电工学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

新题目返回课程

在打印窗口中选择“另存为 PDF”，即可在设备上保存一份副本。

1公式与方法

串并联电阻

电阻串联
Req = R1 + R2 + …
电阻并联
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
两个电阻并联
Req = R1R2 / (R1 + R2)
欧姆定律
V = I·R
功率
P = V·I = I²R = V²/R

方法

  1. 从离端子最远的网络末端开始。
  2. 串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. 每一步之后重新画电路。
  4. 重复直到端子之间只剩一个电阻。

节点分析

基尔霍夫电流定律
ΣIin = ΣIout
支路电流
I = (Va − Vb)/R
参考节点
Vground = 0

方法

  1. 选定参考节点（地），并标出其他节点电压。
  2. 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律：流出各支路的电流等于流入的电流。
  3. 把每条支路电流表示为 (Va − Vb)/R。
  4. 解方程组，再求出所需的电流。

戴维南和诺顿

戴维南电压
Vth = Vopen circuit
戴维南电阻
Rth：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流
IN = Vth/Rth
负载电流
IL = Vth/(Rth + RL)
最大功率传输
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

方法

  1. 移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
  2. 求 a、b 之间的开路电压：这就是 Vth。
  3. 将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 Rth。
  4. 把负载接回等效电路：Vth 与 Rth 串联。
  5. 求诺顿等效电路时进行变换：IN = Vth/Rth，RN = Rth 并联。

RC 和 RL 暂态

时间常数
τ = RC | τ = L/R
响应
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
直流下的电容
开路；vC 不能突变
直流下的电感
短路；iL 不能突变
稳态
t ≈ 5τ

方法

  1. 求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
  2. 求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
  3. 求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
  4. 使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ。

交流阻抗和相量

阻抗
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
角频率
ω = 2πf
模和相角
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
相量形式的欧姆定律
V = I·Z

方法

  1. 换算频率：ω = 2πf。
  2. 求各电抗：XL = ωL，XC = 1/(ωC)。
  3. 像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
  4. 求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。

交流功率和功率因数

有功功率
P = V·I·cos φ
无功功率
Q = V·I·sin φ
视在功率
S = V·I = √(P² + Q²)
功率因数
pf = cos φ = P/S
补偿电容
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

三相电

Y 联结
VL = √3·Vph, IL = Iph
Δ 联结
VL = Vph, IL = √3·Iph
总有功功率
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
视在功率和无功功率
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
补偿电容
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
每个电容上的电压
Δ：VL Y：VL/√3
电动机输入
Pin = Pout/η

变压器

匝数比
a = N1/N2 = V1/V2
电流比
I1/I2 = N2/N1 = 1/a
额定电流
I = S/V
折算阻抗
Z1′ = a²·ZL
部分负载时的铜损
Pcu = x²·Pcu,fl
效率
η = x·S·pf/(x·S·pf + Pcore + x²·Pcu,fl)
最高效率
x = √(Pcore/Pcu,fl)

2练习题

1.串并联电阻中等
R1​ = 5 ΩIR1​R3​ = 20 Ω+−V1​24 VR2​20 ΩAR4​4 ΩB

求电源输出并流过 R1 的电流 IR1。

V1 = 24 VR1 = 5 ΩR2 = 20 ΩR3 = 20 ΩR4 = 4 Ω
IR1 = A
2.串并联电阻困难
R1​ = 30 ΩR3​ = 4 ΩR5​ = 6 Ω+−V1​10 VR2​8 ΩAR4​20 ΩBR6​10 Ω

求电源 V1 看到的等效电阻 Req。

V1 = 10 VR1 = 30 ΩR2 = 8 ΩR3 = 4 ΩR4 = 20 ΩR5 = 6 ΩR6 = 10 Ω
Req = Ω
3.节点分析中等
R1​ = 10 ΩR3​ = 2 Ω+−V1​6 VR2​12 ΩAR4​20 ΩBIs​5 A

用节点分析法求电流源 Is 输出的功率 PIs。

V1 = 6 VIs = 5 AR1 = 10 ΩR2 = 12 ΩR3 = 2 ΩR4 = 20 Ω
PIs = W
4.节点分析困难
R1​ = 10 ΩR3​ = 4 Ω+−V1​15 VR2​5 ΩAR4​15 ΩBIs​?

