电工学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

串并联电阻

电阻串联
Req = R1 + R2 + …
电阻并联
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
两个电阻并联
Req = R1R2 / (R1 + R2)
欧姆定律
V = I·R
功率
P = V·I = I²R = V²/R

方法

  1. 从离端子最远的网络末端开始。
  2. 串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. 每一步之后重新画电路。
  4. 重复直到端子之间只剩一个电阻。

节点分析

基尔霍夫电流定律
ΣIin = ΣIout
支路电流
I = (Va − Vb)/R
参考节点
Vground = 0

方法

  1. 选定参考节点（地），并标出其他节点电压。
  2. 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律：流出各支路的电流等于流入的电流。
  3. 把每条支路电流表示为 (Va − Vb)/R。
  4. 解方程组，再求出所需的电流。

戴维南和诺顿

戴维南电压
Vth = Vopen circuit
戴维南电阻
Rth：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流
IN = Vth/Rth
负载电流
IL = Vth/(Rth + RL)
最大功率传输
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

方法

  1. 移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
  2. 求 a、b 之间的开路电压：这就是 Vth。
  3. 将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 Rth。
  4. 把负载接回等效电路：Vth 与 Rth 串联。
  5. 求诺顿等效电路时进行变换：IN = Vth/Rth，RN = Rth 并联。

RC 和 RL 暂态

时间常数
τ = RC | τ = L/R
响应
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
直流下的电容
开路；vC 不能突变
直流下的电感
短路；iL 不能突变
稳态
t ≈ 5τ

方法

  1. 求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
  2. 求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
  3. 求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
  4. 使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ。

交流阻抗和相量

阻抗
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
角频率
ω = 2πf
模和相角
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
相量形式的欧姆定律
V = I·Z

方法

  1. 换算频率：ω = 2πf。
  2. 求各电抗：XL = ωL，XC = 1/(ωC)。
  3. 像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
  4. 求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。

交流功率和功率因数

有功功率
P = V·I·cos φ
无功功率
Q = V·I·sin φ
视在功率
S = V·I = √(P² + Q²)
功率因数
pf = cos φ = P/S
补偿电容
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

三相电

Y 联结
VL = √3·Vph, IL = Iph
Δ 联结
VL = Vph, IL = √3·Iph
总有功功率
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
视在功率和无功功率
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
补偿电容
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
每个电容上的电压
Δ：VL Y：VL/√3
电动机输入
Pin = Pout/η

变压器

匝数比
a = N1/N2 = V1/V2
电流比
I1/I2 = N2/N1 = 1/a
额定电流
I = S/V
折算阻抗
Z1′ = a²·ZL
部分负载时的铜损
Pcu = x²·Pcu,fl
效率
η = x·S·pf/(x·S·pf + Pcore + x²·Pcu,fl)
最高效率
x = √(Pcore/Pcu,fl)

2练习题

1.串并联电阻中等
R1​ = 15 ΩIR1​R3​ = 4 Ω+−V1​9 VR2​6 ΩAR4​15 ΩB

求电源输出并流过 R1 的电流 IR1。

V1 = 9 VR1 = 15 ΩR2 = 6 ΩR3 = 4 ΩR4 = 15 Ω
IR1 = A
2.串并联电阻困难
R1​ = 25 ΩR3​ = 10 ΩR5​ = 2 Ω+−V1​18 VR2​15 ΩAR4​2 ΩBR6​12 Ω

求电源 V1 看到的等效电阻 Req。

V1 = 18 VR1 = 25 ΩR2 = 15 ΩR3 = 10 ΩR4 = 2 ΩR5 = 2 ΩR6 = 12 Ω
Req = Ω
3.节点分析中等
R1​ = 10 ΩR3​ = 12 Ω+−V1​24 VR2​6 ΩAR4​2 ΩBIs​5 A

用节点分析法求 节点电压 VA（相对于地）。

V1 = 24 VIs = 5 AR1 = 10 ΩR2 = 6 ΩR3 = 12 ΩR4 = 2 Ω
VA = V
4.节点分析困难
R1​ = 4 ΩR3​ = 30 Ω+−V1​36 VR2​5 ΩAR4​3 ΩB0.05·VA​

菱形符号是一个电压控制电流源，它向上注入节点 B 的电流为 0.05·VA（单位 A，VA 单位为 V）。用节点分析法求 节点电压 VB（相对于地）。

V1 = 36 VR1 = 4 ΩR2 = 5 ΩR3 = 30 ΩR4 = 3 Ωg = 0.05 A/V
VB = V
5.戴维南和诺顿中等
R1​ = 10 ΩR3​ = 3 Ω+−V1​9 VR2​20 ΩAab

