电工学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

串并联电阻

电阻串联
Req = R1 + R2 + …
电阻并联
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
两个电阻并联
Req = R1R2 / (R1 + R2)
欧姆定律
V = I·R
功率
P = V·I = I²R = V²/R

方法

  1. 从离端子最远的网络末端开始。
  2. 串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. 每一步之后重新画电路。
  4. 重复直到端子之间只剩一个电阻。

节点分析

基尔霍夫电流定律
ΣIin = ΣIout
支路电流
I = (Va − Vb)/R
参考节点
Vground = 0

方法

  1. 选定参考节点（地），并标出其他节点电压。
  2. 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律：流出各支路的电流等于流入的电流。
  3. 把每条支路电流表示为 (Va − Vb)/R。
  4. 解方程组，再求出所需的电流。

戴维南和诺顿

戴维南电压
Vth = Vopen circuit
戴维南电阻
Rth：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流
IN = Vth/Rth
负载电流
IL = Vth/(Rth + RL)
最大功率传输
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

方法

  1. 移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
  2. 求 a、b 之间的开路电压：这就是 Vth。
  3. 将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 Rth。
  4. 把负载接回等效电路：Vth 与 Rth 串联。
  5. 求诺顿等效电路时进行变换：IN = Vth/Rth，RN = Rth 并联。

RC 和 RL 暂态

时间常数
τ = RC | τ = L/R
响应
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
直流下的电容
开路；vC 不能突变
直流下的电感
短路；iL 不能突变
稳态
t ≈ 5τ

方法

  1. 求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
  2. 求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
  3. 求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
  4. 使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ。

交流阻抗和相量

阻抗
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
角频率
ω = 2πf
模和相角
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
相量形式的欧姆定律
V = I·Z

方法

  1. 换算频率：ω = 2πf。
  2. 求各电抗：XL = ωL，XC = 1/(ωC)。
  3. 像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
  4. 求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。

交流功率和功率因数

有功功率
P = V·I·cos φ
无功功率
Q = V·I·sin φ
视在功率
S = V·I = √(P² + Q²)
功率因数
pf = cos φ = P/S
补偿电容
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

三相电

Y 联结
VL = √3·Vph, IL = Iph
Δ 联结
VL = Vph, IL = √3·Iph
总有功功率
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
视在功率和无功功率
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
补偿电容
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
每个电容上的电压
Δ：VL Y：VL/√3
电动机输入
Pin = Pout/η

变压器

匝数比
a = N1/N2 = V1/V2
电流比
I1/I2 = N2/N1 = 1/a
额定电流
I = S/V
折算阻抗
Z1′ = a²·ZL
部分负载时的铜损
Pcu = x²·Pcu,fl
效率
η = x·S·pf/(x·S·pf + Pcore + x²·Pcu,fl)
最高效率
x = √(Pcore/Pcu,fl)

2练习题

1.串并联电阻中等
R1​ = 12 ΩR3​ = 4 Ω+−V1​15 VR2​12 ΩIR2​AR4​20 ΩB

求流过 R2 的电流 IR2。

V1 = 15 VR1 = 12 ΩR2 = 12 ΩR3 = 4 ΩR4 = 20 Ω
IR2 = A
2.串并联电阻困难
R1​ = 10 ΩR3​ = 3 ΩR5​ = 4 Ω+−V1​5 VR2​20 ΩAR4​20 ΩBR6​12 Ω

求电源 V1 看到的等效电阻 Req。

V1 = 5 VR1 = 10 ΩR2 = 20 ΩR3 = 3 ΩR4 = 20 ΩR5 = 4 ΩR6 = 12 Ω
Req = Ω
3.节点分析中等
R1​ = 8 ΩR3​ = 15 Ω+−V1​18 VR2​5 ΩAR4​5 ΩBIs​3 A

用节点分析法求 节点电压 VB（相对于地）。

V1 = 18 VIs = 3 AR1 = 8 ΩR2 = 5 ΩR3 = 15 ΩR4 = 5 Ω
VB = V
4.节点分析困难
R1​ = 10 ΩR3​ = 30 Ω+−V1​36 VR2​3 ΩAR4​3 ΩB0.5·VA​

菱形符号是一个电压控制电流源，它向上注入节点 B 的电流为 0.5·VA（单位 A，VA 单位为 V）。用节点分析法求 节点电压 VA（相对于地）。

V1 = 36 VR1 = 10 ΩR2 = 3 ΩR3 = 30 ΩR4 = 3 Ωg = 0.5 A/V
VA = V
5.戴维南和诺顿中等
R1​ = 4 ΩR3​ = 3 Ω+−V1​9 VR2​10 ΩAab