调节电流源，使节点 A 的电压为 VA = 20.5 V。用节点分析法求电源电流 Is（方向如图所示）。

V1 = 15 VR1 = 10 ΩR2 = 5 ΩR3 = 4 ΩR4 = 15 ΩVA = 20.5 V
Is = A
5.戴维南和诺顿中等
R1​ = 10 ΩR3​ = 6 Ω+−V1​30 VR2​2 ΩAab

求从端口 a–b 看进去的戴维南电压 Vth。

V1 = 30 VR1 = 10 ΩR2 = 2 ΩR3 = 6 Ω
Vth = V
6.戴维南和诺顿困难
R1​ = 25 ΩR3​ = 2 Ω+−V1​36 VR2​5 ΩAIs​1.5 ABRL​8 ΩIL​

在 a–b 之间接入负载 RL = 8 Ω。将电路其余部分替换为戴维南等效电路，求负载电流 IL。

V1 = 36 VIs = 1.5 AR1 = 25 ΩR2 = 5 ΩR3 = 2 ΩRL = 8 Ω
IL = A
7.RC 和 RL 暂态中等
R = 50 Ωt = 0L68 mHi(t)

电感中流过 3 A 的稳定电流。在 t = 0 开关使回路经 R 闭合并移除电源，于是电感电流经 R 衰减。 求 t = 1 ms 时的电流 i。

i(0) = 3 AR = 50 ΩL = 68 mHt = 1 ms
i = A
8.RC 和 RL 暂态困难
+−Vs​15 Vt = 0R = 3.3 kΩC220 µF+−vC​vC​(0) = 8 V

开关在 t = 0 闭合前的一瞬间，电容电压为 8 V，极性如图所示。 vC 需要多长时间达到 12.9 V？求 t。

Vs = 15 VR = 3.3 kΩC = 220 µFvC(0) = 8 V
t = ms
9.交流阻抗和相量中等
50 V500 HzR = 40 ΩL = 100 mHC = 22 µFI

一个串联 RLC 电路接在 50 V（有效值）、500 Hz 的电源上。 求从电源吸取的有功功率 P。

V = 50 V (rms)f = 500 HzR = 40 ΩL = 100 mHC = 22 µF
P = W
10.交流阻抗和相量困难
50 V50 HzR1​ = 50 ΩR2​ = 100 ΩC = 100 µF

电阻 R1 与 R2 和电容 C 的并联组合串联，接在 50 V（有效值）、50 Hz 的电源上。 求阻抗的模 |Z|。

V = 50 V (rms)f = 50 HzR1 = 50 ΩR2 = 100 ΩC = 100 µF
|Z| = Ω
11.交流功率和功率因数中等
120 VZ16 + j12 ΩI

一个阻抗为 Z = 16 + j12 Ω 的负载接在 120 V（有效值）的单相电源上。 求视在功率 S。

V = 120 VZ = 16 + j12 Ω
S = VA
12.交流功率和功率因数困难
24 V50 HzRs​ = 50 ΩXs​ = j6 ΩZL​ = ?

一个 24 V（有效值）、50 Hz 的电源具有内阻抗 Zs = 50 + j6 Ω。负载阻抗 ZL 可以自由选择。 求能传输给负载的最大有功功率 Pmax。

Vs = 24 V (rms)f = 50 HzZs = 50 + j6 Ω
Pmax = W
13.三相电中等
ABCVL​ = 208 VZ = 15 + j20 Ω每相

一个每相阻抗为 15 + j20 Ω 的对称 Δ 联结负载接在线电压为 208 V 的对称三相电源上。 求负载吸收的总有功功率 P，以 kW 计。

VL = 208 VZ = 15 + j20 Ω 每相
P = kW
14.三相电困难
P = 80 kWφ1​S1​Q2​QC​

一个对称三相负载从 690 V（线电压）、50 Hz 的电源取用 80 kW，功率因数为 0.75（滞后）。与负载并联的三相电容器组须把总功率因数提高到 0.92（滞后）。有功功率保持不变。 电容采用 Y 联结。求每个电容的电容量 Cph，以 µF 计。

P = 80 kWpf1 = 0.75pf2 = 0.92VL = 690 Vf = 50 Hz
Cph = µF
15.变压器中等
RL​ = 5 Ω21460 VV2​I1​ = ?I2​

一台匝数比 N₁:N₂ = 2:1 的理想变压器，一次绕组加 460 V 电压。二次绕组两端接一个 5 Ω 的电阻。求一次电流 I1。

N1:N2 = 2:1V1 = 460 VRL = 5 Ω
I1 = A
16.变压器困难
50 kVA

一台单相 50 kVA 变压器的铁损为 250 W，额定负载下铜损为 750 W。 在多大负载 Sη,max（以 kVA 计）时其效率最高？

S = 50 kVAPcore = 250 WPcu,fl = 750 W
Sη,max = kVA

3溶液

1.串并联电阻

答案: IR1 = 1.509 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

R1​ = 5 ΩR3​ = 20 Ω+−V1​24 VR2​20 ΩAR4​4 ΩB

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R3 + R4 = 20 + 4 = 24 Ω
R2 ∥ 24 = 20·24/(20+24) = 10.91 Ω
Req = R1 + 10.91 = 5 + 10.91 = 15.91 Ω

