电工学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

串并联电阻

电阻串联
Req = R1 + R2 + …
电阻并联
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
两个电阻并联
Req = R1R2 / (R1 + R2)
欧姆定律
V = I·R
功率
P = V·I = I²R = V²/R

方法

  1. 从离端子最远的网络末端开始。
  2. 串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. 每一步之后重新画电路。
  4. 重复直到端子之间只剩一个电阻。

节点分析

基尔霍夫电流定律
ΣIin = ΣIout
支路电流
I = (Va − Vb)/R
参考节点
Vground = 0

方法

  1. 选定参考节点（地），并标出其他节点电压。
  2. 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律：流出各支路的电流等于流入的电流。
  3. 把每条支路电流表示为 (Va − Vb)/R。
  4. 解方程组，再求出所需的电流。

戴维南和诺顿

戴维南电压
Vth = Vopen circuit
戴维南电阻
Rth：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流
IN = Vth/Rth
负载电流
IL = Vth/(Rth + RL)
最大功率传输
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

方法

  1. 移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
  2. 求 a、b 之间的开路电压：这就是 Vth。
  3. 将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 Rth。
  4. 把负载接回等效电路：Vth 与 Rth 串联。
  5. 求诺顿等效电路时进行变换：IN = Vth/Rth，RN = Rth 并联。

RC 和 RL 暂态

时间常数
τ = RC | τ = L/R
响应
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
直流下的电容
开路；vC 不能突变
直流下的电感
短路；iL 不能突变
稳态
t ≈ 5τ

方法

  1. 求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
  2. 求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
  3. 求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
  4. 使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ。

交流阻抗和相量

阻抗
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
角频率
ω = 2πf
模和相角
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
相量形式的欧姆定律
V = I·Z

方法

  1. 换算频率：ω = 2πf。
  2. 求各电抗：XL = ωL，XC = 1/(ωC)。
  3. 像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
  4. 求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。

交流功率和功率因数

有功功率
P = V·I·cos φ
无功功率
Q = V·I·sin φ
视在功率
S = V·I = √(P² + Q²)
功率因数
pf = cos φ = P/S
补偿电容
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

三相电

Y 联结
VL = √3·Vph, IL = Iph
Δ 联结
VL = Vph, IL = √3·Iph
总有功功率
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
视在功率和无功功率
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
补偿电容
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
每个电容上的电压
Δ：VL Y：VL/√3
电动机输入
Pin = Pout/η

变压器

匝数比
a = N1/N2 = V1/V2
电流比
I1/I2 = N2/N1 = 1/a
额定电流
I = S/V
折算阻抗
Z1′ = a²·ZL
部分负载时的铜损
Pcu = x²·Pcu,fl
效率
η = x·S·pf/(x·S·pf + Pcore + x²·Pcu,fl)
最高效率
x = √(Pcore/Pcu,fl)

2练习题

1.串并联电阻中等
R1​ = 15 ΩIR1​R3​ = 20 Ω+−V1​30 VR2​10 ΩAR4​2 ΩB

求电源输出并流过 R1 的电流 IR1。

V1 = 30 VR1 = 15 ΩR2 = 10 ΩR3 = 20 ΩR4 = 2 Ω
IR1 = A
2.串并联电阻困难
R1​ = 15 ΩR3​ = 6 ΩR5​ = 30 Ω+−V1​10 VR2​8 ΩIR2​AR4​6 ΩBR6​6 Ω

求流过 R2 的电流 IR2。

V1 = 10 VR1 = 15 ΩR2 = 8 ΩR3 = 6 ΩR4 = 6 ΩR5 = 30 ΩR6 = 6 Ω
IR2 = A
3.节点分析中等
R1​ = 6 ΩR3​ = 3 ΩIR3​+−V1​30 VR2​8 ΩAR4​20 ΩBIs​3 A

用节点分析法求 沿箭头方向流过 R3 的电流 IR3。

V1 = 30 VIs = 3 AR1 = 6 ΩR2 = 8 ΩR3 = 3 ΩR4 = 20 Ω
IR3 = A
4.节点分析困难
R1​ = 6 Ω+−Vs​ = 10 V+−V1​9 VR2​2 ΩAR3​4 ΩBIs​1.5 A

A 与 B 之间的电压源 Vₛ 的 + 端在 A，所以它使 VA − VB = Vₛ。 用含超节点的节点分析法求 节点电压 VA（相对于地）。

V1 = 9 VIs = 1.5 AVs = 10 VR1 = 6 ΩR2 = 2 ΩR3 = 4 Ω
VA = V
5.戴维南和诺顿中等
R1​ = 20 ΩR3​ = 20 Ω+−V1​15 VR2​4 ΩAab

