电工学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

串并联电阻

电阻串联
Req = R1 + R2 + …
电阻并联
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
两个电阻并联
Req = R1R2 / (R1 + R2)
欧姆定律
V = I·R
功率
P = V·I = I²R = V²/R

方法

  1. 从离端子最远的网络末端开始。
  2. 串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. 每一步之后重新画电路。
  4. 重复直到端子之间只剩一个电阻。

节点分析

基尔霍夫电流定律
ΣIin = ΣIout
支路电流
I = (Va − Vb)/R
参考节点
Vground = 0

方法

  1. 选定参考节点（地），并标出其他节点电压。
  2. 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律：流出各支路的电流等于流入的电流。
  3. 把每条支路电流表示为 (Va − Vb)/R。
  4. 解方程组，再求出所需的电流。

戴维南和诺顿

戴维南电压
Vth = Vopen circuit
戴维南电阻
Rth：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流
IN = Vth/Rth
负载电流
IL = Vth/(Rth + RL)
最大功率传输
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

方法

  1. 移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
  2. 求 a、b 之间的开路电压：这就是 Vth。
  3. 将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 Rth。
  4. 把负载接回等效电路：Vth 与 Rth 串联。
  5. 求诺顿等效电路时进行变换：IN = Vth/Rth，RN = Rth 并联。

RC 和 RL 暂态

时间常数
τ = RC | τ = L/R
响应
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
直流下的电容
开路；vC 不能突变
直流下的电感
短路；iL 不能突变
稳态
t ≈ 5τ

方法

  1. 求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
  2. 求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
  3. 求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
  4. 使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ。

交流阻抗和相量

阻抗
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
角频率
ω = 2πf
模和相角
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
相量形式的欧姆定律
V = I·Z

方法

  1. 换算频率：ω = 2πf。
  2. 求各电抗：XL = ωL，XC = 1/(ωC)。
  3. 像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
  4. 求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。

交流功率和功率因数

有功功率
P = V·I·cos φ
无功功率
Q = V·I·sin φ
视在功率
S = V·I = √(P² + Q²)
功率因数
pf = cos φ = P/S
补偿电容
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

三相电

Y 联结
VL = √3·Vph, IL = Iph
Δ 联结
VL = Vph, IL = √3·Iph
总有功功率
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
视在功率和无功功率
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
补偿电容
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
每个电容上的电压
Δ：VL Y：VL/√3
电动机输入
Pin = Pout/η

变压器

匝数比
a = N1/N2 = V1/V2
电流比
I1/I2 = N2/N1 = 1/a
额定电流
I = S/V
折算阻抗
Z1′ = a²·ZL
部分负载时的铜损
Pcu = x²·Pcu,fl
效率
η = x·S·pf/(x·S·pf + Pcore + x²·Pcu,fl)
最高效率
x = √(Pcore/Pcu,fl)

2练习题

1.串并联电阻中等
R1​ = 15 ΩIR1​R3​ = 3 Ω+−V1​30 VR2​4 ΩAR4​4 ΩB

求电源输出并流过 R1 的电流 IR1。

V1 = 30 VR1 = 15 ΩR2 = 4 ΩR3 = 3 ΩR4 = 4 Ω
IR1 = A
2.串并联电阻困难
R1​ = 2 ΩIR1​R3​ = 15 ΩR5​ = 20 Ω+−V1​30 VR2​8 ΩAR4​6 ΩBR6​5 Ω

求电源输出并流过 R1 的电流 IR1。

V1 = 30 VR1 = 2 ΩR2 = 8 ΩR3 = 15 ΩR4 = 6 ΩR5 = 20 ΩR6 = 5 Ω
IR1 = A
3.节点分析中等
−+Vs​ = 5 VIx​Is​5 AAR1​20 ΩR2​4 ΩB

A 与 B 之间的电压源 Vₛ 的 + 端在 B，所以它使 VB − VA = Vₛ。 用含超节点的节点分析法求流过电压源的电流 Ix，方向如箭头所示从 A 到 B。

Is = 5 AVs = 5 VR1 = 20 ΩR2 = 4 Ω
Ix = A
4.节点分析困难
R1​ = 30 ΩR3​ = 8 Ω+−V1​15 VR2​3 ΩAR4​20 ΩIR4​B0.4·VA​

菱形符号是一个电压控制电流源，它向上注入节点 B 的电流为 0.4·VA（单位 A，VA 单位为 V）。用节点分析法求 沿箭头方向流过 R4 的电流 IR4。

V1 = 15 VR1 = 30 ΩR2 = 3 ΩR3 = 8 ΩR4 = 20 Ωg = 0.4 A/V
IR4 = A
5.戴维南和诺顿中等
R1​ = 3 ΩR3​ = 8 Ω+−V1​6 VR2​4 ΩAab

