电工学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

串并联电阻

电阻串联
Req = R1 + R2 + …
电阻并联
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
两个电阻并联
Req = R1R2 / (R1 + R2)
欧姆定律
V = I·R
功率
P = V·I = I²R = V²/R

方法

  1. 从离端子最远的网络末端开始。
  2. 串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. 每一步之后重新画电路。
  4. 重复直到端子之间只剩一个电阻。

节点分析

基尔霍夫电流定律
ΣIin = ΣIout
支路电流
I = (Va − Vb)/R
参考节点
Vground = 0

方法

  1. 选定参考节点（地），并标出其他节点电压。
  2. 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律：流出各支路的电流等于流入的电流。
  3. 把每条支路电流表示为 (Va − Vb)/R。
  4. 解方程组，再求出所需的电流。

戴维南和诺顿

戴维南电压
Vth = Vopen circuit
戴维南电阻
Rth：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流
IN = Vth/Rth
负载电流
IL = Vth/(Rth + RL)
最大功率传输
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

方法

  1. 移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
  2. 求 a、b 之间的开路电压：这就是 Vth。
  3. 将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 Rth。
  4. 把负载接回等效电路：Vth 与 Rth 串联。
  5. 求诺顿等效电路时进行变换：IN = Vth/Rth，RN = Rth 并联。

RC 和 RL 暂态

时间常数
τ = RC | τ = L/R
响应
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
直流下的电容
开路；vC 不能突变
直流下的电感
短路；iL 不能突变
稳态
t ≈ 5τ

方法

  1. 求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
  2. 求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
  3. 求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
  4. 使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ。

交流阻抗和相量

阻抗
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
角频率
ω = 2πf
模和相角
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
相量形式的欧姆定律
V = I·Z

方法

  1. 换算频率：ω = 2πf。
  2. 求各电抗：XL = ωL，XC = 1/(ωC)。
  3. 像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
  4. 求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。

交流功率和功率因数

有功功率
P = V·I·cos φ
无功功率
Q = V·I·sin φ
视在功率
S = V·I = √(P² + Q²)
功率因数
pf = cos φ = P/S
补偿电容
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

三相电

Y 联结
VL = √3·Vph, IL = Iph
Δ 联结
VL = Vph, IL = √3·Iph
总有功功率
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
视在功率和无功功率
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
补偿电容
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
每个电容上的电压
Δ：VL Y：VL/√3
电动机输入
Pin = Pout/η

变压器

匝数比
a = N1/N2 = V1/V2
电流比
I1/I2 = N2/N1 = 1/a
额定电流
I = S/V
折算阻抗
Z1′ = a²·ZL
部分负载时的铜损
Pcu = x²·Pcu,fl
效率
η = x·S·pf/(x·S·pf + Pcore + x²·Pcu,fl)
最高效率
x = √(Pcore/Pcu,fl)

2练习题

1.串并联电阻中等
R1​ = 5 ΩR3​ = 12 Ω+−V1​15 VR2​10 ΩAR4​6 ΩB

求电源 V1 看到的等效电阻 Req。

V1 = 15 VR1 = 5 ΩR2 = 10 ΩR3 = 12 ΩR4 = 6 Ω
Req = Ω
2.串并联电阻困难
R1​ = 8 ΩR3​ = 30 ΩR5​ = 6 Ω+−V1​30 VR2​20 ΩAR4​30 ΩBR6​12 Ω

求电源 V1 看到的等效电阻 Req。

V1 = 30 VR1 = 8 ΩR2 = 20 ΩR3 = 30 ΩR4 = 30 ΩR5 = 6 ΩR6 = 12 Ω
Req = Ω
3.节点分析中等
−+Vs​ = 5 VIx​Is​3 AAR1​8 ΩR2​5 ΩB

A 与 B 之间的电压源 Vₛ 的 + 端在 B，所以它使 VB − VA = Vₛ。 用含超节点的节点分析法求流过电压源的电流 Ix，方向如箭头所示从 A 到 B。

Is = 3 AVs = 5 VR1 = 8 ΩR2 = 5 Ω
Ix = A
4.节点分析困难
R1​ = 2 ΩR3​ = 3 Ω+−V1​10 VR2​15 ΩAR4​10 ΩBIs​?