求诺顿电流 IN：端口短路时从 a 流向 b 的电流。

V1 = 9 VR1 = 4 ΩR2 = 10 ΩR3 = 3 Ω
IN = A
6.戴维南和诺顿困难
R1​ = 6 ΩR3​ = 10 Ω+−V1​15 VR2​25 ΩAIs​4 ABRL​2 ΩIL​

在 a–b 之间接入负载 RL = 2 Ω。利用戴维南等效电路求负载获得的功率 PL。

V1 = 15 VIs = 4 AR1 = 6 ΩR2 = 25 ΩR3 = 10 ΩRL = 2 Ω
PL = W
7.RC 和 RL 暂态中等
R = 22 Ωt = 0L22 mHi(t)

电感中流过 2 A 的稳定电流。在 t = 0 开关使回路经 R 闭合并移除电源，于是电感电流经 R 衰减。 求 t = 1 ms 时 R 两端的电压 vR。

i(0) = 2 AR = 22 ΩL = 22 mHt = 1 ms
vR = V
8.RC 和 RL 暂态困难
+−Vs​9 Vt = 0R = 3.3 kΩC220 µF+−vC​vC​(0) = 10 V

开关在 t = 0 闭合前的一瞬间，电容电压为 10 V，极性如图所示。 vC 需要多长时间达到 9.4 V？求 t。

Vs = 9 VR = 3.3 kΩC = 220 µFvC(0) = 10 V
t = ms
9.交流阻抗和相量中等
24 V500 HzR = 100 ΩL = 100 mHC = 2.2 µFI

一个串联 RLC 电路接在 24 V（有效值）、500 Hz 的电源上。 求电流有效值 I。

V = 24 V (rms)f = 500 HzR = 100 ΩL = 100 mHC = 2.2 µF
I = A
10.交流阻抗和相量困难
VfR = 10 ΩL = 10 mHC = 0.022 µF

一个 RLC 串联电路的 R = 10 Ω，L = 10 mH，C = 0.022 µF。 求其谐振时的品质因数 Q。

R = 10 ΩL = 10 mHC = 0.022 µF
Q =
11.交流功率和功率因数中等
230 VZ4 + j3 ΩI

一个阻抗为 Z = 4 + j3 Ω 的负载接在 230 V（有效值）的单相电源上。 求它吸收的无功功率 Q。

V = 230 VZ = 4 + j3 Ω
Q = var
12.交流功率和功率因数困难
P1​ = 14 kWQ1​S1​φ

一台 50 kVA 的单相变压器为一个 14 kW、功率因数为 0.6（滞后）的负载供电。在变压器达到其额定 kVA 之前，还能再增加多少电阻性（功率因数为 1）负载的有功功率 ΔP？

Smax = 50 kVAP1 = 14 kWpf1 = 0.6
ΔP = kW
13.三相电中等
ABCVL​ = 690 VIL​ = ?M45 kW, η = 88%cos φ = 0.86

一台三相感应电动机满载时输出机械功率 45 kW。此负载下其效率为 88%，功率因数为 0.86（滞后）。电源线电压为 690 V。求线电流 IL。

Pout = 45 kWη = 88%cos φ = 0.86VL = 690 V
IL = A
14.三相电困难
P = 100 kWφ1​S1​Q2​QC​ = ?

一个对称三相负载从 400 V（线电压）、50 Hz 的电源取用 100 kW，功率因数为 0.65（滞后）。与负载并联的三相电容器组须把总功率因数提高到 0.95（滞后）。有功功率保持不变。 求电容器组须提供的总无功功率 QC，以 kvar 计。

P = 100 kWpf1 = 0.65pf2 = 0.95VL = 400 Vf = 50 Hz
QC = kvar
15.变压器中等
16 Ω51

一个 16 Ω 的电阻接在匝数比 N₁:N₂ = 5:1 的理想变压器二次绕组两端。求从一次绕组看进去的电阻 R1′。

N1:N2 = 5:1RL = 16 Ω
R1′ = Ω
16.变压器困难
pf 0.9500 kVA, η = 98%

一台单相 500 kVA 变压器的铁损为 4000 W。 在额定负载、功率因数为 0.9（滞后）时，其效率为 98%。求满载铜损 Pcu,fl，以 W 计。

S = 500 kVAPcore = 4000 Wpf = 0.9η = 98%
Pcu,fl = W

3溶液

1.串并联电阻

答案: IR2 = 0.5 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

R1​ = 12 ΩR3​ = 4 Ω+−V1​15 VR2​12 ΩAR4​20 ΩB

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R3 + R4 = 4 + 20 = 24 Ω
R2 ∥ 24 = 12·24/(12+24) = 8 Ω
Req = R1 + 8 = 12 + 8 = 20 Ω

