电工学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

新题目返回课程

在打印窗口中选择“另存为 PDF”，即可在设备上保存一份副本。

1公式与方法

串并联电阻

电阻串联
Req = R1 + R2 + …
电阻并联
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
两个电阻并联
Req = R1R2 / (R1 + R2)
欧姆定律
V = I·R
功率
P = V·I = I²R = V²/R

方法

  1. 从离端子最远的网络末端开始。
  2. 串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. 每一步之后重新画电路。
  4. 重复直到端子之间只剩一个电阻。

节点分析

基尔霍夫电流定律
ΣIin = ΣIout
支路电流
I = (Va − Vb)/R
参考节点
Vground = 0

方法

  1. 选定参考节点（地），并标出其他节点电压。
  2. 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律：流出各支路的电流等于流入的电流。
  3. 把每条支路电流表示为 (Va − Vb)/R。
  4. 解方程组，再求出所需的电流。

戴维南和诺顿

戴维南电压
Vth = Vopen circuit
戴维南电阻
Rth：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流
IN = Vth/Rth
负载电流
IL = Vth/(Rth + RL)
最大功率传输
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

方法

  1. 移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
  2. 求 a、b 之间的开路电压：这就是 Vth。
  3. 将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 Rth。
  4. 把负载接回等效电路：Vth 与 Rth 串联。
  5. 求诺顿等效电路时进行变换：IN = Vth/Rth，RN = Rth 并联。

RC 和 RL 暂态

时间常数
τ = RC | τ = L/R
响应
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
直流下的电容
开路；vC 不能突变
直流下的电感
短路；iL 不能突变
稳态
t ≈ 5τ

方法

  1. 求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
  2. 求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
  3. 求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
  4. 使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ。

交流阻抗和相量

阻抗
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
角频率
ω = 2πf
模和相角
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
相量形式的欧姆定律
V = I·Z

方法

  1. 换算频率：ω = 2πf。
  2. 求各电抗：XL = ωL，XC = 1/(ωC)。
  3. 像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
  4. 求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。

交流功率和功率因数

有功功率
P = V·I·cos φ
无功功率
Q = V·I·sin φ
视在功率
S = V·I = √(P² + Q²)
功率因数
pf = cos φ = P/S
补偿电容
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

三相电

Y 联结
VL = √3·Vph, IL = Iph
Δ 联结
VL = Vph, IL = √3·Iph
总有功功率
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
视在功率和无功功率
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
补偿电容
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
每个电容上的电压
Δ：VL Y：VL/√3
电动机输入
Pin = Pout/η

变压器

匝数比
a = N1/N2 = V1/V2
电流比
I1/I2 = N2/N1 = 1/a
额定电流
I = S/V
折算阻抗
Z1′ = a²·ZL
部分负载时的铜损
Pcu = x²·Pcu,fl
效率
η = x·S·pf/(x·S·pf + Pcore + x²·Pcu,fl)
最高效率
x = √(Pcore/Pcu,fl)

2练习题

1.串并联电阻中等
R1​ = 8 ΩR3​ = 4 Ω+−V1​6 VR2​10 ΩAR4​10 ΩB

求电源 V1 看到的等效电阻 Req。

V1 = 6 VR1 = 8 ΩR2 = 10 ΩR3 = 4 ΩR4 = 10 Ω
Req = Ω
2.串并联电阻困难
R1​ = 5 ΩR3​ = 25 ΩR5​ = 20 Ω+−V1​36 VR2​6 ΩIR2​AR4​2 ΩBR6​15 Ω

求流过 R2 的电流 IR2。

V1 = 36 VR1 = 5 ΩR2 = 6 ΩR3 = 25 ΩR4 = 2 ΩR5 = 20 ΩR6 = 15 Ω
IR2 = A
3.节点分析中等
R1​ = 12 ΩR3​ = 8 Ω+−V1​30 VR2​15 ΩAR4​6 ΩBIs​3 A

用节点分析法求 节点电压 VB（相对于地）。

V1 = 30 VIs = 3 AR1 = 12 ΩR2 = 15 ΩR3 = 8 ΩR4 = 6 Ω
VB = V
4.节点分析困难
R1​ = 4 ΩR3​ = 5 Ω+−V1​24 VR2​25 ΩAR4​25 ΩB0.2·VA​

菱形符号是一个电压控制电流源，它向上注入节点 B 的电流为 0.2·VA（单位 A，VA 单位为 V）。用节点分析法求 节点电压 VA（相对于地）。

V1 = 24 VR1 = 4 ΩR2 = 25 ΩR3 = 5 ΩR4 = 25 Ωg = 0.2 A/V
VA = V
5.戴维南和诺顿中等
R1​ = 20 ΩR3​ = 10 Ω+−V1​18 VR2​2 ΩARL​2 ΩIL​B