求从端口 a–b 看进去的戴维南电压 Vth。

V1 = 9 VR1 = 10 ΩR2 = 20 ΩR3 = 3 Ω
Vth = V
6.戴维南和诺顿困难
R1​ = 12 ΩR3​ = 2 Ω+−V1​6 VR2​5 ΩAIs​1 ABRL​5 ΩIL​

在 a–b 之间接入负载 RL = 5 Ω。将电路其余部分替换为戴维南等效电路，求负载电流 IL。

V1 = 6 VIs = 1 AR1 = 12 ΩR2 = 5 ΩR3 = 2 ΩRL = 5 Ω
IL = A
7.RC 和 RL 暂态中等
+−Vs​6 Vt = 0R = 68 ΩL150 mHi(t)

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。 求 t = 5 ms 时的电流 i。

Vs = 6 VR = 68 ΩL = 150 mHt = 5 ms
i = A
8.RC 和 RL 暂态困难
+−Vs​10 Vt = 0R = 6.8 kΩC100 µF+−vC​vC​(0) = 2 V

开关在 t = 0 闭合前的一瞬间，电容电压为 2 V，极性如图所示。 vC 需要多长时间达到 6 V？求 t。

Vs = 10 VR = 6.8 kΩC = 100 µFvC(0) = 2 V
t = ms
9.交流阻抗和相量中等
12 V50 HzR = 25 ΩL = 150 mHC = 100 µFI

一个串联 RLC 电路接在 12 V（有效值）、50 Hz 的电源上。 求电路的功率因数 cos φ。

V = 12 V (rms)f = 50 HzR = 25 ΩL = 150 mHC = 100 µF
cos φ =
10.交流阻抗和相量困难
50 V50 HzR = 60 ΩL = 200 mHC = 10 µF

一个串联 RLC 电路接在 50 V（有效值）、50 Hz 的电源上。 求电路的谐振频率 f0。

V = 50 V (rms)f = 50 HzR = 60 ΩL = 200 mHC = 10 µF
f0 = Hz
11.交流功率和功率因数中等
P = 23 kWQSφ

一台单相电动机从 400 V 电源吸取 23 kW，功率因数为 0.6（滞后）。 求线路电流 I。

P = 23 kWpf = 0.6V = 400 V
I = A
12.交流功率和功率因数困难
P = 45 kWQ1​S1​φ1​QC​

一个单相负载从 400 V、50 Hz 电源吸取 45 kW，功率因数为 0.6（滞后）。并联一个电容将功率因数提高到 0.98。 求所需电容 C。

P = 45 kWpf1 = 0.6pf2 = 0.98V = 400 Vf = 50 Hz
C = µF
13.三相电中等
ABCVL​ = 208 VIL​ = 40 Acos φ = 0.7滞后

一个对称三相负载从线电压为 208 V 的电源取用 40 A 的线电流，功率因数为 0.7（滞后）。求负载取用的总有功功率 P，以 kW 计。

VL = 208 VIL = 40 Acos φ = 0.7
P = kW
14.三相电困难
P = 80 kWφ1​S1​Q2​QC​

一个对称三相负载从 415 V（线电压）、60 Hz 的电源取用 80 kW，功率因数为 0.78（滞后）。与负载并联的三相电容器组须把总功率因数提高到 0.95（滞后）。有功功率保持不变。 电容采用 Y 联结。求每个电容的电容量 Cph，以 µF 计。

P = 80 kWpf1 = 0.78pf2 = 0.95VL = 415 Vf = 60 Hz
Cph = µF
15.变压器中等
4160 V480 VIHV​ILV​ = ?250 kVA

一台单相 250 kVA、4160/480 V 变压器在额定负载下运行，视为理想变压器。求低压绕组中的电流 ILV。

S = 250 kVAV1 = 4160 VV2 = 480 V
ILV = A
16.变压器困难
pf 0.85150 kVA, η = 99%

一台单相 150 kVA 变压器的铁损为 750 W。 在额定负载、功率因数为 0.85（滞后）时，其效率为 99%。求满载铜损 Pcu,fl，以 W 计。

S = 150 kVAPcore = 750 Wpf = 0.85η = 99%
Pcu,fl = W

3溶液

1.串并联电阻

答案: IR1 = 0.4601 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

R1​ = 15 ΩR3​ = 4 Ω+−V1​9 VR2​6 ΩAR4​15 ΩB

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R3 + R4 = 4 + 15 = 19 Ω
R2 ∥ 19 = 6·19/(6+19) = 4.56 Ω
Req = R1 + 4.56 = 15 + 4.56 = 19.56 Ω