电源电流

电源只看到 Req，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

IR1 = V1/Req = 15/20 = 0.75 A

流过 R₂ 的电流

减去 R₁ 上的压降得到节点 A 的电压，即 R₂ 两端的电压。

VA = V1 − IR1·R1 = 15 − 0.75·12 = 6 V
IR2 = VA/R2 = 6/12 = 0.5 A

答案

IR2 = 0.5 A
2.串并联电阻

答案: Req = 17.46 Ω

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

R1​ = 10 ΩR3​ = 3 ΩR5​ = 4 Ω+−V1​5 VR2​20 ΩAR4​20 ΩBR6​12 Ω

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R5 + R6 = 4 + 12 = 16 Ω
R4 ∥ 16 = 8.889 Ω
R3 + 8.889 = 11.89 Ω
R2 ∥ 11.89 = 7.456 Ω
Req = R1 + 7.456 = 10 + 7.456 = 17.46 Ω

答案

Req = 17.46 Ω
3.节点分析

答案: VB = 13.25 V

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

R1​ = 8 ΩR3​ = 15 Ω+−V1​18 VR2​5 ΩAR4​5 ΩBIs​3 A

设定节点

地为底部导线。已知节点电压直接来自电源（V1 = 18 V）。未知量：VA, VB。

节点 A 的 KCL

经电阻流出 A 的电流等于电源注入 A 的电流。

VA/R2 + (VA − V1)/R1 + (VA − VB)/R3 = 0
VA/5 + (VA − 18)/8 + (VA − VB)/15 = 0
0.3917·VA − 0.06667·VB = 2.25

节点 B 的 KCL

经电阻流出 B 的电流等于电源注入 B 的电流。

VB/R4 + (VB − VA)/R3 = Is
VB/5 + (VB − VA)/15 = 3
−0.06667·VA + 0.2667·VB = 3

求解

Δ = (0.3917)(0.2667) − (−0.06667)(−0.06667) = 0.1
VA = Δ1/Δ = 0.8/0.1 = 8 V
VB = Δ2/Δ = 1.325/0.1 = 13.25 V

答案

VB = 13.25 V
4.节点分析

答案: VA = 8.609 V

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

节点 A 的 KCL

经电阻从 A 流出的电流等于电源注入 A 的电流。

(VA − V1)/R1 + VA/R2 + (VA − VB)/R3 = 0
0.4667·VA − 0.03333·VB = 3.6

节点 B 的 KCL

受控源向节点 B 注入 g·VA。把它当作独立源处理，然后把含 VA 的项移到左边。

(VB − VA)/R3 + VB/R4 = 0.5·VA
−0.5333·VA + 0.3667·VB = 0

求解

Δ = (0.4667)(0.3667) − (−0.03333)(−0.5333) = 0.1533
VA = Δ1/Δ = 1.32/0.1533 = 8.609 V
VB = Δ2/Δ = 1.92/0.1533 = 12.52 V

答案

VA = 8.609 V
5.戴维南和诺顿

答案: IN = 1.098 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 4 ΩR3​ = 3 Ω短路R2​10 ΩAabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 4·10/(4+10) = 2.857 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 2.857 + 3 = 5.857 Ω
R1​ = 4 ΩR3​ = 3 Ω+−V1​9 VR2​10 ΩAab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时 R₃ 中没有电流，因此其上无压降，V_b = V_A。R₁ 和 R₂ 构成分压电路。

Vth = V1·R2/(R1+R2) = 9·10/(4+10) = 6.429 V
IN​1.098 ARth​5.857 Ωab

诺顿等效

诺顿电源是同一电路看作与 R_th 并联的电流源。其电流就是 a–b 的短路电流。

IN = Vth/Rth = 6.429/5.857 = 1.098 A
6.戴维南和诺顿

答案: PL = 36.01 W

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 6 ΩR3​ = 10 Ω短路R2​25 ΩA开路BabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 6·25/(6+25) = 4.839 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 4.839 + 10 = 14.84 Ω
R1​ = 6 ΩR3​ = 10 Ω+−V1​15 VR2​25 ΩAIs​4 ABab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 12.1 + 4·4.839 = 31.45 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 31.45 + 4·10 = 71.45 V
Rth​ = 14.84 Ω+−Vth​71.45 VRL​2 ΩIL​

将负载接到戴维南等效电路上

戴维南电源与串联的 R_th 在 a–b 处的表现与原电路完全相同，因此负载看到的是一个简单串联回路。

IL = Vth/(Rth + RL) = 71.45/(14.84 + 2) = 4.243 A
PL = IL²·RL = 4.243²·2 = 36.01 W
7.RC 和 RL 暂态