在 a–b 之间接入负载 RL = 2 Ω。将电路其余部分替换为戴维南等效电路，求负载电流 IL。

V1 = 18 VR1 = 20 ΩR2 = 2 ΩR3 = 10 ΩRL = 2 Ω
IL = A
6.戴维南和诺顿困难
R1​ = 20 ΩR3​ = 20 Ω+−V1​5 VR2​5 ΩAIs​0.5 ABab

求从端口 a–b 看进去的戴维南电压 Vth。

V1 = 5 VIs = 0.5 AR1 = 20 ΩR2 = 5 ΩR3 = 20 Ω
Vth = V
7.RC 和 RL 暂态中等
+−Vs​6 Vt = 0R = 10 ΩL220 mHi(t)

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。 开关闭合后多长时间电流达到终值的 95%？求 t。

Vs = 6 VR = 10 ΩL = 220 mH
t = ms
8.RC 和 RL 暂态困难
+−Vs​5 Vt = 0R = 3.3 kΩC220 µF+−vC​vC​(0) = 18 V

开关在 t = 0 闭合前的一瞬间，电容电压为 18 V，极性如图所示。 vC 需要多长时间达到 14.1 V？求 t。

Vs = 5 VR = 3.3 kΩC = 220 µFvC(0) = 18 V
t = ms
9.交流阻抗和相量中等
Vf0​ = 2000 HzRL = 2 mHC = ?

一个 L = 2 mH 的 RLC 串联电路必须在 2000 Hz 发生谐振。求所需的电容 C。

f0 = 2000 HzL = 2 mH
C = µF
10.交流阻抗和相量困难
VfR = 100 ΩL = 10 mHC = 0.047 µF

一个 RLC 串联电路的 R = 100 Ω，L = 10 mH，C = 0.047 µF。 求其带宽 B（两个半功率频率之间的频带宽度），以 Hz 表示。

R = 100 ΩL = 10 mHC = 0.047 µF
B = Hz
11.交流功率和功率因数中等
P = 15 kWQSφ

一台单相电动机从 230 V 电源吸取 15 kW，功率因数为 0.85（滞后）。 求线路电流 I。

P = 15 kWpf = 0.85V = 230 V
I = A
12.交流功率和功率因数困难
230 V50 HzRs​ = 5 ΩXs​ = j15 ΩZL​ = ?

一个 230 V（有效值）、50 Hz 的电源具有内阻抗 Zs = 5 + j15 Ω。负载阻抗 ZL 可以自由选择。 求能传输给负载的最大有功功率 Pmax。

Vs = 230 V (rms)f = 50 HzZs = 5 + j15 Ω
Pmax = W
13.三相电中等
ABCVL​ = 400 VIL​ = ?M110 kW, η = 94%cos φ = 0.8

一台三相感应电动机满载时输出机械功率 110 kW。此负载下其效率为 94%，功率因数为 0.8（滞后）。电源线电压为 400 V。求线电流 IL。

Pout = 110 kWη = 94%cos φ = 0.8VL = 400 V
IL = A
14.三相电困难
P = 150 kWφ1​S1​Q2​QC​

一个对称三相负载从 690 V（线电压）、60 Hz 的电源取用 150 kW，功率因数为 0.78（滞后）。与负载并联的三相电容器组须把总功率因数提高到 0.9（滞后）。有功功率保持不变。 电容采用 Y 联结。求每个电容的电容量 Cph，以 µF 计。

P = 150 kWpf1 = 0.78pf2 = 0.9VL = 690 Vf = 60 Hz
Cph = µF
15.变压器中等
2400 V240 VIHV​ = ?ILV​75 kVA

一台单相 75 kVA、2400/240 V 变压器在额定负载下运行，视为理想变压器。求高压绕组中的电流 IHV。

S = 75 kVAV1 = 2400 VV2 = 240 V
IHV = A
16.变压器困难
pf 0.8575 kVA, 75% 负载

一台单相 75 kVA 变压器的铁损为 600 W，额定负载下铜损为 1200 W。 它以 0.85（滞后）的功率因数提供额定 kVA 的 75%。求此负载下的总损耗 Ploss，以 W 计。

S = 75 kVAPcore = 600 WPcu,fl = 1200 Wx = 0.75pf = 0.85
Ploss = W

3溶液

1.串并联电阻

答案: Req = 13.83 Ω

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

R1​ = 8 ΩR3​ = 4 Ω+−V1​6 VR2​10 ΩAR4​10 ΩB

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R3 + R4 = 4 + 10 = 14 Ω
R2 ∥ 14 = 10·14/(10+14) = 5.833 Ω
Req = R1 + 5.833 = 8 + 5.833 = 13.83 Ω