求诺顿电流 IN：端口短路时从 a 流向 b 的电流。

V1 = 6 VR1 = 3 ΩR2 = 4 ΩR3 = 8 Ω
IN = A
6.戴维南和诺顿困难
R1​ = 30 ΩR3​ = 4 Ω+−V1​30 VR2​6 ΩAIs​5 ABab

求从端口 a–b 看进去的戴维南电压 Vth。

V1 = 30 VIs = 5 AR1 = 30 ΩR2 = 6 ΩR3 = 4 Ω
Vth = V
7.RC 和 RL 暂态中等
+−Vs​5 Vt = 0R = 22 ΩL150 mHi(t)

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。 求 t = 10 ms 时的电流 i。

Vs = 5 VR = 22 ΩL = 150 mHt = 10 ms
i = A
8.RC 和 RL 暂态困难
+−Vs​10 Vt = 0R = 4.7 kΩC68 µF+−vC​vC​(0) = 18 V

开关在 t = 0 闭合前的一瞬间，电容电压为 18 V，极性如图所示。 vC 需要多长时间达到 14 V？求 t。

Vs = 10 VR = 4.7 kΩC = 68 µFvC(0) = 18 V
t = ms
9.交流阻抗和相量中等
24 V500 HzR = 25 ΩL = 50 mHC = 2.2 µFI

一个串联 RLC 电路接在 24 V（有效值）、500 Hz 的电源上。 求电流有效值 I。

V = 24 V (rms)f = 500 HzR = 25 ΩL = 50 mHC = 2.2 µF
I = A
10.交流阻抗和相量困难
24 Vf0​R = 10 ΩL = 5 mHC = 0.1 µF

一个 RLC 串联电路由 24 V（有效值）的电源驱动，电源频率设为电路的谐振频率。求电感两端的电压有效值 VL。

V = 24 V (rms)R = 10 ΩL = 5 mHC = 0.1 µF
VL = V
11.交流功率和功率因数中等
P = 39 kWQSφ

一台单相电动机从 400 V 电源吸取 39 kW，功率因数为 0.7（滞后）。 求线路电流 I。

P = 39 kWpf = 0.7V = 400 V
I = A
12.交流功率和功率因数困难
P = 25 kWQ1​S1​φ1​QC​

一个单相负载从 230 V、50 Hz 电源吸取 25 kW，功率因数为 0.75（滞后）。并联一个电容将功率因数提高到 0.98。 求所需电容 C。

P = 25 kWpf1 = 0.75pf2 = 0.98V = 230 Vf = 50 Hz
C = µF
13.三相电中等
ABCVL​ = 415 VIL​ = ?M45 kW, η = 90%cos φ = 0.9

一台三相感应电动机满载时输出机械功率 45 kW。此负载下其效率为 90%，功率因数为 0.9（滞后）。电源线电压为 415 V。求线电流 IL。

Pout = 45 kWη = 90%cos φ = 0.9VL = 415 V
IL = A
14.三相电困难
P = 150 kWφ1​S1​Q2​QC​ = ?

一个对称三相负载从 415 V（线电压）、60 Hz 的电源取用 150 kW，功率因数为 0.8（滞后）。与负载并联的三相电容器组须把总功率因数提高到 0.9（滞后）。有功功率保持不变。 求电容器组须提供的总无功功率 QC，以 kvar 计。

P = 150 kWpf1 = 0.8pf2 = 0.9VL = 415 Vf = 60 Hz
QC = kvar
15.变压器中等
2 ΩN1​N2​128 Ω

一台输出电阻为 128 Ω 的放大器通过理想变压器驱动一个 2 Ω 的扬声器。为实现最大功率传输，从放大器看扬声器须相当于 128 Ω。求匝数比 a = N₁/N₂。

Rs = 128 ΩRL = 2 Ω
a =
16.变压器困难
pf 0.85250 kVA, η = 98.8%

一台单相 250 kVA 变压器的铁损为 1500 W。 在额定负载、功率因数为 0.85（滞后）时，其效率为 98.8%。求满载铜损 Pcu,fl，以 W 计。

