电工学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

新题目返回课程

在打印窗口中选择“另存为 PDF”，即可在设备上保存一份副本。

1公式与方法

串并联电阻

电阻串联
Req = R1 + R2 + …
电阻并联
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
两个电阻并联
Req = R1R2 / (R1 + R2)
欧姆定律
V = I·R
功率
P = V·I = I²R = V²/R

方法

  1. 从离端子最远的网络末端开始。
  2. 串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. 每一步之后重新画电路。
  4. 重复直到端子之间只剩一个电阻。

节点分析

基尔霍夫电流定律
ΣIin = ΣIout
支路电流
I = (Va − Vb)/R
参考节点
Vground = 0

方法

  1. 选定参考节点（地），并标出其他节点电压。
  2. 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律：流出各支路的电流等于流入的电流。
  3. 把每条支路电流表示为 (Va − Vb)/R。
  4. 解方程组，再求出所需的电流。

戴维南和诺顿

戴维南电压
Vth = Vopen circuit
戴维南电阻
Rth：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流
IN = Vth/Rth
负载电流
IL = Vth/(Rth + RL)
最大功率传输
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

方法

  1. 移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
  2. 求 a、b 之间的开路电压：这就是 Vth。
  3. 将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 Rth。
  4. 把负载接回等效电路：Vth 与 Rth 串联。
  5. 求诺顿等效电路时进行变换：IN = Vth/Rth，RN = Rth 并联。

RC 和 RL 暂态

时间常数
τ = RC | τ = L/R
响应
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
直流下的电容
开路；vC 不能突变
直流下的电感
短路；iL 不能突变
稳态
t ≈ 5τ

方法

  1. 求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
  2. 求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
  3. 求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
  4. 使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ。

交流阻抗和相量

阻抗
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
角频率
ω = 2πf
模和相角
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
相量形式的欧姆定律
V = I·Z

方法

  1. 换算频率：ω = 2πf。
  2. 求各电抗：XL = ωL，XC = 1/(ωC)。
  3. 像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
  4. 求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。

交流功率和功率因数

有功功率
P = V·I·cos φ
无功功率
Q = V·I·sin φ
视在功率
S = V·I = √(P² + Q²)
功率因数
pf = cos φ = P/S
补偿电容
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

三相电

Y 联结
VL = √3·Vph, IL = Iph
Δ 联结
VL = Vph, IL = √3·Iph
总有功功率
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
视在功率和无功功率
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
补偿电容
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
每个电容上的电压
Δ：VL Y：VL/√3
电动机输入
Pin = Pout/η

变压器

匝数比
a = N1/N2 = V1/V2
电流比
I1/I2 = N2/N1 = 1/a
额定电流
I = S/V
折算阻抗
Z1′ = a²·ZL
部分负载时的铜损
Pcu = x²·Pcu,fl
效率
η = x·S·pf/(x·S·pf + Pcore + x²·Pcu,fl)
最高效率
x = √(Pcore/Pcu,fl)

2练习题

1.串并联电阻中等
R1​ = 8 ΩR3​ = 5 Ω+−V1​6 VR2​8 ΩAR4​5 ΩB

求电源 V1 看到的等效电阻 Req。

V1 = 6 VR1 = 8 ΩR2 = 8 ΩR3 = 5 ΩR4 = 5 Ω
Req = Ω
2.串并联电阻困难
R1​ = 4 ΩIR1​R3​ = 8 ΩR5​ = 10 Ω+−V1​12 VR2​8 ΩAR4​6 ΩBR6​20 Ω

求电源输出并流过 R1 的电流 IR1。

V1 = 12 VR1 = 4 ΩR2 = 8 ΩR3 = 8 ΩR4 = 6 ΩR5 = 10 ΩR6 = 20 Ω
IR1 = A
3.节点分析中等
R1​ = 2 ΩR3​ = 3 Ω+−V1​6 VR2​2 ΩAR4​20 ΩBIs​4 A

用节点分析法求电流源 Is 输出的功率 PIs。

V1 = 6 VIs = 4 AR1 = 2 ΩR2 = 2 ΩR3 = 3 ΩR4 = 20 Ω
PIs = W
4.节点分析困难
R1​ = 8 ΩR2​ = 25 ΩR4​ = 20 Ω+−V1​24 VR3​30 ΩAR5​8 ΩBIs​3 A+−V2​24 V

用节点分析法求 节点电压 VA（相对于地）。

V1 = 24 VIs = 3 AV2 = 24 VR1 = 8 ΩR2 = 25 ΩR3 = 30 ΩR4 = 20 ΩR5 = 8 Ω
VA = V
5.戴维南和诺顿中等
R1​ = 4 ΩR3​ = 8 Ω+−V1​18 VR2​10 ΩAab