电源电流

电源只看到 Req，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

IR1 = V1/Req = 24/15.91 = 1.509 A

答案

IR1 = 1.509 A
2.串并联电阻

答案: Req = 34.94 Ω

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

R1​ = 30 ΩR3​ = 4 ΩR5​ = 6 Ω+−V1​10 VR2​8 ΩAR4​20 ΩBR6​10 Ω

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R5 + R6 = 6 + 10 = 16 Ω
R4 ∥ 16 = 8.889 Ω
R3 + 8.889 = 12.89 Ω
R2 ∥ 12.89 = 4.936 Ω
Req = R1 + 4.936 = 30 + 4.936 = 34.94 Ω

答案

Req = 34.94 Ω
3.节点分析

答案: PIs = 147.7 W

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

节点 A 的 KCL

经电阻流出 A 的电流等于电源注入 A 的电流。

VA/R2 + (VA − V1)/R1 + (VA − VB)/R3 = 0
VA/12 + (VA − 6)/10 + (VA − VB)/2 = 0
0.6833·VA − 0.5·VB = 0.6

节点 B 的 KCL

经电阻流出 B 的电流等于电源注入 B 的电流。

VB/R4 + (VB − VA)/R3 = Is
VB/20 + (VB − VA)/2 = 5
−0.5·VA + 0.55·VB = 5

求解

Δ = (0.6833)(0.55) − (−0.5)(−0.5) = 0.1258
VA = Δ1/Δ = 2.83/0.1258 = 22.49 V
VB = Δ2/Δ = 3.717/0.1258 = 29.54 V

电流源输出的功率

电源把 Iₛ 从地（0 V）向上注入节点 B，即升到 VB。电流从其 + 端流出的电源输出功率 P = V·I。

PIs = VB·Is = 29.54·5 = 147.7 W

答案

PIs = 147.7 W
4.节点分析

答案: Is = 7.257 A

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

节点 A 的 KCL

VA 已知，所以这个方程给出 VB。

(VA − V1)/R1 + VA/R2 + (VA − VB)/R3 = 0
(20.5 − 15)/10 + 20.5/5 = (VB − 20.5)/4
4.65 = (VB − 20.5)/4 → VB = 39.1 V

节点 B 的 KCL

经电阻从 B 流出的电流等于电源注入 B 的电流。

Is = (VB − VA)/R3 + VB/R4 = (39.1 − 20.5)/4 + 39.1/15 = 7.257 A

答案

Is = 7.257 A
5.戴维南和诺顿

答案: Vth = 5 V

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 10 ΩR3​ = 6 Ω短路R2​2 ΩAabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 10·2/(10+2) = 1.667 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 1.667 + 6 = 7.667 Ω
R1​ = 10 ΩR3​ = 6 Ω+−V1​30 VR2​2 ΩAab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时 R₃ 中没有电流，因此其上无压降，V_b = V_A。R₁ 和 R₂ 构成分压电路。

Vth = V1·R2/(R1+R2) = 30·2/(10+2) = 5 V
6.戴维南和诺顿

答案: IL = 1.076 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 25 ΩR3​ = 2 Ω短路R2​5 ΩA开路BabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 25·5/(25+5) = 4.167 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 4.167 + 2 = 6.167 Ω
R1​ = 25 ΩR3​ = 2 Ω+−V1​36 VR2​5 ΩAIs​1.5 ABab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 6 + 1.5·4.167 = 12.25 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 12.25 + 1.5·2 = 15.25 V
Rth​ = 6.167 Ω+−Vth​15.25 VRL​8 ΩIL​

将负载接到戴维南等效电路上

戴维南电源与串联的 R_th 在 a–b 处的表现与原电路完全相同，因此负载看到的是一个简单串联回路。

IL = Vth/(Rth + RL) = 15.25/(6.167 + 8) = 1.076 A
7.RC 和 RL 暂态

答案: i = 1.438 A

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数

τ = L/R = 68 mH / 50 Ω = 1.36 ms

电流的衰减

i(t) = 3·e−1/1.36 = 1.438 A

答案

i = 1.438 A
8.RC 和 RL 暂态

答案: t = 874.1 ms

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

初始值、终值、时间常数

电容电压不能突变，所以它从储存值开始，趋向电源电压。

vC(0) = 8 V, vC(∞) = Vs = 15 V
τ = R·C = 3.3 kΩ · 220 µF = 726 ms
vC(t) = 15 + (8 − 15)·e−t/τ

求解时间

12.9 = 15 + (−7)·e−t/τ → e−t/τ = (12.9 − 15)/(8 − 15) = 0.3
t = τ·ln((8 − 15)/(12.9 − 15)) = 726·ln(3.333) = 874.1 ms