答案

Req = 13.83 Ω
2.串并联电阻

答案: IR2 = 2.971 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

R1​ = 5 ΩR3​ = 25 ΩR5​ = 20 Ω+−V1​36 VR2​6 ΩAR4​2 ΩBR6​15 Ω

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R5 + R6 = 20 + 15 = 35 Ω
R4 ∥ 35 = 1.892 Ω
R3 + 1.892 = 26.89 Ω
R2 ∥ 26.89 = 4.906 Ω
Req = R1 + 4.906 = 5 + 4.906 = 9.906 Ω

电源电流

电源只看到 Req，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

IR1 = V1/Req = 36/9.906 = 3.634 A

流过 R₂ 的电流

减去 R₁ 上的压降得到节点 A 的电压，即 R₂ 两端的电压。

VA = V1 − IR1·R1 = 36 − 3.634·5 = 17.83 V
IR2 = VA/R2 = 17.83/6 = 2.971 A

答案

IR2 = 2.971 A
3.节点分析

答案: VB = 17.61 V

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

R1​ = 12 ΩR3​ = 8 Ω+−V1​30 VR2​15 ΩAR4​6 ΩBIs​3 A

设定节点

地为底部导线。已知节点电压直接来自电源（V1 = 30 V）。未知量：VA, VB。

节点 A 的 KCL

经电阻流出 A 的电流等于电源注入 A 的电流。

VA/R2 + (VA − V1)/R1 + (VA − VB)/R3 = 0
VA/15 + (VA − 30)/12 + (VA − VB)/8 = 0
0.275·VA − 0.125·VB = 2.5

节点 B 的 KCL

经电阻流出 B 的电流等于电源注入 B 的电流。

VB/R4 + (VB − VA)/R3 = Is
VB/6 + (VB − VA)/8 = 3
−0.125·VA + 0.2917·VB = 3

求解

Δ = (0.275)(0.2917) − (−0.125)(−0.125) = 0.06458
VA = Δ1/Δ = 1.104/0.06458 = 17.1 V
VB = Δ2/Δ = 1.138/0.06458 = 17.61 V

答案

VB = 17.61 V
4.节点分析

答案: VA = 38.3 V

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

节点 A 的 KCL

经电阻从 A 流出的电流等于电源注入 A 的电流。

(VA − V1)/R1 + VA/R2 + (VA − VB)/R3 = 0
0.49·VA − 0.2·VB = 6

节点 B 的 KCL

受控源向节点 B 注入 g·VA。把它当作独立源处理，然后把含 VA 的项移到左边。

(VB − VA)/R3 + VB/R4 = 0.2·VA
−0.4·VA + 0.24·VB = 0

求解

Δ = (0.49)(0.24) − (−0.2)(−0.4) = 0.0376
VA = Δ1/Δ = 1.44/0.0376 = 38.3 V
VB = Δ2/Δ = 2.4/0.0376 = 63.83 V

答案

VA = 38.3 V
5.戴维南和诺顿

答案: IL = 0.1184 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 20 ΩR3​ = 10 Ω短路R2​2 ΩAabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 20·2/(20+2) = 1.818 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 1.818 + 10 = 11.82 Ω
R1​ = 20 ΩR3​ = 10 Ω+−V1​18 VR2​2 ΩAab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时 R₃ 中没有电流，因此其上无压降，V_b = V_A。R₁ 和 R₂ 构成分压电路。

Vth = V1·R2/(R1+R2) = 18·2/(20+2) = 1.636 V
Rth​ = 11.82 Ω+−Vth​1.636 VRL​2 ΩIL​

将负载接到戴维南等效电路上

戴维南电源与串联的 R_th 在 a–b 处的表现与原电路完全相同，因此负载看到的是一个简单串联回路。

IL = Vth/(Rth + RL) = 1.636/(11.82 + 2) = 0.1184 A
6.戴维南和诺顿

答案: Vth = 13 V

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 20 ΩR3​ = 20 Ω短路R2​5 ΩA开路BabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 20·5/(20+5) = 4 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 4 + 20 = 24 Ω
R1​ = 20 ΩR3​ = 20 Ω+−V1​5 VR2​5 ΩAIs​0.5 ABab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 1 + 0.5·4 = 3 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 3 + 0.5·20 = 13 V
7.RC 和 RL 暂态

答案: t = 65.91 ms

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 220 mH / 10 Ω = 22 ms
i(∞) = Vs/R = 6/10 = 0.6 A

求解时间

0.95 = 1 − e−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0.95)
t = −22·ln(0.05) = 65.91 ms