求从端口 a–b 看进去的戴维南电阻 Rth。

V1 = 18 VR1 = 4 ΩR2 = 10 ΩR3 = 8 Ω
Rth = Ω
6.戴维南和诺顿困难
R1​ = 30 ΩR3​ = 2 Ω+−V1​30 VR2​10 ΩAIs​2 ABRL​5 ΩIL​

在 a–b 之间接入负载 RL = 5 Ω。将电路其余部分替换为戴维南等效电路，求负载电流 IL。

V1 = 30 VIs = 2 AR1 = 30 ΩR2 = 10 ΩR3 = 2 ΩRL = 5 Ω
IL = A
7.RC 和 RL 暂态中等
+−Vs​6 Vt = 0R = 50 ΩL68 mHi(t)

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。 求 t = 1 ms 时的电流 i。

Vs = 6 VR = 50 ΩL = 68 mHt = 1 ms
i = A
8.RC 和 RL 暂态困难
+−Vs​12 V在 t = 0 断开R1​ = 2.2 kΩR2​ = 6.8 kΩC10 µF+−vC​

开关已闭合很长时间，所以电路处于稳态。在 t = 0 开关断开。 求 t = 50 ms 时的电容电压 vC。

Vs = 12 VR1 = 2.2 kΩR2 = 6.8 kΩC = 10 µFt = 50 ms
vC = V
9.交流阻抗和相量中等
24 V200 HzR = 40 ΩL = 200 mHC = 2.2 µF

一个串联 RLC 电路接在 24 V（有效值）、200 Hz 的电源上。 求阻抗的相角 φ，以度为单位（电流滞后电压时为正）。

V = 24 V (rms)f = 200 HzR = 40 ΩL = 200 mHC = 2.2 µF
φ = °
10.交流阻抗和相量困难
VfR = 20 ΩL = 1 mHC = 0.047 µF

一个 RLC 串联电路的 R = 20 Ω，L = 1 mH，C = 0.047 µF。 求其谐振时的品质因数 Q。

R = 20 ΩL = 1 mHC = 0.047 µF
Q =
11.交流功率和功率因数中等
240 V124 kW, 0.629 kW, 0.85I = ?

两个负载并联接在 240 V 的单相电源上：一个 24 kW、功率因数为 0.6（滞后）的负载，以及一个 9 kW、功率因数为 0.85（超前）的负载。 求从电源吸取的总电流 I。

V = 240 VP1 = 24 kW, pf1 = 0.6 滞后P2 = 9 kW, pf2 = 0.85 超前
I = A
12.交流功率和功率因数困难
P1​ = 5 kWQ1​S1​φ

一台 15 kVA 的单相变压器为一个 5 kW、功率因数为 0.7（滞后）的负载供电。在变压器达到其额定 kVA 之前，还能再增加多少电阻性（功率因数为 1）负载的有功功率 ΔP？

Smax = 15 kVAP1 = 5 kWpf1 = 0.7
ΔP = kW
13.三相电中等
ABCVL​ = 400 VIL​ = 40 Acos φ = 0.95滞后

一个对称三相负载从线电压为 400 V 的电源取用 40 A 的线电流，功率因数为 0.95（滞后）。求负载取用的总有功功率 P，以 kW 计。

VL = 400 VIL = 40 Acos φ = 0.95
P = kW
14.三相电困难
P = 250 kWφ1​S1​Q2​QC​

一个对称三相负载从 480 V（线电压）、60 Hz 的电源取用 250 kW，功率因数为 0.8（滞后）。与负载并联的三相电容器组须把总功率因数提高到 0.92（滞后）。有功功率保持不变。 电容采用 Δ 联结。求每个电容的电容量 Cph，以 µF 计。

P = 250 kWpf1 = 0.8pf2 = 0.92VL = 480 Vf = 60 Hz
Cph = µF
15.变压器中等
6600 V230 VIHV​ILV​ = ?75 kVA

一台单相 75 kVA、6600/230 V 变压器在额定负载下运行，视为理想变压器。求低压绕组中的电流 ILV。

S = 75 kVAV1 = 6600 VV2 = 230 V
ILV = A
16.变压器困难
pf 0.95100 kVA, η = 97%

一台单相 100 kVA 变压器的铁损为 300 W。 在额定负载、功率因数为 0.95（滞后）时，其效率为 97%。求满载铜损 Pcu,fl，以 W 计。

S = 100 kVAPcore = 300 Wpf = 0.95η = 97%
Pcu,fl = W

3溶液

1.串并联电阻

答案: Req = 12.44 Ω

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

R1​ = 8 ΩR3​ = 5 Ω+−V1​6 VR2​8 ΩAR4​5 ΩB

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R3 + R4 = 5 + 5 = 10 Ω
R2 ∥ 10 = 8·10/(8+10) = 4.444 Ω
Req = R1 + 4.444 = 8 + 4.444 = 12.44 Ω

