子最远的网络末端开始。
串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
每一步之后重新画电路。
重复直到端子之间只剩一个电阻。

节点分析

基尔霍夫电流定律: ΣI_in = ΣI_out
支路电流: I = (V_a − V_b)/R
参考节点: V_ground = 0

方法

选定参考节点（地），并标出其他节点电压。
在每个未知节点列基尔霍夫电流定律：流出各支路的电流等于流入的电流。
把每条支路电流表示为 (V_a − V_b)/R。
解方程组，再求出所需的电流。

戴维南和诺顿

戴维南电压: V_th = V_{open circuit}
戴维南电阻: R_th：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流: I_N = V_th/R_th
负载电流: I_L = V_th/(R_th + R_L)
最大功率传输: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

方法

移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
求 a、b 之间的开路电压：这就是 V_th。
将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 R_th。
把负载接回等效电路：V_th 与 R_th 串联。
求诺顿等效电路时进行变换：I_N = V_th/R_th，R_N = R_th 并联。

RC 和 RL 暂态

时间常数: τ = RC | τ = L/R
响应: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流下的电容: 开路；v_C 不能突变
直流下的电感: 短路；i_L 不能突变
稳态: t ≈ 5τ

方法

求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ。

交流阻抗和相量

阻抗: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
角频率: ω = 2πf
模和相角: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
相量形式的欧姆定律: V = I·Z

方法

换算频率：ω = 2πf。
求各电抗：X_L = ωL，X_C = 1/(ωC)。
像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。

交流功率和功率因数

有功功率: P = V·I·cos φ
无功功率: Q = V·I·sin φ
视在功率: S = V·I = √(P² + Q²)
功率因数: pf = cos φ = P/S
补偿电容: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

三相电

Y 联结: V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Δ 联结: V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
总有功功率: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
视在功率和无功功率: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
补偿电容: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
每个电容上的电压: Δ：V_L Y：V_L/√3
电动机输入: P_in = P_out/η

变压器

匝数比: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
电流比: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
额定电流: I = S/V
折算阻抗: Z₁′ = a²·Z_L
部分负载时的铜损: P_cu = x²·P_cu,fl
效率: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
最高效率: x = √(P_core/P_cu,fl)

2练习题

1.串并联电阻中等

求流过 R₂ 的电流 I_R2。

V₁ = 18 VR₁ = 8 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 12 ΩR₄ = 3 Ω

I_R2 = A

2.串并联电阻困难

求电源输出并流过 R₁ 的电流 I_R1。

V₁ = 15 VR₁ = 25 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 5 ΩR₄ = 12 ΩR₅ = 20 ΩR₆ = 30 Ω

I_R1 = A

3.节点分析中等

如图所示，节点 A 与地之间连接了三条支路。用节点分析法求支路 1 中沿箭头方向向上流入节点 A 的电流 I₁。

V₁ = 6 VR₁ = 5 ΩV₂ = 24 VR₂ = 20 ΩV₃ = 15 VR₃ = 5 Ω

I₁ = A

4.节点分析困难

用节点分析法求沿箭头方向流过 R₂ 的电流 I_R2。

V₁ = 30 VI_s = 3 AV₂ = 24 VR₁ = 12 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 2 ΩR₄ = 4 ΩR₅ = 6 Ω

I_R2 = A

5.戴维南和诺顿中等

在 a–b 之间接入负载 R_L = 10 Ω。将电路其余部分替换为戴维南等效电路，求负载电流 I_L。

V₁ = 18 VR₁ = 5 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 15 ΩR_L = 10 Ω

I_L = A

6.戴维南和诺顿困难

求诺顿电流 I_N：端口短路时从 a 流向 b 的电流。

V₁ = 10 VI_s = 5 AR₁ = 5 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 3 Ω

I_N = A

7.RC 和 RL 暂态中等

电感中流过 2.5 A 的稳定电流。在 t = 0 开关使回路经 R 闭合并移除电源，于是电感电流经 R 衰减。求 t = 1 ms 时 R 两端的电压 v_R。