电源电流

电源只看到 Req，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

IR1 = V1/Req = 9/19.56 = 0.4601 A

答案

IR1 = 0.4601 A
2.串并联电阻

答案: Req = 31.59 Ω

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

R1​ = 25 ΩR3​ = 10 ΩR5​ = 2 Ω+−V1​18 VR2​15 ΩAR4​2 ΩBR6​12 Ω

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R5 + R6 = 2 + 12 = 14 Ω
R4 ∥ 14 = 1.75 Ω
R3 + 1.75 = 11.75 Ω
R2 ∥ 11.75 = 6.589 Ω
Req = R1 + 6.589 = 25 + 6.589 = 31.59 Ω

答案

Req = 31.59 Ω
3.节点分析

答案: VA = 9.211 V

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

R1​ = 10 ΩR3​ = 12 Ω+−V1​24 VR2​6 ΩAR4​2 ΩBIs​5 A

设定节点

地为底部导线。已知节点电压直接来自电源（V1 = 24 V）。未知量：VA, VB。

节点 A 的 KCL

经电阻流出 A 的电流等于电源注入 A 的电流。

VA/R2 + (VA − V1)/R1 + (VA − VB)/R3 = 0
VA/6 + (VA − 24)/10 + (VA − VB)/12 = 0
0.35·VA − 0.08333·VB = 2.4

节点 B 的 KCL

经电阻流出 B 的电流等于电源注入 B 的电流。

VB/R4 + (VB − VA)/R3 = Is
VB/2 + (VB − VA)/12 = 5
−0.08333·VA + 0.5833·VB = 5

求解

Δ = (0.35)(0.5833) − (−0.08333)(−0.08333) = 0.1972
VA = Δ1/Δ = 1.817/0.1972 = 9.211 V
VB = Δ2/Δ = 1.95/0.1972 = 9.887 V

答案

VA = 9.211 V
4.节点分析

答案: VB = 4.299 V

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

节点 A 的 KCL

经电阻从 A 流出的电流等于电源注入 A 的电流。

(VA − V1)/R1 + VA/R2 + (VA − VB)/R3 = 0
0.4833·VA − 0.03333·VB = 9

节点 B 的 KCL

受控源向节点 B 注入 g·VA。把它当作独立源处理，然后把含 VA 的项移到左边。

(VB − VA)/R3 + VB/R4 = 0.05·VA
−0.08333·VA + 0.3667·VB = 0

求解

Δ = (0.4833)(0.3667) − (−0.03333)(−0.08333) = 0.1744
VA = Δ1/Δ = 3.3/0.1744 = 18.92 V
VB = Δ2/Δ = 0.75/0.1744 = 4.299 V

答案

VB = 4.299 V
5.戴维南和诺顿

答案: Vth = 6 V

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 10 ΩR3​ = 3 Ω短路R2​20 ΩAabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 10·20/(10+20) = 6.667 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 6.667 + 3 = 9.667 Ω
R1​ = 10 ΩR3​ = 3 Ω+−V1​9 VR2​20 ΩAab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时 R₃ 中没有电流，因此其上无压降，V_b = V_A。R₁ 和 R₂ 构成分压电路。

Vth = V1·R2/(R1+R2) = 9·20/(10+20) = 6 V
6.戴维南和诺顿

答案: IL = −0.3575 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 12 ΩR3​ = 2 Ω短路R2​5 ΩA开路BabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 12·5/(12+5) = 3.529 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 3.529 + 2 = 5.529 Ω
R1​ = 12 ΩR3​ = 2 Ω+−V1​6 VR2​5 ΩAIs​1 ABab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 1.765 + (−1)·3.529 = −1.765 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = −1.765 + (−1)·2 = −3.765 V
Rth​ = 5.529 Ω−+Vth​3.765 VRL​5 ΩIL​

将负载接到戴维南等效电路上

戴维南电源与串联的 R_th 在 a–b 处的表现与原电路完全相同，因此负载看到的是一个简单串联回路。

IL = Vth/(Rth + RL) = −3.765/(5.529 + 5) = −0.3575 A
7.RC 和 RL 暂态

答案: i = 0.07909 A

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 150 mH / 68 Ω = 2.206 ms
i(∞) = Vs/R = 6/68 = 0.08824 A