S = 250 kVAPcore = 1500 Wpf = 0.85η = 98.8%
Pcu,fl = W

3溶液

1.串并联电阻

答案: IR1 = 1.71 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

R1​ = 15 ΩR3​ = 3 Ω+−V1​30 VR2​4 ΩAR4​4 ΩB

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R3 + R4 = 3 + 4 = 7 Ω
R2 ∥ 7 = 4·7/(4+7) = 2.545 Ω
Req = R1 + 2.545 = 15 + 2.545 = 17.55 Ω

电源电流

电源只看到 Req，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

IR1 = V1/Req = 30/17.55 = 1.71 A

答案

IR1 = 1.71 A
2.串并联电阻

答案: IR1 = 3.896 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

R1​ = 2 ΩR3​ = 15 ΩR5​ = 20 Ω+−V1​30 VR2​8 ΩAR4​6 ΩBR6​5 Ω

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R5 + R6 = 20 + 5 = 25 Ω
R4 ∥ 25 = 4.839 Ω
R3 + 4.839 = 19.84 Ω
R2 ∥ 19.84 = 5.701 Ω
Req = R1 + 5.701 = 2 + 5.701 = 7.701 Ω

电源电流

电源只看到 Req，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

IR1 = V1/Req = 30/7.701 = 3.896 A

答案

IR1 = 3.896 A
3.节点分析

答案: Ix = 4.375 A

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

构成超节点

A 与 B 之间的电压源中的电流未知，所以不能分别在 A 或 B 单独列 KCL。把 A、B 和电压源一起包成一个超节点：流入它的电流等于流出它的电流。

VB = VA + Vs = VA + 5
VA/R1 + VB/R2 = Is

求解

VA/20 + (VA + 5)/4 = 5
VA = (5 − 5/4)/(1/20 + 1/4) = 12.5 V
VB = 12.5 + 5 = 17.5 V

流过电压源的电流

从 A 经电压源流到 B 的全部电流都经 R₂ 离开节点 B。

Ix = VB/R2 = 17.5/4 = 4.375 A

答案

Ix = 4.375 A

结果为负表示实际电流与箭头方向相反。

4.节点分析

答案: IR4 = 0.6429 A

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

节点 A 的 KCL

经电阻从 A 流出的电流等于电源注入 A 的电流。

(VA − V1)/R1 + VA/R2 + (VA − VB)/R3 = 0
0.4917·VA − 0.125·VB = 0.5

节点 B 的 KCL

受控源向节点 B 注入 g·VA。把它当作独立源处理，然后把含 VA 的项移到左边。

(VB − VA)/R3 + VB/R4 = 0.4·VA
−0.525·VA + 0.175·VB = 0

求解

Δ = (0.4917)(0.175) − (−0.125)(−0.525) = 0.02042
VA = Δ1/Δ = 0.0875/0.02042 = 4.286 V
VB = Δ2/Δ = 0.2625/0.02042 = 12.86 V

流过 R₄ 的电流

IR4 = VB/R4 = 12.86/20 = 0.6429 A

答案

IR4 = 0.6429 A
5.戴维南和诺顿

答案: IN = 0.3529 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 3 ΩR3​ = 8 Ω短路R2​4 ΩAabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 3·4/(3+4) = 1.714 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 1.714 + 8 = 9.714 Ω
R1​ = 3 ΩR3​ = 8 Ω+−V1​6 VR2​4 ΩAab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时 R₃ 中没有电流，因此其上无压降，V_b = V_A。R₁ 和 R₂ 构成分压电路。

Vth = V1·R2/(R1+R2) = 6·4/(3+4) = 3.429 V
IN​0.3529 ARth​9.714 Ωab

诺顿等效

诺顿电源是同一电路看作与 R_th 并联的电流源。其电流就是 a–b 的短路电流。

IN = Vth/Rth = 3.429/9.714 = 0.3529 A
6.戴维南和诺顿

答案: Vth = 50 V

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 30 ΩR3​ = 4 Ω短路R2​6 ΩA开路BabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 30·6/(30+6) = 5 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 5 + 4 = 9 Ω
R1​ = 30 ΩR3​ = 4 Ω+−V1​30 VR2​6 ΩAIs​5 ABab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 5 + 5·5 = 30 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 30 + 5·4 = 50 V
7.RC 和 RL 暂态

答案: i = 0.1748 A

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 150 mH / 22 Ω = 6.818 ms
i(∞) = Vs/R = 5/22 = 0.2273 A

给定时刻的电流

i(t) = i(∞)·(1 − e−t/τ) = 0.2273·(1 − e−10/6.818) = 0.1748 A

答案

i = 0.1748 A
8.RC 和 RL 暂态

答案: t = 221.5 ms

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

初始值、终值、时间常数

电容电压不能突变，所以它从储存值开始，趋向电源电压。

vC(0) = 18 V, vC(∞) = Vs = 10 V
τ = R·C = 4.7 kΩ · 68 µF = 319.6 ms
vC(t) = 10 + (18 − 10)·e−t/τ