调节电流源，使节点 A 的电压为 VA = 14 V。用节点分析法求电源电流 Is（方向如图所示）。

V1 = 10 VR1 = 2 ΩR2 = 15 ΩR3 = 3 ΩR4 = 10 ΩVA = 14 V
Is = A
5.戴维南和诺顿中等
R1​ = 10 ΩR3​ = 6 Ω+−V1​24 VR2​10 ΩAab

求从端口 a–b 看进去的戴维南电阻 Rth。

V1 = 24 VR1 = 10 ΩR2 = 10 ΩR3 = 6 Ω
Rth = Ω
6.戴维南和诺顿困难
R1​ = 25 ΩR3​ = 6 Ω+−V1​9 VR2​30 ΩAIs​3 ABRL​15 ΩIL​

在 a–b 之间接入负载 RL = 15 Ω。将电路其余部分替换为戴维南等效电路，求负载电流 IL。

V1 = 9 VIs = 3 AR1 = 25 ΩR2 = 30 ΩR3 = 6 ΩRL = 15 Ω
IL = A
7.RC 和 RL 暂态中等
R = 47 Ωt = 0L220 mHi(t)

电感中流过 3 A 的稳定电流。在 t = 0 开关使回路经 R 闭合并移除电源，于是电感电流经 R 衰减。 求 t = 10 ms 时的电流 i。

i(0) = 3 AR = 47 ΩL = 220 mHt = 10 ms
i = A
8.RC 和 RL 暂态困难
+−Vs​9 VR1​ = 20 ΩR2​ = 5 Ω在 t = 0 断开L220 mHi(t)

跨接在 R2 两端的开关已闭合很长时间，所以电感电流是稳定的。在 t = 0 开关断开。 求 t = 20 ms 时的电感电流 i。

Vs = 9 VR1 = 20 ΩR2 = 5 ΩL = 220 mHt = 20 ms
i = A
9.交流阻抗和相量中等
120 V500 HzR = 80 ΩL = 150 mHC = 47 µFI

一个串联 RLC 电路接在 120 V（有效值）、500 Hz 的电源上。 求电路的功率因数 cos φ。

V = 120 V (rms)f = 500 HzR = 80 ΩL = 150 mHC = 47 µF
cos φ =
10.交流阻抗和相量困难
230 V60 HzR = 50 ΩL = 200 mHC = 22 µF+−VC​

一个串联 RLC 电路接在 230 V（有效值）、60 Hz 的电源上。 求电容两端电压的有效值 VC。

V = 230 V (rms)f = 60 HzR = 50 ΩL = 200 mHC = 22 µF
VC = V
11.交流功率和功率因数中等
230 VR + jXP = 1380 W7.5 A

一个感性负载从 230 V（有效值）的单相电源吸取 7.5 A 和 1380 W。把它建模为电阻 R 与电抗 X 串联。 求 X。

V = 230 VI = 7.5 AP = 1380 W
X = Ω
12.交流功率和功率因数困难
P = 40 kWQ1​S1​φ1​QC​

一个单相负载从 400 V、60 Hz 电源吸取 40 kW，功率因数为 0.7（滞后）。并联一个电容将功率因数提高到 0.98。 求电容需提供的无功功率 QC。

P = 40 kWpf1 = 0.7pf2 = 0.98V = 400 Vf = 60 Hz
QC = kvar
13.三相电中等
ABCVL​ = 480 VIL​ = 10 Acos φ = 0.7滞后

一个对称三相负载从线电压为 480 V 的电源取用 10 A 的线电流，功率因数为 0.7（滞后）。求负载取用的总有功功率 P，以 kW 计。

VL = 480 VIL = 10 Acos φ = 0.7
P = kW
14.三相电困难
P = 120 kWφ1​S1​Q2​QC​

一个对称三相负载从 400 V（线电压）、50 Hz 的电源取用 120 kW，功率因数为 0.65（滞后）。与负载并联的三相电容器组须把总功率因数提高到 0.95（滞后）。有功功率保持不变。 电容采用 Δ 联结。求每个电容的电容量 Cph，以 µF 计。

P = 120 kWpf1 = 0.65pf2 = 0.95VL = 400 Vf = 50 Hz
Cph = µF
15.变压器中等
480 V240 VIHV​ILV​ = ?75 kVA

