电工学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

串并联电阻

电阻串联: R_eq = R₁ + R₂ + …
电阻并联: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
两个电阻并联: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
欧姆定律: V = I·R
功率: P = V·I = I²R = V²/R

方法

从离端子最远的网络末端开始。
串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
每一步之后重新画电路。
重复直到端子之间只剩一个电阻。

节点分析

基尔霍夫电流定律: ΣI_in = ΣI_out
支路电流: I = (V_a − V_b)/R
参考节点: V_ground = 0

方法

选定参考节点（地），并标出其他节点电压。
在每个未知节点列基尔霍夫电流定律：流出各支路的电流等于流入的电流。
把每条支路电流表示为 (V_a − V_b)/R。
解方程组，再求出所需的电流。

戴维南和诺顿

戴维南电压: V_th = V_{open circuit}
戴维南电阻: R_th：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流: I_N = V_th/R_th
负载电流: I_L = V_th/(R_th + R_L)
最大功率传输: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

方法

移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
求 a、b 之间的开路电压：这就是 V_th。
将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 R_th。
把负载接回等效电路：V_th 与 R_th 串联。
求诺顿等效电路时进行变换：I_N = V_th/R_th，R_N = R_th 并联。

RC 和 RL 暂态

时间常数: τ = RC | τ = L/R
响应: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流下的电容: 开路；v_C 不能突变
直流下的电感: 短路；i_L 不能突变
稳态: t ≈ 5τ

方法

求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ。

交流阻抗和相量

阻抗: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
角频率: ω = 2πf
模和相角: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
相量形式的欧姆定律: V = I·Z

方法

换算频率：ω = 2πf。
求各电抗：X_L = ωL，X_C = 1/(ωC)。
像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。

交流功率和功率因数

有功功率: P = V·I·cos φ
无功功率: Q = V·I·sin φ
视在功率: S = V·I = √(P² + Q²)
功率因数: pf = cos φ = P/S
补偿电容: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

三相电

Y 联结: V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Δ 联结: V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
总有功功率: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
视在功率和无功功率: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
补偿电容: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
每个电容上的电压: Δ：V_L Y：V_L/√3
电动机输入: P_in = P_out/η

变压器

匝数比: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
电流比: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
额定电流: I = S/V
折算阻抗: Z₁′ = a²·Z_L
部分负载时的铜损: P_cu = x²·P_cu,fl
效率: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
最高效率: x = √(P_core/P_cu,fl)

2练习题

1.串并联电阻中等

求电源 V₁ 看到的等效电阻 R_eq。

V₁ = 15 VR₁ = 10 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 5 Ω

R_eq = Ω

2.串并联电阻困难

求流过 R₂ 的电流 I_R2。

V₁ = 5 VR₁ = 4 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 8 ΩR₅ = 20 ΩR₆ = 10 Ω

I_R2 = A

3.节点分析中等

如图所示，节点 A 与地之间连接了三条支路。用节点分析法求支路 1 中沿箭头方向向上流入节点 A 的电流 I₁。

V₁ = 30 VR₁ = 3 ΩV₂ = 24 VR₂ = 20 ΩV₃ = 15 VR₃ = 2 Ω

I₁ = A

4.节点分析困难

菱形符号是一个电压控制电流源，它向上注入节点 B 的电流为 0.2·V_A（单位 A，V_A 单位为 V）。用节点分析法求节点电压 V_A（相对于地）。

V₁ = 15 VR₁ = 2 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 30 ΩR₄ = 15 Ωg = 0.2 A/V

V_A = V

5.戴维南和诺顿中等

求从端口 a–b 看进去的戴维南电压 V_th。

V₁ = 10 VR₁ = 20 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 12 Ω

V_th = V

6.戴维南和诺顿困难

求从端口 a–b 看进去的戴维南电压 V_th。

V₁ = 10 VI_s = 6 AR₁ = 20 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 4 Ω

V_th = V

7.RC 和 RL 暂态中等

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。求 t = 1 ms 时电感中储存的能量 W，以 mJ 表示。