求从端口 a–b 看进去的戴维南电压 Vth。

V1 = 15 VR1 = 20 ΩR2 = 4 ΩR3 = 20 Ω
Vth = V
6.戴维南和诺顿困难
R1​ = 3 ΩR3​ = 2 Ω+−V1​9 VR2​6 ΩAIs​6 ABRL​10 ΩIL​

在 a–b 之间接入负载 RL = 10 Ω。利用戴维南等效电路求负载获得的功率 PL。

V1 = 9 VIs = 6 AR1 = 3 ΩR2 = 6 ΩR3 = 2 ΩRL = 10 Ω
PL = W
7.RC 和 RL 暂态中等
+−Vs​6 Vt = 0R = 50 ΩL220 mHi(t)

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。 开关闭合后多长时间电流达到终值的 50%？求 t。

Vs = 6 VR = 50 ΩL = 220 mH
t = ms
8.RC 和 RL 暂态困难
+−Vs​15 Vt = 0R = 6.8 kΩC220 µF+−vC​vC​(0) = 18 V

开关在 t = 0 闭合前的一瞬间，电容电压为 18 V，极性如图所示。 vC 需要多长时间达到 17.1 V？求 t。

Vs = 15 VR = 6.8 kΩC = 220 µFvC(0) = 18 V
t = ms
9.交流阻抗和相量中等
24 V500 HzR = 60 ΩL = 20 mHC = 22 µFI

一个串联 RLC 电路接在 24 V（有效值）、500 Hz 的电源上。 求从电源吸取的有功功率 P。

V = 24 V (rms)f = 500 HzR = 60 ΩL = 20 mHC = 22 µF
P = W
10.交流阻抗和相量困难
50 V50 HzR1​ = 20 ΩR2​ = 60 ΩC = 22 µF

电阻 R1 与 R2 和电容 C 的并联组合串联，接在 50 V（有效值）、50 Hz 的电源上。 求阻抗的模 |Z|。

V = 50 V (rms)f = 50 HzR1 = 20 ΩR2 = 60 ΩC = 22 µF
|Z| = Ω
11.交流功率和功率因数中等
P = 23 kWQSφ

一台单相电动机从 400 V 电源吸取 23 kW，功率因数为 0.75（滞后）。 求线路电流 I。

P = 23 kWpf = 0.75V = 400 V
I = A
12.交流功率和功率因数困难
P1​ = 76 kWQ1​S1​φ

一台 200 kVA 的单相变压器为一个 76 kW、功率因数为 0.85（滞后）的负载供电。在变压器达到其额定 kVA 之前，还能再增加多少电阻性（功率因数为 1）负载的有功功率 ΔP？

Smax = 200 kVAP1 = 76 kWpf1 = 0.85
ΔP = kW
13.三相电中等
ABCVL​ = 480 VIL​ = 25 Acos φ = 0.9滞后

一个对称三相负载从线电压为 480 V 的电源取用 25 A 的线电流，功率因数为 0.9（滞后）。求负载取用的总有功功率 P，以 kW 计。

VL = 480 VIL = 25 Acos φ = 0.9
P = kW
14.三相电困难
P = 200 kWφ1​S1​Q2​QC​

一个对称三相负载从 400 V（线电压）、60 Hz 的电源取用 200 kW，功率因数为 0.65（滞后）。与负载并联的三相电容器组须把总功率因数提高到 0.9（滞后）。有功功率保持不变。 电容采用 Δ 联结。求每个电容的电容量 Cph，以 µF 计。

P = 200 kWpf1 = 0.65pf2 = 0.9VL = 400 Vf = 60 Hz
Cph = µF
15.变压器中等
16 Ω31

一个 16 Ω 的电阻接在匝数比 N₁:N₂ = 3:1 的理想变压器二次绕组两端。求从一次绕组看进去的电阻 R1′。

N1:N2 = 3:1RL = 16 Ω
R1′ = Ω
16.变压器困难
pf 0.8200 kVA, 25% 负载

一台单相 200 kVA 变压器的铁损为 600 W，额定负载下铜损为 2400 W。 它以 0.8（滞后）的功率因数提供额定 kVA 的 25%。求此负载下的总损耗 Ploss，以 W 计。

S = 200 kVAPcore = 600 WPcu,fl = 2400 Wx = 0.25pf = 0.8
Ploss = W

3溶液

1.串并联电阻

答案: IR1 = 1.371 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

R1​ = 15 ΩR3​ = 20 Ω+−V1​30 VR2​10 ΩAR4​2 ΩB

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R3 + R4 = 20 + 2 = 22 Ω
R2 ∥ 22 = 10·22/(10+22) = 6.875 Ω
Req = R1 + 6.875 = 15 + 6.875 = 21.88 Ω