一台单相 75 kVA、480/240 V 变压器在额定负载下运行，视为理想变压器。求低压绕组中的电流 ILV。

S = 75 kVAV1 = 480 VV2 = 240 V
ILV = A
16.变压器困难
pf 0.875 kVA, η = 97.5%

一台单相 75 kVA 变压器的铁损为 450 W。 在额定负载、功率因数为 0.8（滞后）时，其效率为 97.5%。求满载铜损 Pcu,fl，以 W 计。

S = 75 kVAPcore = 450 Wpf = 0.8η = 97.5%
Pcu,fl = W

3溶液

1.串并联电阻

答案: Req = 11.43 Ω

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

R1​ = 5 ΩR3​ = 12 Ω+−V1​15 VR2​10 ΩAR4​6 ΩB

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R3 + R4 = 12 + 6 = 18 Ω
R2 ∥ 18 = 10·18/(10+18) = 6.429 Ω
Req = R1 + 6.429 = 5 + 6.429 = 11.43 Ω

答案

Req = 11.43 Ω
2.串并联电阻

答案: Req = 21.47 Ω

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

R1​ = 8 ΩR3​ = 30 ΩR5​ = 6 Ω+−V1​30 VR2​20 ΩAR4​30 ΩBR6​12 Ω

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R5 + R6 = 6 + 12 = 18 Ω
R4 ∥ 18 = 11.25 Ω
R3 + 11.25 = 41.25 Ω
R2 ∥ 41.25 = 13.47 Ω
Req = R1 + 13.47 = 8 + 13.47 = 21.47 Ω

答案

Req = 21.47 Ω
3.节点分析

答案: Ix = 2.231 A

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

构成超节点

A 与 B 之间的电压源中的电流未知，所以不能分别在 A 或 B 单独列 KCL。把 A、B 和电压源一起包成一个超节点：流入它的电流等于流出它的电流。

VB = VA + Vs = VA + 5
VA/R1 + VB/R2 = Is

求解

VA/8 + (VA + 5)/5 = 3
VA = (3 − 5/5)/(1/8 + 1/5) = 6.154 V
VB = 6.154 + 5 = 11.15 V

流过电压源的电流

从 A 经电压源流到 B 的全部电流都经 R₂ 离开节点 B。

Ix = VB/R2 = 11.15/5 = 2.231 A

答案

Ix = 2.231 A

结果为负表示实际电流与箭头方向相反。

4.节点分析

答案: Is = 5.213 A

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

节点 A 的 KCL

VA 已知，所以这个方程给出 VB。

(VA − V1)/R1 + VA/R2 + (VA − VB)/R3 = 0
(14 − 10)/2 + 14/15 = (VB − 14)/3
2.933 = (VB − 14)/3 → VB = 22.8 V

节点 B 的 KCL

经电阻从 B 流出的电流等于电源注入 B 的电流。

Is = (VB − VA)/R3 + VB/R4 = (22.8 − 14)/3 + 22.8/10 = 5.213 A

答案

Is = 5.213 A
5.戴维南和诺顿

答案: Rth = 11 Ω

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 10 ΩR3​ = 6 Ω短路R2​10 ΩAabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 10·10/(10+10) = 5 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 5 + 6 = 11 Ω
6.戴维南和诺顿

答案: IL = 1.843 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 25 ΩR3​ = 6 Ω短路R2​30 ΩA开路BabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 25·30/(25+30) = 13.64 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 13.64 + 6 = 19.64 Ω
R1​ = 25 ΩR3​ = 6 Ω+−V1​9 VR2​30 ΩAIs​3 ABab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 4.909 + 3·13.64 = 45.82 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 45.82 + 3·6 = 63.82 V
Rth​ = 19.64 Ω+−Vth​63.82 VRL​15 ΩIL​

将负载接到戴维南等效电路上

戴维南电源与串联的 R_th 在 a–b 处的表现与原电路完全相同，因此负载看到的是一个简单串联回路。

IL = Vth/(Rth + RL) = 63.82/(19.64 + 15) = 1.843 A
7.RC 和 RL 暂态

答案: i = 0.3543 A

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数

τ = L/R = 220 mH / 47 Ω = 4.681 ms

电流的衰减

i(t) = 3·e−10/4.681 = 0.3543 A

答案

i = 0.3543 A
8.RC 和 RL 暂态

答案: i = 0.3693 A

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

初始值、终值、时间常数

在 t = 0 之前，闭合的开关把 R₂ 旁路；之后 R₁ 和 R₂ 都在回路中。

i(0) = 9/20 = 0.45 A
i(∞) = 9/(20 + 5) = 0.36 A
τ = L/R = 220/25 = 8.8 ms
i(t) = 0.36 + (0.45 − 0.36)·e−t/τ