V_s = 6 VR = 33 ΩL = 33 mHt = 1 ms

W = mJ

8.RC 和 RL 暂态困难

开关在 t = 0 闭合前的一瞬间，电容电压为 8 V，极性如图所示。 v_C 需要多长时间达到 5.9 V？求 t。

V_s = 5 VR = 4.7 kΩC = 33 µFv_C(0) = 8 V

t = ms

9.交流阻抗和相量中等

一个 L = 10 mH 的 RLC 串联电路必须在 500 Hz 发生谐振。求所需的电容 C。

f₀ = 500 HzL = 10 mH

C = µF

10.交流阻抗和相量困难

一个串联 RLC 电路接在 100 V（有效值）、1000 Hz 的电源上。求电容两端电压的有效值 V_C。

V = 100 V (rms)f = 1000 HzR = 50 ΩL = 20 mHC = 1 µF

V_C = V

11.交流功率和功率因数中等

一个感性负载从 230 V（有效值）的单相电源吸取 12.5 A 和 1725 W。把它建模为电阻 R 与电抗 X 串联。求 R。

V = 230 VI = 12.5 AP = 1725 W

R = Ω

12.交流功率和功率因数困难

一个 120 V（有效值）、60 Hz 的电源具有内阻抗 Z_s = 25 + j15 Ω。负载阻抗 Z_L 可以自由选择。求能传输给负载的最大有功功率 P_max。

V_s = 120 V (rms)f = 60 HzZ_s = 25 + j15 Ω

P_max = W

13.三相电中等

一个每相阻抗为 12 + j9 Ω 的对称 Δ 联结负载接在线电压为 208 V 的对称三相电源上。求负载吸收的总有功功率 P，以 kW 计。

V_L = 208 VZ = 12 + j9 Ω 每相

P = kW

14.三相电困难

一个对称三相负载从 690 V（线电压）、60 Hz 的电源取用 250 kW，功率因数为 0.65（滞后）。与负载并联的三相电容器组须把总功率因数提高到 0.98（滞后）。有功功率保持不变。求电容器组须提供的总无功功率 Q_C，以 kvar 计。

P = 250 kWpf₁ = 0.65pf₂ = 0.98V_L = 690 Vf = 60 Hz

Q_C = kvar

15.变压器中等

一台单相 150 kVA、11000/400 V 变压器在额定负载下运行，视为理想变压器。求高压绕组中的电流 I_HV。

S = 150 kVAV₁ = 11000 VV₂ = 400 V

I_HV = A

16.变压器困难

一台单相 100 kVA 变压器的铁损为 300 W。在额定负载、功率因数为 0.8（滞后）时，其效率为 97%。求满载铜损 P_cu,fl，以 W 计。

S = 100 kVAP_core = 300 Wpf = 0.8η = 97%

P_cu,fl = W

3溶液

1.串并联电阻

答案: R_eq = 13.21 Ω

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₃ + R₄ = 4 + 5 = 9 Ω

R₂ ∥ 9 = 5·9/(5+9) = 3.214 Ω

R_eq = R₁ + 3.214 = 10 + 3.214 = 13.21 Ω

答案

R_eq = 13.21 Ω

2.串并联电阻

答案: I_R2 = 0.4571 A

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₅ + R₆ = 20 + 10 = 30 Ω

R₄ ∥ 30 = 6.316 Ω

R₃ + 6.316 = 10.32 Ω

R₂ ∥ 10.32 = 3.368 Ω

R_eq = R₁ + 3.368 = 4 + 3.368 = 7.368 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 5/7.368 = 0.6786 A