i(0) = 2.5 AR = 47 ΩL = 22 mHt = 1 ms

v_R = V

8.RC 和 RL 暂态困难

开关在 t = 0 闭合前的一瞬间，电容电压为 2 V，极性如图所示。 v_C 需要多长时间达到 15.2 V？求 t。

V_s = 24 VR = 3.3 kΩC = 220 µFv_C(0) = 2 V

t = ms

9.交流阻抗和相量中等

一个电阻和一个电感并联接在 12 V（有效值）、50 Hz 的电源上。求阻抗的模 |Z|。

V = 12 V (rms)f = 50 HzR = 10 ΩL = 50 mH

|Z| = Ω

10.交流阻抗和相量困难

一个串联 RLC 电路接在 10 V（有效值）、200 Hz 的电源上。求电流有效值 I。

V = 10 V (rms)f = 200 HzR = 30 ΩL = 200 mHC = 47 µF

I = A

11.交流功率和功率因数中等

一个阻抗为 Z = 7 + j24 Ω 的负载接在 240 V（有效值）的单相电源上。求它吸收的有功功率 P。

V = 240 VZ = 7 + j24 Ω

P = W

12.交流功率和功率因数困难

一个 10 V（有效值）、1000 Hz 的电源具有内阻抗 Z_s = 2 + j30 Ω。负载阻抗 Z_L 可以自由选择。获得最大功率的负载由一个电阻与一个电容串联构成。求电容 C。

V_s = 10 V (rms)f = 1000 HzZ_s = 2 + j30 Ω

C = µF

13.三相电中等

一个对称三相负载从线电压为 415 V 的电源取用 75 A 的线电流，功率因数为 0.95（滞后）。求负载取用的总有功功率 P，以 kW 计。

V_L = 415 VI_L = 75 Acos φ = 0.95

P = kW

14.三相电困难

一个对称三相负载从 415 V（线电压）、60 Hz 的电源取用 120 kW，功率因数为 0.7（滞后）。与负载并联的三相电容器组须把总功率因数提高到 0.95（滞后）。有功功率保持不变。电容采用 Y 联结。求每个电容的电容量 C_ph，以 µF 计。

P = 120 kWpf₁ = 0.7pf₂ = 0.95V_L = 415 Vf = 60 Hz

C_ph = µF

15.变压器中等

一台单相 500 kVA、11000/400 V 变压器在额定负载下运行，视为理想变压器。求高压绕组中的电流 I_HV。

S = 500 kVAV₁ = 11000 VV₂ = 400 V

I_HV = A

16.变压器困难

一台单相 150 kVA 变压器的铁损为 600 W。在额定负载、功率因数为 0.8（滞后）时，其效率为 96%。求满载铜损 P_cu,fl，以 W 计。

S = 150 kVAP_core = 600 Wpf = 0.8η = 96%

P_cu,fl = W

3溶液

1.串并联电阻

答案: I_R2 = 1.047 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₃ + R₄ = 12 + 3 = 15 Ω

R₂ ∥ 15 = 6·15/(6+15) = 4.286 Ω

R_eq = R₁ + 4.286 = 8 + 4.286 = 12.29 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 18/12.29 = 1.465 A

流过 R₂ 的电流

减去 R₁ 上的压降得到节点 A 的电压，即 R₂ 两端的电压。

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 18 − 1.465·8 = 6.279 V

I_R2 = V_A/R₂ = 6.279/6 = 1.047 A

答案

I_R2 = 1.047 A

2.串并联电阻

答案: I_R1 = 0.4747 A

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₅ + R₆ = 20 + 30 = 50 Ω

R₄ ∥ 50 = 9.677 Ω

R₃ + 9.677 = 14.68 Ω

R₂ ∥ 14.68 = 6.602 Ω

R_eq = R₁ + 6.602 = 25 + 6.602 = 31.6 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 15/31.6 = 0.4747 A