电源电流

电源只看到 Req，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

IR1 = V1/Req = 30/21.88 = 1.371 A

答案

IR1 = 1.371 A
2.串并联电阻

答案: IR2 = 0.2961 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

R1​ = 15 ΩR3​ = 6 ΩR5​ = 30 Ω+−V1​10 VR2​8 ΩAR4​6 ΩBR6​6 Ω

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R5 + R6 = 30 + 6 = 36 Ω
R4 ∥ 36 = 5.143 Ω
R3 + 5.143 = 11.14 Ω
R2 ∥ 11.14 = 4.657 Ω
Req = R1 + 4.657 = 15 + 4.657 = 19.66 Ω

电源电流

电源只看到 Req，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

IR1 = V1/Req = 10/19.66 = 0.5087 A

流过 R₂ 的电流

减去 R₁ 上的压降得到节点 A 的电压，即 R₂ 两端的电压。

VA = V1 − IR1·R1 = 10 − 0.5087·15 = 2.369 V
IR2 = VA/R2 = 2.369/8 = 0.2961 A

答案

IR2 = 0.2961 A
3.节点分析

答案: IR3 = −1.622 A

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

R1​ = 6 ΩR3​ = 3 Ω+−V1​30 VR2​8 ΩAR4​20 ΩBIs​3 A

设定节点

地为底部导线。已知节点电压直接来自电源（V1 = 30 V）。未知量：VA, VB。

节点 A 的 KCL

经电阻流出 A 的电流等于电源注入 A 的电流。

VA/R2 + (VA − V1)/R1 + (VA − VB)/R3 = 0
VA/8 + (VA − 30)/6 + (VA − VB)/3 = 0
0.625·VA − 0.3333·VB = 5

节点 B 的 KCL

经电阻流出 B 的电流等于电源注入 B 的电流。

VB/R4 + (VB − VA)/R3 = Is
VB/20 + (VB − VA)/3 = 3
−0.3333·VA + 0.3833·VB = 3

求解

Δ = (0.625)(0.3833) − (−0.3333)(−0.3333) = 0.1285
VA = Δ1/Δ = 2.917/0.1285 = 22.7 V
VB = Δ2/Δ = 3.542/0.1285 = 27.57 V

答案

IR3 = (VA − VB)/R3 = (22.7 − 27.57)/3 = −1.622 A
4.节点分析

答案: VA = 6 V

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

构成超节点

A 与 B 之间的电压源中的电流未知，所以不能分别在 A 或 B 单独列 KCL。把 A、B 和电压源一起包成一个超节点：流入它的电流等于流出它的电流。

VB = VA − 10
(VA − V1)/R1 + VA/R2 + VB/R3 = Is

求解

(VA − 9)/6 + VA/2 + (VA − 10)/4 = 1.5
VA·(1/6 + 1/2 + 1/4) = 1.5 + 9/6 + 10/4 = 5.5
VA = 5.5/0.9167 = 6 V
VB = −4 V

答案

VA = 6 V
5.戴维南和诺顿

答案: Vth = 2.5 V

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 20 ΩR3​ = 20 Ω短路R2​4 ΩAabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 20·4/(20+4) = 3.333 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 3.333 + 20 = 23.33 Ω
R1​ = 20 ΩR3​ = 20 Ω+−V1​15 VR2​4 ΩAab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时 R₃ 中没有电流，因此其上无压降，V_b = V_A。R₁ 和 R₂ 构成分压电路。

Vth = V1·R2/(R1+R2) = 15·4/(20+4) = 2.5 V
6.戴维南和诺顿

答案: PL = 16.53 W

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 3 ΩR3​ = 2 Ω短路R2​6 ΩA开路BabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 3·6/(3+6) = 2 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 2 + 2 = 4 Ω
R1​ = 3 ΩR3​ = 2 Ω+−V1​9 VR2​6 ΩAIs​6 ABab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 6 + (−6)·2 = −6 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = −6 + (−6)·2 = −18 V
Rth​ = 4 Ω−+Vth​18 VRL​10 ΩIL​

将负载接到戴维南等效电路上

戴维南电源与串联的 R_th 在 a–b 处的表现与原电路完全相同，因此负载看到的是一个简单串联回路。

IL = Vth/(Rth + RL) = −18/(4 + 10) = −1.286 A
PL = IL²·RL = −1.286²·10 = 16.53 W
7.RC 和 RL 暂态

答案: t = 3.05 ms

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 220 mH / 50 Ω = 4.4 ms
i(∞) = Vs/R = 6/50 = 0.12 A

求解时间

0.5 = 1 − e−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0.5)
t = −4.4·ln(0.5) = 3.05 ms

答案

t = 3.05 ms
8.RC 和 RL 暂态

答案: t = 533.6 ms

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

初始值、终值、时间常数

电容电压不能突变，所以它从储存值开始，趋向电源电压。

vC(0) = 18 V, vC(∞) = Vs = 15 V
τ = R·C = 6.8 kΩ · 220 µF = 1496 ms
vC(t) = 15 + (18 − 15)·e−t/τ