答案

Req = 12.44 Ω
2.串并联电阻

答案: IR1 = 1.34 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

R1​ = 4 ΩR3​ = 8 ΩR5​ = 10 Ω+−V1​12 VR2​8 ΩAR4​6 ΩBR6​20 Ω

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R5 + R6 = 10 + 20 = 30 Ω
R4 ∥ 30 = 5 Ω
R3 + 5 = 13 Ω
R2 ∥ 13 = 4.952 Ω
Req = R1 + 4.952 = 4 + 4.952 = 8.952 Ω

电源电流

电源只看到 Req，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

IR1 = V1/Req = 12/8.952 = 1.34 A

答案

IR1 = 1.34 A
3.节点分析

答案: PIs = 63.33 W

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

节点 A 的 KCL

经电阻流出 A 的电流等于电源注入 A 的电流。

VA/R2 + (VA − V1)/R1 + (VA − VB)/R3 = 0
VA/2 + (VA − 6)/2 + (VA − VB)/3 = 0
1.333·VA − 0.3333·VB = 3

节点 B 的 KCL

经电阻流出 B 的电流等于电源注入 B 的电流。

VB/R4 + (VB − VA)/R3 = Is
VB/20 + (VB − VA)/3 = 4
−0.3333·VA + 0.3833·VB = 4

求解

Δ = (1.333)(0.3833) − (−0.3333)(−0.3333) = 0.4
VA = Δ1/Δ = 2.483/0.4 = 6.208 V
VB = Δ2/Δ = 6.333/0.4 = 15.83 V

电流源输出的功率

电源把 Iₛ 从地（0 V）向上注入节点 B，即升到 VB。电流从其 + 端流出的电源输出功率 P = V·I。

PIs = VB·Is = 15.83·4 = 63.33 W

答案

PIs = 63.33 W
4.节点分析

答案: VA = 13.96 V

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

R1​ = 8 ΩR2​ = 25 ΩR4​ = 20 Ω+−V1​24 VR3​30 ΩAR5​8 ΩBIs​3 A+−V2​24 V

设定节点

地为底部导线。已知节点电压直接来自电源（V1 = 24 V, V2 = 24 V）。未知量：VA, VB。

节点 A 的 KCL

经电阻流出 A 的电流等于电源注入 A 的电流。

VA/R3 + (VA − V1)/R1 + (VA − VB)/R2 = 0
VA/30 + (VA − 24)/8 + (VA − VB)/25 = 0
0.1983·VA − 0.04·VB = 3

节点 B 的 KCL

经电阻流出 B 的电流等于电源注入 B 的电流。

VB/R5 + (VB − VA)/R2 + (VB − V2)/R4 = Is
VB/8 + (VB − VA)/25 + (VB − 24)/20 = (−3)
−0.04·VA + 0.215·VB = −1.8

求解

Δ = (0.1983)(0.215) − (−0.04)(−0.04) = 0.04104
VA = Δ1/Δ = 0.573/0.04104 = 13.96 V
VB = Δ2/Δ = −0.237/0.04104 = −5.775 V

答案

VA = 13.96 V
5.戴维南和诺顿

答案: Rth = 10.86 Ω

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 4 ΩR3​ = 8 Ω短路R2​10 ΩAabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 4·10/(4+10) = 2.857 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 2.857 + 8 = 10.86 Ω
6.戴维南和诺顿

答案: IL = −0.7931 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 30 ΩR3​ = 2 Ω短路R2​10 ΩA开路BabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 30·10/(30+10) = 7.5 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 7.5 + 2 = 9.5 Ω
R1​ = 30 ΩR3​ = 2 Ω+−V1​30 VR2​10 ΩAIs​2 ABab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 7.5 + (−2)·7.5 = −7.5 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = −7.5 + (−2)·2 = −11.5 V
Rth​ = 9.5 Ω−+Vth​11.5 VRL​5 ΩIL​

将负载接到戴维南等效电路上

戴维南电源与串联的 R_th 在 a–b 处的表现与原电路完全相同，因此负载看到的是一个简单串联回路。

IL = Vth/(Rth + RL) = −11.5/(9.5 + 5) = −0.7931 A
7.RC 和 RL 暂态

答案: i = 0.06248 A

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 68 mH / 50 Ω = 1.36 ms
i(∞) = Vs/R = 6/50 = 0.12 A