答案

I_R1 = 0.4747 A

3.节点分析

答案: I₁ = 1.467 A

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

节点 A 的 KCL

取底部导线为地。每条支路从 A 流出的电流为 (V_A − V_k)/R_k，其中 V_k 为该支路电源的电压（纯电阻支路为零）。从 A 流出的电流之和为零。

(V_A − 6)/5 + (V_A − 24)/20 + (V_A − (−15))/5 = 0

求 V_A

V_A = (6/5 + 24/20 + (−15)/5) / (1/5 + 1/20 + 1/5) = −0.6/0.45 = −1.333 V

支路电流

箭头沿支路向上，指向节点 A。

I₁ = (6 − V_A)/R₁ = (6 − (−1.333))/5 = 1.467 A

答案

I₁ = 1.467 A

结果为负表示实际电流与箭头方向相反。

4.节点分析

答案: I_R2 = −0.1809 A

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

设定节点

地为底部导线。已知节点电压直接来自电源（V₁ = 30 V, V₂ = 24 V）。未知量：V_A, V_B。

节点 A 的 KCL

经电阻流出 A 的电流等于电源注入 A 的电流。

V_A/R₃ + (V_A − V₁)/R₁ + (V_A − V_B)/R₂ = 0

V_A/2 + (V_A − 30)/12 + (V_A − V_B)/12 = 0

0.6667·V_A − 0.08333·V_B = 2.5

节点 B 的 KCL

经电阻流出 B 的电流等于电源注入 B 的电流。

V_B/R₅ + (V_B − V_A)/R₂ + (V_B − V₂)/R₄ = I_s

V_B/6 + (V_B − V_A)/12 + (V_B − 24)/4 = (−3)

−0.08333·V_A + 0.5·V_B = 3

求解

Δ = (0.6667)(0.5) − (−0.08333)(−0.08333) = 0.3264

V_A = Δ₁/Δ = 1.5/0.3264 = 4.596 V

V_B = Δ₂/Δ = 2.208/0.3264 = 6.766 V

答案

I_R2 = (V_A − V_B)/R₂ = (4.596 − 6.766)/12 = −0.1809 A

5.戴维南和诺顿

答案: I_L = 0.4454 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 5·12/(5+12) = 3.529 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 3.529 + 15 = 18.53 Ω

求开路电压 V_th

a–b 开路时 R₃ 中没有电流，因此其上无压降，V_b = V_A。R₁ 和 R₂ 构成分压电路。

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 18·12/(5+12) = 12.71 V

将负载接到戴维南等效电路上

戴维南电源与串联的 R_th 在 a–b 处的表现与原电路完全相同，因此负载看到的是一个简单串联回路。

I_L = V_th/(R_th + R_L) = 12.71/(18.53 + 10) = 0.4454 A

6.戴维南和诺顿

答案: I_N = −3.889 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 5·15/(5+15) = 3.75 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 3.75 + 3 = 6.75 Ω

求开路电压 V_th

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 7.5 + (−5)·3.75 = −11.25 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = −11.25 + (−5)·3 = −26.25 V

诺顿等效

诺顿电源是同一电路看作与 R_th 并联的电流源。其电流就是 a–b 的短路电流。

I_N = V_th/R_th = −26.25/6.75 = −3.889 A

7.RC 和 RL 暂态

答案: v_R = 13.87 V

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数

τ = L/R = 22 mH / 47 Ω = 0.4681 ms

电流的衰减

i(t) = 2.5·e^−1/0.4681 = 0.2952 A

v_R = R·i = 47·0.2952 = 13.87 V

答案

v_R = 13.87 V

8.RC 和 RL 暂态

答案: t = 665.2 ms

初始值、终值、时间常数

电容电压不能突变，所以它从储存值开始，趋向电源电压。

v_C(0) = 2 V, v_C(∞) = V_s = 24 V

τ = R·C = 3.3 kΩ · 220 µF = 726 ms

v_C(t) = 24 + (2 − 24)·e^−t/τ

求解时间

15.2 = 24 + (−22)·e^−t/τ → e^−t/τ = (15.2 − 24)/(2 − 24) = 0.4

t = τ·ln((2 − 24)/(15.2 − 24)) = 726·ln(2.5) = 665.2 ms

答案

t = 665.2 ms

9.交流阻抗和相量

答案: |Z| = 8.436 Ω

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

电抗

X_L = ωL = 2π·50·0.05 = 15.71 Ω

支路电流

两条支路都直接接在电源两端，所以每条支路都承受全部电压 V。

I_R = V/R = 12/10 = 1.2 A

I_X = V/X_L = 12/15.71 = 0.7639 A

总电流

电阻电流与 V 同相，电抗电流与 V 相差 90°，所以它们按直角三角形的两边合成。

I = √(I_R² + I_X²) = √(1.2² + 0.7639²) = 1.423 A

阻抗

|Z| = V/I = 12/1.423 = 8.436 Ω

答案

|Z| = 8.436 Ω

10.交流阻抗和相量

答案: I = 0.04232 A

电抗

ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s

X_L = ωL = 1257·0.2 = 251.3 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(1257·47·10⁻⁶) = 16.93 Ω