给定时刻的电流

i(t) = i(∞)·(1 − e−t/τ) = 0.08824·(1 − e−5/2.206) = 0.07909 A

答案

i = 0.07909 A
8.RC 和 RL 暂态

答案: t = 471.3 ms

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

初始值、终值、时间常数

电容电压不能突变，所以它从储存值开始，趋向电源电压。

vC(0) = 2 V, vC(∞) = Vs = 10 V
τ = R·C = 6.8 kΩ · 100 µF = 680 ms
vC(t) = 10 + (2 − 10)·e−t/τ

求解时间

6 = 10 + (−8)·e−t/τ → e−t/τ = (6 − 10)/(2 − 10) = 0.5
t = τ·ln((2 − 10)/(6 − 10)) = 680·ln(2) = 471.3 ms

答案

t = 471.3 ms
9.交流阻抗和相量

答案: cos φ = 0.8531

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

电抗

XL = 47.12 Ω, XC = 31.83 Ω

阻抗

|Z| = √(25² + (15.29)²) = 29.31 Ω

功率因数

cos φ = R/|Z| = 25/29.31 = 0.8531
电路是感性的，所以功率因数滞后。

答案

cos φ = 0.8531
10.交流阻抗和相量

答案: f0 = 112.5 Hz

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

谐振

谐振时感抗和容抗相互抵消：ωL = 1/(ωC)。与电源频率无关。

f0 = 1/(2π√(LC)) = 1/(2π·√(0.2·10·10⁻⁶)) = 112.5 Hz

答案

f0 = 112.5 Hz
11.交流功率和功率因数

答案: I = 95.83 A

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

线路电流

只有有功部分做功，所以要除以功率因数。

I = P/(V·cos φ) = 23000/(400·0.6) = 95.83 A

答案

I = 95.83 A
12.交流功率和功率因数

答案: C = 1012 µF

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

补偿前后的无功功率

有功功率 P 不变；改变的只是从电源吸取的无功功率。

Q1 = P·tan φ1 = 45·tan(53.13°) = 60 kvar
Q2 = P·tan φ2 = 45·tan(11.48°) = 9.138 kvar
QC = Q1 − Q2 = 50.86 kvar

电容

并联在电源两端的电容提供 Q = V²·ωC。

C = QC/(2πf·V²) = 50862/(2π·50·400²) = 1012 µF

答案

C = 1012 µF
13.三相电

答案: P = 10.09 kW

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，VL = √3·Vph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，IL = √3·Iph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。

视在功率

S = √3·VL·IL = √3·208·40 = 14.41 kVA

有功功率

P = S·cos φ = 14.41·0.7 = 10.09 kW

答案

P = 10.09 kW
14.三相电

答案: Cph = 583.5 µF

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，VL = √3·Vph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，IL = √3·Iph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。 功率因数校正：电容就地提供无功功率，QC = P·(tan φ1 − tan φ2)。三个电容各提供 QC/3 = V²·ω·C，其中 V 是该电容两端的电压：Δ 联结电容器组为 VL，Y 联结电容器组为 VL/√3。

补偿前后的无功功率

有功功率不变，因此每个功率因数对应确定的无功功率：Q = P·tan φ。

Q1 = 80·tan(acos 0.78) = 80·0.8023 = 64.18 kvar
Q2 = 80·tan(acos 0.95) = 80·0.3287 = 26.29 kvar

电容提供的无功功率

QC = Q1 − Q2 = 37.89 kvar

每相电容

在 Y 联结电容器组中，每个电容接在一根相线和星点之间。

V = 415/√3 = 239.6 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s
Cph = (QC/3)/(ω·V²) = 12629/(377·239.6²) = 583.5 µF

答案

Cph = 583.5 µF
15.变压器

答案: ILV = 520.8 A

理想变压器：电压之比等于匝数之比，电流之比等于匝数的反比：V₁/V₂ = N₁/N₂ = a，I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a，因此输入功率等于输出功率，V₁·I₁ = V₂·I₂。二次侧的负载阻抗 Z 从一次侧看相当于 a²·Z。

额定电流

两个绕组传输相同的视在功率。

ILV = S/V = 250000/480 = 520.8 A

答案

ILV = 520.8 A
16.变压器

答案: Pcu,fl = 537.9 W

变压器损耗：铁损（磁滞和涡流）取决于电压，在任何负载下都相同。绕组中的铜损与电流的平方成正比，因此在额定负载的 x 倍时为 x²·Pcu,fl。效率 η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu)，其中 Pout = x·S·pf。铜损等于铁损时的负载下效率最高。

输出功率和输入功率

Pout = 150·0.85 = 127.5 kW
Pin = 127500/0.99 = 128788 W

总损耗和铜损

Ploss = 128788 − 127500 = 1288 W
Pcu,fl = 1288 − 750 = 537.9 W

答案

Pcu,fl = 537.9 W

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