求解时间

14 = 10 + (8)·e−t/τ → e−t/τ = (14 − 10)/(18 − 10) = 0.5
t = τ·ln((18 − 10)/(14 − 10)) = 319.6·ln(2) = 221.5 ms

答案

t = 221.5 ms
9.交流阻抗和相量

答案: I = 0.8601 A

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

电抗

ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s
XL = ωL = 3142·0.05 = 157.1 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(3142·2.2·10⁻⁶) = 144.7 Ω

阻抗

串联时阻抗按复数相加：Z = R + j(XL − XC)。

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(25² + (12.39)²) = 27.9 Ω

电流

串联电路中每个元件流过相同电流。

I = V/|Z| = 24/27.9 = 0.8601 A

答案

I = 0.8601 A
10.交流阻抗和相量

答案: VL = 536.7 V

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

谐振

谐振时电抗相互抵消，所以阻抗就是 R。

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0.005·0.1·10⁻⁶) = 44721 rad/s
I = V/R = 24/10 = 2.4 A

电感两端的电压

XL = ω₀L = 44721·0.005 = 223.6 Ω
VL = I·XL = 2.4·223.6 = 536.7 V

答案

VL = 536.7 V

这是电源电压的 Q = 22.36 倍。

11.交流功率和功率因数

答案: I = 139.3 A

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

线路电流

只有有功部分做功，所以要除以功率因数。

I = P/(V·cos φ) = 39000/(400·0.7) = 139.3 A

答案

I = 139.3 A
12.交流功率和功率因数

答案: C = 1021 µF

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

补偿前后的无功功率

有功功率 P 不变；改变的只是从电源吸取的无功功率。

Q1 = P·tan φ1 = 25·tan(41.41°) = 22.05 kvar
Q2 = P·tan φ2 = 25·tan(11.48°) = 5.076 kvar
QC = Q1 − Q2 = 16.97 kvar

电容

并联在电源两端的电容提供 Q = V²·ωC。

C = QC/(2πf·V²) = 16971/(2π·50·230²) = 1021 µF

答案

C = 1021 µF
13.三相电

答案: IL = 77.29 A

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，VL = √3·Vph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，IL = √3·Iph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。

电输入功率

Pin = Pout/η = 45/0.9 = 50 kW

线路电流

IL = Pin/(√3·VL·cos φ) = 50000/(√3·415·0.9) = 77.29 A

答案

IL = 77.29 A
14.三相电

答案: QC = 39.85 kvar

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，VL = √3·Vph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，IL = √3·Iph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。 功率因数校正：电容就地提供无功功率，QC = P·(tan φ1 − tan φ2)。三个电容各提供 QC/3 = V²·ω·C，其中 V 是该电容两端的电压：Δ 联结电容器组为 VL，Y 联结电容器组为 VL/√3。

补偿前后的无功功率

有功功率不变，因此每个功率因数对应确定的无功功率：Q = P·tan φ。

Q1 = 150·tan(acos 0.8) = 150·0.75 = 112.5 kvar
Q2 = 150·tan(acos 0.9) = 150·0.4843 = 72.65 kvar

电容提供的无功功率

QC = Q1 − Q2 = 39.85 kvar

答案

QC = 39.85 kvar
15.变压器

答案: a = 8

理想变压器：电压之比等于匝数之比，电流之比等于匝数的反比：V₁/V₂ = N₁/N₂ = a，I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a，因此输入功率等于输出功率，V₁·I₁ = V₂·I₂。二次侧的负载阻抗 Z 从一次侧看相当于 a²·Z。

匹配折算负载

a²·2 = 128
a = √(128/2) = √64 = 8

答案

a = 8
16.变压器

答案: Pcu,fl = 1081 W

变压器损耗：铁损（磁滞和涡流）取决于电压，在任何负载下都相同。绕组中的铜损与电流的平方成正比，因此在额定负载的 x 倍时为 x²·Pcu,fl。效率 η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu)，其中 Pout = x·S·pf。铜损等于铁损时的负载下效率最高。

输出功率和输入功率

Pout = 250·0.85 = 212.5 kW
Pin = 212500/0.988 = 215081 W

总损耗和铜损

Ploss = 215081 − 212500 = 2581 W
Pcu,fl = 2581 − 1500 = 1081 W

答案

Pcu,fl = 1081 W

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