阻抗

串联时阻抗按复数相加：Z = R + j(X_L − X_C)。

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(30² + (234.4)²) = 236.3 Ω

电流

串联电路中每个元件流过相同电流。

I = V/|Z| = 10/236.3 = 0.04232 A

答案

I = 0.04232 A

11.交流功率和功率因数

答案: P = 645.1 W

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

电流

|Z| = √(7² + 24²) = 25 Ω

I = V/|Z| = 240/25 = 9.6 A

有功功率

P = I²·R = 9.6²·7 = 645.1 W

答案

P = 645.1 W

12.交流功率和功率因数

答案: C = 5.305 µF

共轭匹配

负载电抗抵消电源电抗，负载电阻等于电源电阻。

Z_L = Z_s* = 2 − j30 Ω

电容

X_C = 30 Ω → C = 1/(2π·1000·30) = 5.305 µF

答案

C = 5.305 µF

13.三相电

答案: P = 51.21 kW

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，V_L = √3·V_ph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，I_L = √3·I_ph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ。

视在功率

S = √3·V_L·I_L = √3·415·75 = 53.91 kVA

有功功率

P = S·cos φ = 53.91·0.95 = 51.21 kW

答案

P = 51.21 kW

14.三相电

答案: C_ph = 1278 µF

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，V_L = √3·V_ph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，I_L = √3·I_ph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ。 功率因数校正：电容就地提供无功功率，Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂)。三个电容各提供 Q_C/3 = V²·ω·C，其中 V 是该电容两端的电压：Δ 联结电容器组为 V_L，Y 联结电容器组为 V_L/√3。

补偿前后的无功功率

有功功率不变，因此每个功率因数对应确定的无功功率：Q = P·tan φ。

Q₁ = 120·tan(acos 0.7) = 120·1.02 = 122.4 kvar

Q₂ = 120·tan(acos 0.95) = 120·0.3287 = 39.44 kvar

电容提供的无功功率

Q_C = Q₁ − Q₂ = 82.98 kvar

每相电容

在 Y 联结电容器组中，每个电容接在一根相线和星点之间。

V = 415/√3 = 239.6 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 27661/(377·239.6²) = 1278 µF

答案

C_ph = 1278 µF

15.变压器

答案: I_HV = 45.45 A

理想变压器：电压之比等于匝数之比，电流之比等于匝数的反比：V₁/V₂ = N₁/N₂ = a，I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a，因此输入功率等于输出功率，V₁·I₁ = V₂·I₂。二次侧的负载阻抗 Z 从一次侧看相当于 a²·Z。

额定电流

两个绕组传输相同的视在功率。

I_HV = S/V = 500000/11000 = 45.45 A

答案

I_HV = 45.45 A

16.变压器

答案: P_cu,fl = 4400 W

变压器损耗：铁损（磁滞和涡流）取决于电压，在任何负载下都相同。绕组中的铜损与电流的平方成正比，因此在额定负载的 x 倍时为 x²·P_cu,fl。效率 η = P_out/(P_out + P_core + P_cu)，其中 P_out = x·S·pf。铜损等于铁损时的负载下效率最高。

输出功率和输入功率

P_out = 150·0.8 = 120 kW

P_in = 120000/0.96 = 125000 W

总损耗和铜损

P_loss = 125000 − 120000 = 5000 W

P_cu,fl = 5000 − 600 = 4400 W

答案

P_cu,fl = 4400 W

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电工学：速成包

1公式与方法

串并联电阻

方法

节点分析

方法

戴维南和诺顿

方法

RC 和 RL 暂态

方法

交流阻抗和相量

方法

交流功率和功率因数

三相电

变压器

2练习题

3溶液

从远端开始合并电阻

电源电流

流过 R₂ 的电流

答案

从远端开始合并电阻

电源电流

答案

节点 A 的 KCL

求 VA

支路电流

答案

设定节点

节点 A 的 KCL

节点 B 的 KCL

求解

答案

将所有电源置零，求 Rth

求开路电压 Vth

将负载接到戴维南等效电路上

将所有电源置零，求 Rth

求开路电压 Vth

诺顿等效

时间常数

电流的衰减

答案

初始值、终值、时间常数

求解时间

答案

电抗

支路电流

总电流

阻抗

答案

电抗

阻抗

电流

答案

电流

有功功率

答案

共轭匹配

电容

答案

视在功率

有功功率

答案

补偿前后的无功功率

电容提供的无功功率

每相电容

答案

额定电流

答案

输出功率和输入功率

总损耗和铜损

答案

求 V_A

将所有电源置零，求 R_th

求开路电压 V_th

将所有电源置零，求 R_th

求开路电压 V_th