答案

t = 874.1 ms
9.交流阻抗和相量

答案: P = 1.094 W

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

电抗

XL = 314.2 Ω, XC = 14.47 Ω

阻抗

|Z| = √(40² + (299.7)²) = 302.3 Ω

有功功率

电感和电容只储存和释放能量；全部有功功率都由电阻吸收。

I = 50/302.3 = 0.1654 A
P = I²·R = 0.1654²·40 = 1.094 W

答案

P = 1.094 W
10.交流阻抗和相量

答案: |Z| = 65.88 Ω

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

电抗

XC = 1/(2π·50·100·10⁻⁶) = 31.83 Ω

并联组合

分子分母同乘以共轭复数，把 Zp 分成实部和虚部。

Zp = R₂·(−jXC)/(R₂ − jXC) = (R₂·XC² − jR₂²·XC)/(R₂² + XC²)
Zp = 9.2 − j28.9 Ω

总阻抗

Z = 50 + 9.2 − j28.9 = 59.2 − j28.9 Ω
|Z| = √(59.2² + 28.9²) = 65.88 Ω

答案

|Z| = 65.88 Ω
11.交流功率和功率因数

答案: S = 720 VA

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

电流

|Z| = √(16² + 12²) = 20 Ω
I = V/|Z| = 120/20 = 6 A

视在功率

S = V·I = 120·6 = 720 VA

答案

S = 720 VA
12.交流功率和功率因数

答案: Pmax = 2.88 W

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

共轭匹配

负载电抗抵消电源电抗，负载电阻等于电源电阻。

ZL = Zs* = 50 − j6 Ω

最大功率

I = Vs/(2Rs) = 24/100 = 0.24 A
Pmax = I²·RL = Vs²/(4Rs) = 24²/(4·50) = 2.88 W

答案

Pmax = 2.88 W
13.三相电

答案: P = 3.115 kW

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，VL = √3·Vph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，IL = √3·Iph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。

相电压

Vph = VL = 208 V

相电流

|Z| = √(15² + 20²) = 25 Ω
Iph = 208/25 = 8.32 A

总有功功率

只有每个阻抗的电阻部分吸收有功功率。

P = 3·Iph²·R = 3·8.32²·15 = 3.115 kW

答案

P = 3.115 kW

验算：cos φ = R/|Z| = 0.6，用 √3·VL·IL·cos φ 得到相同的功率。

14.三相电

答案: Cph = 243.9 µF

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，VL = √3·Vph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，IL = √3·Iph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。 功率因数校正：电容就地提供无功功率，QC = P·(tan φ1 − tan φ2)。三个电容各提供 QC/3 = V²·ω·C，其中 V 是该电容两端的电压：Δ 联结电容器组为 VL，Y 联结电容器组为 VL/√3。

补偿前后的无功功率

有功功率不变，因此每个功率因数对应确定的无功功率：Q = P·tan φ。

Q1 = 80·tan(acos 0.75) = 80·0.8819 = 70.55 kvar
Q2 = 80·tan(acos 0.92) = 80·0.426 = 34.08 kvar

电容提供的无功功率

QC = Q1 − Q2 = 36.47 kvar

每相电容

在 Y 联结电容器组中，每个电容接在一根相线和星点之间。

V = 690/√3 = 398.4 V, ω = 2π·50 = 314.2 rad/s
Cph = (QC/3)/(ω·V²) = 12158/(314.2·398.4²) = 243.9 µF

答案

Cph = 243.9 µF
15.变压器

答案: I1 = 23 A

理想变压器：电压之比等于匝数之比，电流之比等于匝数的反比：V₁/V₂ = N₁/N₂ = a，I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a，因此输入功率等于输出功率，V₁·I₁ = V₂·I₂。二次侧的负载阻抗 Z 从一次侧看相当于 a²·Z。

二次电压和电流

V2 = 460/2 = 230 V
I2 = 230/5 = 46 A

一次电流

理想变压器没有损耗：V₁·I₁ = V₂·I₂。

I1 = I2/2 = 23 A

答案

I1 = 23 A

验算：从一次侧看负载为 a²·RL = 20 Ω，460/20 得到相同的电流。

16.变压器

答案: Sη,max = 28.87 kVA

变压器损耗：铁损（磁滞和涡流）取决于电压，在任何负载下都相同。绕组中的铜损与电流的平方成正比，因此在额定负载的 x 倍时为 x²·Pcu,fl。效率 η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu)，其中 Pout = x·S·pf。铜损等于铁损时的负载下效率最高。

铜损等于铁损

x²·750 = 250 → x = √(250/750) = 0.5774

最高效率时的负载

Sη,max = x·S = 0.5774·50 = 28.87 kVA

答案

Sη,max = 28.87 kVA

ExamProblems · examproblems.com/courses/electrical-engineering-fundamentals