流过 R₂ 的电流

减去 R₁ 上的压降得到节点 A 的电压，即 R₂ 两端的电压。

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 5 − 0.6786·4 = 2.285 V

I_R2 = V_A/R₂ = 2.285/5 = 0.4571 A

答案

I_R2 = 0.4571 A

3.节点分析

答案: I₁ = 3.849 A

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

节点 A 的 KCL

取底部导线为地。每条支路从 A 流出的电流为 (V_A − V_k)/R_k，其中 V_k 为该支路电源的电压（纯电阻支路为零）。从 A 流出的电流之和为零。

(V_A − 30)/3 + (V_A − (−24))/20 + (V_A − 15)/2 = 0

求 V_A

V_A = (30/3 + (−24)/20 + 15/2) / (1/3 + 1/20 + 1/2) = 16.3/0.8833 = 18.45 V

支路电流

箭头沿支路向上，指向节点 A。

I₁ = (30 − V_A)/R₁ = (30 − 18.45)/3 = 3.849 A

答案

I₁ = 3.849 A

结果为负表示实际电流与箭头方向相反。

4.节点分析

答案: V_A = 13.92 V

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

节点 A 的 KCL

经电阻从 A 流出的电流等于电源注入 A 的电流。

(V_A − V₁)/R₁ + V_A/R₂ + (V_A − V_B)/R₃ = 0

0.6167·V_A − 0.03333·V_B = 7.5

节点 B 的 KCL

受控源向节点 B 注入 g·V_A。把它当作独立源处理，然后把含 V_A 的项移到左边。

(V_B − V_A)/R₃ + V_B/R₄ = 0.2·V_A

−0.2333·V_A + 0.1·V_B = 0

求解

Δ = (0.6167)(0.1) − (−0.03333)(−0.2333) = 0.05389

V_A = Δ₁/Δ = 0.75/0.05389 = 13.92 V

V_B = Δ₂/Δ = 1.75/0.05389 = 32.47 V

答案

V_A = 13.92 V

5.戴维南和诺顿

答案: V_th = 1.667 V

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 20·4/(20+4) = 3.333 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 3.333 + 12 = 15.33 Ω

求开路电压 V_th

a–b 开路时 R₃ 中没有电流，因此其上无压降，V_b = V_A。R₁ 和 R₂ 构成分压电路。

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 10·4/(20+4) = 1.667 V

6.戴维南和诺顿

答案: V_th = 50 V

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 20·5/(20+5) = 4 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 4 + 4 = 8 Ω

求开路电压 V_th

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 2 + 6·4 = 26 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 26 + 6·4 = 50 V

7.RC 和 RL 暂态

答案: W = 0.218 mJ

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 33 mH / 33 Ω = 1 ms

i(∞) = V_s/R = 6/33 = 0.1818 A

给定时刻的电流

i(t) = 0.1818·(1 − e^−1/1) = 0.1149 A

储存的能量

W = ½·L·i² = ½·33·0.1149² = 0.218 mJ

答案

W = 0.218 mJ

8.RC 和 RL 暂态

答案: t = 186.7 ms

初始值、终值、时间常数

电容电压不能突变，所以它从储存值开始，趋向电源电压。

v_C(0) = 8 V, v_C(∞) = V_s = 5 V

τ = R·C = 4.7 kΩ · 33 µF = 155.1 ms

v_C(t) = 5 + (8 − 5)·e^−t/τ

求解时间

5.9 = 5 + (3)·e^−t/τ → e^−t/τ = (5.9 − 5)/(8 − 5) = 0.3

t = τ·ln((8 − 5)/(5.9 − 5)) = 155.1·ln(3.333) = 186.7 ms

答案

t = 186.7 ms

9.交流阻抗和相量

答案: C = 10.13 µF

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

谐振条件

谐振时感抗与容抗相互抵消：ωL = 1/(ωC)。

ω₀ = 2π·500 = 3142 rad/s

C = 1/(ω₀²·L) = 1/(3142²·0.01) = 10.13 µF

答案

C = 10.13 µF

10.交流阻抗和相量

答案: V_C = 264.5 V

电抗

ω = 2πf = 2π·1000 = 6283 rad/s

X_L = ωL = 6283·0.02 = 125.7 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(6283·1·10⁻⁶) = 159.2 Ω

阻抗

串联时阻抗按复数相加：Z = R + j(X_L − X_C)。

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(50² + (−33.49)²) = 60.18 Ω

电流

串联电路中每个元件流过相同电流。

I = V/|Z| = 100/60.18 = 1.662 A

电容电压

V_C = I·X_C = 1.662·159.2 = 264.5 V

答案

V_C = 264.5 V

11.交流功率和功率因数

答案: R = 11.04 Ω

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

由有功功率求电阻

R = P/I² = 1725/12.5² = 11.04 Ω

答案

R = 11.04 Ω

12.交流功率和功率因数

答案: P_max = 144 W

共轭匹配

负载电抗抵消电源电抗，负载电阻等于电源电阻。

Z_L = Z_s* = 25 − j15 Ω

最大功率

I = V_s/(2R_s) = 120/50 = 2.4 A

P_max = I²·R_L = V_s²/(4R_s) = 120²/(4·25) = 144 W

答案

P_max = 144 W

13.三相电

答案: P = 6.922 kW

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，V_L = √3·V_ph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，I_L = √3·I_ph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ。