求解时间

17.1 = 15 + (3)·e−t/τ → e−t/τ = (17.1 − 15)/(18 − 15) = 0.7
t = τ·ln((18 − 15)/(17.1 − 15)) = 1496·ln(1.429) = 533.6 ms

答案

t = 533.6 ms
9.交流阻抗和相量

答案: P = 5.819 W

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

电抗

XL = 62.83 Ω, XC = 14.47 Ω

阻抗

|Z| = √(60² + (48.36)²) = 77.06 Ω

有功功率

电感和电容只储存和释放能量；全部有功功率都由电阻吸收。

I = 24/77.06 = 0.3114 A
P = I²·R = 0.3114²·60 = 5.819 W

答案

P = 5.819 W
10.交流阻抗和相量

答案: |Z| = 74.29 Ω

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

电抗

XC = 1/(2π·50·22·10⁻⁶) = 144.7 Ω

并联组合

分子分母同乘以共轭复数，把 Zp 分成实部和虚部。

Zp = R₂·(−jXC)/(R₂ − jXC) = (R₂·XC² − jR₂²·XC)/(R₂² + XC²)
Zp = 51.2 − j21.23 Ω

总阻抗

Z = 20 + 51.2 − j21.23 = 71.2 − j21.23 Ω
|Z| = √(71.2² + 21.23²) = 74.29 Ω

答案

|Z| = 74.29 Ω
11.交流功率和功率因数

答案: I = 76.67 A

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

线路电流

只有有功部分做功，所以要除以功率因数。

I = P/(V·cos φ) = 23000/(400·0.75) = 76.67 A

答案

I = 76.67 A
12.交流功率和功率因数

答案: ΔP = 118.4 kW

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

现有负载的无功功率

Q1 = 76·tan(arccos 0.85) = 47.1 kvar

最大总有功功率

满额定时 S = Smax，而电阻性负载不改变 Q。

P = √(Smax² − Q1²) = √(200² − 47.1²) = 194.4 kW

增加的有功功率

ΔP = 194.4 − 76 = 118.4 kW

答案

ΔP = 118.4 kW
13.三相电

答案: P = 18.71 kW

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，VL = √3·Vph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，IL = √3·Iph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。

视在功率

S = √3·VL·IL = √3·480·25 = 20.78 kVA

有功功率

P = S·cos φ = 20.78·0.9 = 18.71 kW

答案

P = 18.71 kW
14.三相电

答案: Cph = 756.9 µF

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，VL = √3·Vph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，IL = √3·Iph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。 功率因数校正：电容就地提供无功功率，QC = P·(tan φ1 − tan φ2)。三个电容各提供 QC/3 = V²·ω·C，其中 V 是该电容两端的电压：Δ 联结电容器组为 VL，Y 联结电容器组为 VL/√3。

补偿前后的无功功率

有功功率不变，因此每个功率因数对应确定的无功功率：Q = P·tan φ。

Q1 = 200·tan(acos 0.65) = 200·1.169 = 233.8 kvar
Q2 = 200·tan(acos 0.9) = 200·0.4843 = 96.86 kvar

电容提供的无功功率

QC = Q1 − Q2 = 137 kvar

每相电容

在 Δ 联结电容器组中，每个电容接在两根相线之间。

V = 400 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s
Cph = (QC/3)/(ω·V²) = 45654/(377·400²) = 756.9 µF

答案

Cph = 756.9 µF
15.变压器

答案: R1′ = 144 Ω

理想变压器：电压之比等于匝数之比，电流之比等于匝数的反比：V₁/V₂ = N₁/N₂ = a，I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a，因此输入功率等于输出功率，V₁·I₁ = V₂·I₂。二次侧的负载阻抗 Z 从一次侧看相当于 a²·Z。

折算电阻

电压升高 a 倍，电流降低 a 倍，所以比值 V/I 增大 a² 倍。

R1′ = a²·RL = 3²·16 = 144 Ω

答案

R1′ = 144 Ω
16.变压器

答案: Ploss = 750 W

变压器损耗：铁损（磁滞和涡流）取决于电压，在任何负载下都相同。绕组中的铜损与电流的平方成正比，因此在额定负载的 x 倍时为 x²·Pcu,fl。效率 η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu)，其中 Pout = x·S·pf。铜损等于铁损时的负载下效率最高。

此负载下的铜损

Pcu = x²·Pcu,fl = 0.0625·2400 = 150 W

总损耗

铁损在任何负载下都相同。

Ploss = 600 + 150 = 750 W

答案

Ploss = 750 W

此负载下的效率为 η = 98.16%。

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