给定时刻的电流

i(20) = 0.36 + (0.09)·e−20/8.8 = 0.3693 A

答案

i = 0.3693 A
9.交流阻抗和相量

答案: cos φ = 0.1697

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

电抗

XL = 471.2 Ω, XC = 6.773 Ω

阻抗

|Z| = √(80² + (464.5)²) = 471.3 Ω

功率因数

cos φ = R/|Z| = 80/471.3 = 0.1697
电路是感性的，所以功率因数滞后。

答案

cos φ = 0.1697
10.交流阻抗和相量

答案: VC = 411.5 V

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

电抗

ω = 2πf = 2π·60 = 377 rad/s
XL = ωL = 377·0.2 = 75.4 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(377·22·10⁻⁶) = 120.6 Ω

阻抗

串联时阻抗按复数相加：Z = R + j(XL − XC)。

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(50² + (−45.17)²) = 67.38 Ω

电流

串联电路中每个元件流过相同电流。

I = V/|Z| = 230/67.38 = 3.413 A

电容电压

VC = I·XC = 3.413·120.6 = 411.5 V

答案

VC = 411.5 V
11.交流功率和功率因数

答案: X = 18.4 Ω

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

由有功功率求电阻

R = P/I² = 1380/7.5² = 24.53 Ω

由阻抗求电抗

|Z| = V/I = 230/7.5 = 30.67 Ω
X = √(|Z|² − R²) = √(30.67² − 24.53²) = 18.4 Ω

答案

X = 18.4 Ω
12.交流功率和功率因数

答案: QC = 32.69 kvar

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

补偿前后的无功功率

有功功率 P 不变；改变的只是从电源吸取的无功功率。

Q1 = P·tan φ1 = 40·tan(45.57°) = 40.81 kvar
Q2 = P·tan φ2 = 40·tan(11.48°) = 8.122 kvar
QC = Q1 − Q2 = 32.69 kvar

答案

QC = 32.69 kvar
13.三相电

答案: P = 5.82 kW

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，VL = √3·Vph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，IL = √3·Iph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。

视在功率

S = √3·VL·IL = √3·480·10 = 8.314 kVA

有功功率

P = S·cos φ = 8.314·0.7 = 5.82 kW

答案

P = 5.82 kW
14.三相电

答案: Cph = 668.8 µF

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，VL = √3·Vph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，IL = √3·Iph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。 功率因数校正：电容就地提供无功功率，QC = P·(tan φ1 − tan φ2)。三个电容各提供 QC/3 = V²·ω·C，其中 V 是该电容两端的电压：Δ 联结电容器组为 VL，Y 联结电容器组为 VL/√3。

补偿前后的无功功率

有功功率不变，因此每个功率因数对应确定的无功功率：Q = P·tan φ。

Q1 = 120·tan(acos 0.65) = 120·1.169 = 140.3 kvar
Q2 = 120·tan(acos 0.95) = 120·0.3287 = 39.44 kvar

电容提供的无功功率

QC = Q1 − Q2 = 100.9 kvar

每相电容

在 Δ 联结电容器组中，每个电容接在两根相线之间。

V = 400 V, ω = 2π·50 = 314.2 rad/s
Cph = (QC/3)/(ω·V²) = 33618/(314.2·400²) = 668.8 µF

答案

Cph = 668.8 µF
15.变压器

答案: ILV = 312.5 A

理想变压器：电压之比等于匝数之比，电流之比等于匝数的反比：V₁/V₂ = N₁/N₂ = a，I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a，因此输入功率等于输出功率，V₁·I₁ = V₂·I₂。二次侧的负载阻抗 Z 从一次侧看相当于 a²·Z。

额定电流

两个绕组传输相同的视在功率。

ILV = S/V = 75000/240 = 312.5 A

答案

ILV = 312.5 A
16.变压器

答案: Pcu,fl = 1088 W

变压器损耗：铁损（磁滞和涡流）取决于电压，在任何负载下都相同。绕组中的铜损与电流的平方成正比，因此在额定负载的 x 倍时为 x²·Pcu,fl。效率 η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu)，其中 Pout = x·S·pf。铜损等于铁损时的负载下效率最高。

输出功率和输入功率

Pout = 75·0.8 = 60 kW
Pin = 60000/0.975 = 61538 W

总损耗和铜损

Ploss = 61538 − 60000 = 1538 W
Pcu,fl = 1538 − 450 = 1088 W

答案

Pcu,fl = 1088 W

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