相电压

V_ph = V_L = 208 V

相电流

|Z| = √(12² + 9²) = 15 Ω

I_ph = 208/15 = 13.87 A

总有功功率

只有每个阻抗的电阻部分吸收有功功率。

P = 3·I_ph²·R = 3·13.87²·12 = 6.922 kW

答案

P = 6.922 kW

验算：cos φ = R/|Z| = 0.8，用 √3·V_L·I_L·cos φ 得到相同的功率。

14.三相电

答案: Q_C = 241.5 kvar

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，V_L = √3·V_ph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，I_L = √3·I_ph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ。 功率因数校正：电容就地提供无功功率，Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂)。三个电容各提供 Q_C/3 = V²·ω·C，其中 V 是该电容两端的电压：Δ 联结电容器组为 V_L，Y 联结电容器组为 V_L/√3。

补偿前后的无功功率

有功功率不变，因此每个功率因数对应确定的无功功率：Q = P·tan φ。

Q₁ = 250·tan(acos 0.65) = 250·1.169 = 292.3 kvar

Q₂ = 250·tan(acos 0.98) = 250·0.2031 = 50.76 kvar

电容提供的无功功率

Q_C = Q₁ − Q₂ = 241.5 kvar

答案

Q_C = 241.5 kvar

15.变压器

答案: I_HV = 13.64 A

理想变压器：电压之比等于匝数之比，电流之比等于匝数的反比：V₁/V₂ = N₁/N₂ = a，I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a，因此输入功率等于输出功率，V₁·I₁ = V₂·I₂。二次侧的负载阻抗 Z 从一次侧看相当于 a²·Z。

额定电流

两个绕组传输相同的视在功率。

I_HV = S/V = 150000/11000 = 13.64 A

答案

I_HV = 13.64 A

16.变压器

答案: P_cu,fl = 2174 W

变压器损耗：铁损（磁滞和涡流）取决于电压，在任何负载下都相同。绕组中的铜损与电流的平方成正比，因此在额定负载的 x 倍时为 x²·P_cu,fl。效率 η = P_out/(P_out + P_core + P_cu)，其中 P_out = x·S·pf。铜损等于铁损时的负载下效率最高。

输出功率和输入功率

P_out = 100·0.8 = 80 kW

P_in = 80000/0.97 = 82474 W

总损耗和铜损

P_loss = 82474 − 80000 = 2474 W

P_cu,fl = 2474 − 300 = 2174 W

答案

P_cu,fl = 2174 W

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电工学：速成包

1公式与方法

串并联电阻

方法

节点分析

方法

戴维南和诺顿

方法

RC 和 RL 暂态

方法

交流阻抗和相量

方法

交流功率和功率因数

三相电

变压器

2练习题

3溶液

从远端开始合并电阻

答案

从远端开始合并电阻

电源电流

流过 R₂ 的电流

答案

节点 A 的 KCL

求 VA

支路电流

答案

节点 A 的 KCL

节点 B 的 KCL

求解

答案

将所有电源置零，求 Rth

求开路电压 Vth

将所有电源置零，求 Rth

求开路电压 Vth

时间常数和终值电流

给定时刻的电流

储存的能量

答案

初始值、终值、时间常数

求解时间

答案

谐振条件

答案

电抗

阻抗

电流

电容电压

答案

由有功功率求电阻

答案

共轭匹配

最大功率

答案

相电压

相电流

总有功功率

答案

补偿前后的无功功率

电容提供的无功功率

答案

额定电流

答案

输出功率和输入功率

总损耗和铜损

答案

求 V_A

将所有电源置零，求 R_th

求开路电压 V_th

将所有电源置零，求 R_th

求开路电压 V_th