答案

t = 65.91 ms
8.RC 和 RL 暂态

答案: t = 258.9 ms

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

初始值、终值、时间常数

电容电压不能突变，所以它从储存值开始，趋向电源电压。

vC(0) = 18 V, vC(∞) = Vs = 5 V
τ = R·C = 3.3 kΩ · 220 µF = 726 ms
vC(t) = 5 + (18 − 5)·e−t/τ

求解时间

14.1 = 5 + (13)·e−t/τ → e−t/τ = (14.1 − 5)/(18 − 5) = 0.7
t = τ·ln((18 − 5)/(14.1 − 5)) = 726·ln(1.429) = 258.9 ms

答案

t = 258.9 ms
9.交流阻抗和相量

答案: C = 3.166 µF

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

谐振条件

谐振时感抗与容抗相互抵消：ωL = 1/(ωC)。

ω₀ = 2π·2000 = 12566 rad/s
C = 1/(ω₀²·L) = 1/(12566²·0.002) = 3.166 µF

答案

C = 3.166 µF
10.交流阻抗和相量

答案: B = 1592 Hz

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

谐振频率

f0 = 1/(2π·√(0.01·0.047·10⁻⁶)) = 7341 Hz

品质因数

Q 把谐振时的电抗与电阻进行比较：Q = ω₀L/R。

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/100)·√(0.01/(0.047·10⁻⁶)) = 4.613

带宽

B = f0/Q = 7341/4.613 = 1592 Hz

答案

B = 1592 Hz
11.交流功率和功率因数

答案: I = 76.73 A

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

线路电流

只有有功部分做功，所以要除以功率因数。

I = P/(V·cos φ) = 15000/(230·0.85) = 76.73 A

答案

I = 76.73 A
12.交流功率和功率因数

答案: Pmax = 2645 W

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

共轭匹配

负载电抗抵消电源电抗，负载电阻等于电源电阻。

ZL = Zs* = 5 − j15 Ω

最大功率

I = Vs/(2Rs) = 230/10 = 23 A
Pmax = I²·RL = Vs²/(4Rs) = 230²/(4·5) = 2645 W

答案

Pmax = 2645 W
13.三相电

答案: IL = 211.1 A

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，VL = √3·Vph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，IL = √3·Iph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。

电输入功率

Pin = Pout/η = 110/0.94 = 117 kW

线路电流

IL = Pin/(√3·VL·cos φ) = 117021/(√3·400·0.8) = 211.1 A

答案

IL = 211.1 A
14.三相电

答案: Cph = 265.7 µF

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，VL = √3·Vph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，IL = √3·Iph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。 功率因数校正：电容就地提供无功功率，QC = P·(tan φ1 − tan φ2)。三个电容各提供 QC/3 = V²·ω·C，其中 V 是该电容两端的电压：Δ 联结电容器组为 VL，Y 联结电容器组为 VL/√3。

补偿前后的无功功率

有功功率不变，因此每个功率因数对应确定的无功功率：Q = P·tan φ。

Q1 = 150·tan(acos 0.78) = 150·0.8023 = 120.3 kvar
Q2 = 150·tan(acos 0.9) = 150·0.4843 = 72.65 kvar

电容提供的无功功率

QC = Q1 − Q2 = 47.69 kvar

每相电容

在 Y 联结电容器组中，每个电容接在一根相线和星点之间。

V = 690/√3 = 398.4 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s
Cph = (QC/3)/(ω·V²) = 15898/(377·398.4²) = 265.7 µF

答案

Cph = 265.7 µF
15.变压器

答案: IHV = 31.25 A

理想变压器：电压之比等于匝数之比，电流之比等于匝数的反比：V₁/V₂ = N₁/N₂ = a，I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a，因此输入功率等于输出功率，V₁·I₁ = V₂·I₂。二次侧的负载阻抗 Z 从一次侧看相当于 a²·Z。

额定电流

两个绕组传输相同的视在功率。

IHV = S/V = 75000/2400 = 31.25 A

答案

IHV = 31.25 A
16.变压器

答案: Ploss = 1275 W

变压器损耗：铁损（磁滞和涡流）取决于电压，在任何负载下都相同。绕组中的铜损与电流的平方成正比，因此在额定负载的 x 倍时为 x²·Pcu,fl。效率 η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu)，其中 Pout = x·S·pf。铜损等于铁损时的负载下效率最高。

此负载下的铜损

Pcu = x²·Pcu,fl = 0.5625·1200 = 675 W

总损耗

铁损在任何负载下都相同。

Ploss = 600 + 675 = 1275 W

答案

Ploss = 1275 W

此负载下的效率为 η = 97.4%。

ExamProblems · examproblems.com/courses/electrical-engineering-fundamentals