给定时刻的电流

i(t) = i(∞)·(1 − e−t/τ) = 0.12·(1 − e−1/1.36) = 0.06248 A

答案

i = 0.06248 A
8.RC 和 RL 暂态

答案: vC = 4.346 V

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

电容的初始电压

稳态时电容相当于开路，所以 R₁ 和 R₂ 构成分压器。开关断开时电容电压不能突变。

vC(0) = 12·6.8/(2.2 + 6.8) = 9.067 V

开关断开后的时间常数

τ = R2·C = 6.8·10 = 68 ms

放电

vC(t) = 9.067·e−50/68 = 4.346 V

答案

vC = 4.346 V
9.交流阻抗和相量

答案: φ = −70.08 °

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

电抗

ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s
XL = ωL = 1257·0.2 = 251.3 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(1257·2.2·10⁻⁶) = 361.7 Ω

阻抗

串联时阻抗按复数相加：Z = R + j(XL − XC)。

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(40² + (−110.4)²) = 117.4 Ω

相角

φ = arctan((XL − XC)/R) = arctan(−110.4/40) = −70.08°

答案

φ = −70.08°
10.交流阻抗和相量

答案: Q = 7.293

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

谐振频率

f0 = 1/(2π·√(0.001·0.047·10⁻⁶)) = 23215 Hz

品质因数

Q 把谐振时的电抗与电阻进行比较：Q = ω₀L/R。

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/20)·√(0.001/(0.047·10⁻⁶)) = 7.293

答案

Q = 7.293
11.交流功率和功率因数

答案: I = 176.1 A

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

每个负载的无功功率

滞后负载吸收无功功率 (Q > 0)；超前负载发出无功功率 (Q < 0)。

Q1 = 24·tan(arccos 0.6) = 32 kvar
Q2 = −9·tan(arccos 0.85) = −5.578 kvar

总计

P = 24 + 9 = 33 kW
Q = 32 + (−5.578) = 26.42 kvar
S = √(33² + 26.42²) = 42.27 kVA

总电流

I = S/V = 42275/240 = 176.1 A

答案

I = 176.1 A
12.交流功率和功率因数

答案: ΔP = 9.106 kW

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

现有负载的无功功率

Q1 = 5·tan(arccos 0.7) = 5.101 kvar

最大总有功功率

满额定时 S = Smax，而电阻性负载不改变 Q。

P = √(Smax² − Q1²) = √(15² − 5.101²) = 14.11 kW

增加的有功功率

ΔP = 14.11 − 5 = 9.106 kW

答案

ΔP = 9.106 kW
13.三相电

答案: P = 26.33 kW

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，VL = √3·Vph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，IL = √3·Iph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。

视在功率

S = √3·VL·IL = √3·400·40 = 27.71 kVA

有功功率

P = S·cos φ = 27.71·0.95 = 26.33 kW

答案

P = 26.33 kW
14.三相电

答案: Cph = 310.9 µF

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，VL = √3·Vph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，IL = √3·Iph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。 功率因数校正：电容就地提供无功功率，QC = P·(tan φ1 − tan φ2)。三个电容各提供 QC/3 = V²·ω·C，其中 V 是该电容两端的电压：Δ 联结电容器组为 VL，Y 联结电容器组为 VL/√3。

补偿前后的无功功率

有功功率不变，因此每个功率因数对应确定的无功功率：Q = P·tan φ。

Q1 = 250·tan(acos 0.8) = 250·0.75 = 187.5 kvar
Q2 = 250·tan(acos 0.92) = 250·0.426 = 106.5 kvar

电容提供的无功功率

QC = Q1 − Q2 = 81 kvar

每相电容

在 Δ 联结电容器组中，每个电容接在两根相线之间。

V = 480 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s
Cph = (QC/3)/(ω·V²) = 27000/(377·480²) = 310.9 µF

答案

Cph = 310.9 µF
15.变压器

答案: ILV = 326.1 A

理想变压器：电压之比等于匝数之比，电流之比等于匝数的反比：V₁/V₂ = N₁/N₂ = a，I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a，因此输入功率等于输出功率，V₁·I₁ = V₂·I₂。二次侧的负载阻抗 Z 从一次侧看相当于 a²·Z。

额定电流

两个绕组传输相同的视在功率。

ILV = S/V = 75000/230 = 326.1 A

答案

ILV = 326.1 A
16.变压器

答案: Pcu,fl = 2638 W

变压器损耗：铁损（磁滞和涡流）取决于电压，在任何负载下都相同。绕组中的铜损与电流的平方成正比，因此在额定负载的 x 倍时为 x²·Pcu,fl。效率 η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu)，其中 Pout = x·S·pf。铜损等于铁损时的负载下效率最高。

输出功率和输入功率

Pout = 100·0.95 = 95 kW
Pin = 95000/0.97 = 97938 W

总损耗和铜损

Ploss = 97938 − 95000 = 2938 W
Pcu,fl = 2938 − 300 = 2638 W

答案

Pcu,fl = 2638 W

ExamProblems · examproblems.com/courses/electrical-engineering-fundamentals