答案: vR = 16.19 V

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数

τ = L/R = 22 mH / 22 Ω = 1 ms

电流的衰减

i(t) = 2·e−1/1 = 0.7358 A
vR = R·i = 22·0.7358 = 16.19 V

答案

vR = 16.19 V
8.RC 和 RL 暂态

答案: t = 665.2 ms

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

初始值、终值、时间常数

电容电压不能突变，所以它从储存值开始，趋向电源电压。

vC(0) = 10 V, vC(∞) = Vs = 9 V
τ = R·C = 3.3 kΩ · 220 µF = 726 ms
vC(t) = 9 + (10 − 9)·e−t/τ

求解时间

9.4 = 9 + (1)·e−t/τ → e−t/τ = (9.4 − 9)/(10 − 9) = 0.4
t = τ·ln((10 − 9)/(9.4 − 9)) = 726·ln(2.5) = 665.2 ms

答案

t = 665.2 ms
9.交流阻抗和相量

答案: I = 0.122 A

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

电抗

ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s
XL = ωL = 3142·0.1 = 314.2 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(3142·2.2·10⁻⁶) = 144.7 Ω

阻抗

串联时阻抗按复数相加：Z = R + j(XL − XC)。

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(100² + (169.5)²) = 196.8 Ω

电流

串联电路中每个元件流过相同电流。

I = V/|Z| = 24/196.8 = 0.122 A

答案

I = 0.122 A
10.交流阻抗和相量

答案: Q = 67.42

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

谐振频率

f0 = 1/(2π·√(0.01·0.022·10⁻⁶)) = 10730 Hz

品质因数

Q 把谐振时的电抗与电阻进行比较：Q = ω₀L/R。

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/10)·√(0.01/(0.022·10⁻⁶)) = 67.42

答案

Q = 67.42
11.交流功率和功率因数

答案: Q = 6348 var

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

电流

|Z| = √(4² + 3²) = 5 Ω
I = V/|Z| = 230/5 = 46 A

无功功率

Q = I²·X = 46²·3 = 6348 var

答案

Q = 6348 var
12.交流功率和功率因数

答案: ΔP = 32.38 kW

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

现有负载的无功功率

Q1 = 14·tan(arccos 0.6) = 18.67 kvar

最大总有功功率

满额定时 S = Smax，而电阻性负载不改变 Q。

P = √(Smax² − Q1²) = √(50² − 18.67²) = 46.38 kW

增加的有功功率

ΔP = 46.38 − 14 = 32.38 kW

答案

ΔP = 32.38 kW
13.三相电

答案: IL = 49.75 A

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，VL = √3·Vph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，IL = √3·Iph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。

电输入功率

Pin = Pout/η = 45/0.88 = 51.14 kW

线路电流

IL = Pin/(√3·VL·cos φ) = 51136/(√3·690·0.86) = 49.75 A

答案

IL = 49.75 A
14.三相电

答案: QC = 84.04 kvar

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，VL = √3·Vph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，IL = √3·Iph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。 功率因数校正：电容就地提供无功功率，QC = P·(tan φ1 − tan φ2)。三个电容各提供 QC/3 = V²·ω·C，其中 V 是该电容两端的电压：Δ 联结电容器组为 VL，Y 联结电容器组为 VL/√3。

补偿前后的无功功率

有功功率不变，因此每个功率因数对应确定的无功功率：Q = P·tan φ。

Q1 = 100·tan(acos 0.65) = 100·1.169 = 116.9 kvar
Q2 = 100·tan(acos 0.95) = 100·0.3287 = 32.87 kvar

电容提供的无功功率

QC = Q1 − Q2 = 84.04 kvar

答案

QC = 84.04 kvar
15.变压器

答案: R1′ = 400 Ω

理想变压器：电压之比等于匝数之比，电流之比等于匝数的反比：V₁/V₂ = N₁/N₂ = a，I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a，因此输入功率等于输出功率，V₁·I₁ = V₂·I₂。二次侧的负载阻抗 Z 从一次侧看相当于 a²·Z。

折算电阻

电压升高 a 倍，电流降低 a 倍，所以比值 V/I 增大 a² 倍。

R1′ = a²·RL = 5²·16 = 400 Ω

答案

R1′ = 400 Ω
16.变压器

答案: Pcu,fl = 5184 W

变压器损耗：铁损（磁滞和涡流）取决于电压，在任何负载下都相同。绕组中的铜损与电流的平方成正比，因此在额定负载的 x 倍时为 x²·Pcu,fl。效率 η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu)，其中 Pout = x·S·pf。铜损等于铁损时的负载下效率最高。

输出功率和输入功率

Pout = 500·0.9 = 450 kW
Pin = 450000/0.98 = 459184 W

总损耗和铜损

Ploss = 459184 − 450000 = 9184 W
Pcu,fl = 9184 − 4000 = 5184 W

答案

Pcu,fl = 5184 W

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