电工学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

串并联电阻

电阻串联: R_eq = R₁ + R₂ + …
电阻并联: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
两个电阻并联: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
欧姆定律: V = I·R
功率: P = V·I = I²R = V²/R

方法

从离端子最远的网络末端开始。
串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
每一步之后重新画电路。
重复直到端子之间只剩一个电阻。

节点分析

基尔霍夫电流定律: ΣI_in = ΣI_out
支路电流: I = (V_a − V_b)/R
参考节点: V_ground = 0

方法

选定参考节点（地），并标出其他节点电压。
在每个未知节点列基尔霍夫电流定律：流出各支路的电流等于流入的电流。
把每条支路电流表示为 (V_a − V_b)/R。
解方程组，再求出所需的电流。

戴维南和诺顿

戴维南电压: V_th = V_{open circuit}
戴维南电阻: R_th：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流: I_N = V_th/R_th
负载电流: I_L = V_th/(R_th + R_L)
最大功率传输: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

方法

移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
求 a、b 之间的开路电压：这就是 V_th。
将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 R_th。
把负载接回等效电路：V_th 与 R_th 串联。
求诺顿等效电路时进行变换：I_N = V_th/R_th，R_N = R_th 并联。

RC 和 RL 暂态

时间常数: τ = RC | τ = L/R
响应: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流下的电容: 开路；v_C 不能突变
直流下的电感: 短路；i_L 不能突变
稳态: t ≈ 5τ

方法

求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ。

交流阻抗和相量

阻抗: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
角频率: ω = 2πf
模和相角: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
相量形式的欧姆定律: V = I·Z

方法

换算频率：ω = 2πf。
求各电抗：X_L = ωL，X_C = 1/(ωC)。
像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。

交流功率和功率因数

有功功率: P = V·I·cos φ
无功功率: Q = V·I·sin φ
视在功率: S = V·I = √(P² + Q²)
功率因数: pf = cos φ = P/S
补偿电容: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

三相电

Y 联结: V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Δ 联结: V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
总有功功率: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
视在功率和无功功率: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
补偿电容: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
每个电容上的电压: Δ：V_L Y：V_L/√3
电动机输入: P_in = P_out/η

变压器

匝数比: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
电流比: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
额定电流: I = S/V
折算阻抗: Z₁′ = a²·Z_L
部分负载时的铜损: P_cu = x²·P_cu,fl
效率: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
最高效率: x = √(P_core/P_cu,fl)

2练习题

1.串并联电阻中等

求电源 V₁ 看到的等效电阻 R_eq。

V₁ = 6 VR₁ = 6 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 12 ΩR₄ = 4 Ω

R_eq = Ω

2.串并联电阻困难

求流过 R₂ 的电流 I_R2。

V₁ = 10 VR₁ = 30 ΩR₂ = 30 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 2 ΩR₅ = 15 ΩR₆ = 10 Ω

I_R2 = A

3.节点分析中等

用节点分析法求节点电压 V_A（相对于地）。

V₁ = 30 VI_s = 2 AR₁ = 5 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 12 ΩR₄ = 3 Ω

V_A = V

4.节点分析困难

用节点分析法求沿箭头方向流过 R₄ 的电流 I_R4。

V₁ = 5 VI_s = 1 AV₂ = 18 VR₁ = 30 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 4 ΩR₅ = 10 Ω

I_R4 = A

5.戴维南和诺顿中等

在 a–b 之间接入负载 R_L = 20 Ω。将电路其余部分替换为戴维南等效电路，求负载电流 I_L。

V₁ = 24 VR₁ = 4 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 8 ΩR_L = 20 Ω

I_L = A

6.戴维南和诺顿困难

求诺顿电流 I_N：端口短路时从 a 流向 b 的电流。

V₁ = 15 VI_s = 6 AR₁ = 6 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 30 Ω

I_N = A

7.RC 和 RL 暂态中等

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。求 t = 5 ms 时电感中储存的能量 W，以 mJ 表示。

V_s = 6 VR = 10 ΩL = 22 mHt = 5 ms

W = mJ

8.RC 和 RL 暂态困难

一个定时器在 t = 0 时开始用 15 V 电源通过一个电阻给未充电的电容充电。当电容电压达到 9.48 V 时它必须触发，恰好在开始后 250 ms。已知 R = 1 kΩ，求所需的电容 C。

V_s = 15 VV_th = 9.48 VT = 250 msR = 1 kΩ

C = µF

9.交流阻抗和相量中等

一个串联 RLC 电路接在 50 V（有效值）、50 Hz 的电源上。求阻抗的相角 φ，以度为单位（电流滞后电压时为正）。

V = 50 V (rms)f = 50 HzR = 30 ΩL = 50 mHC = 47 µF

φ = °

10.交流阻抗和相量困难

一个 RLC 串联电路由 10 V（有效值）的电源驱动，电源频率设为电路的谐振频率。求电感两端的电压有效值 V_L。

V = 10 V (rms)R = 10 ΩL = 20 mHC = 0.22 µF

V_L = V

11.交流功率和功率因数中等

一台单相电动机从 230 V 电源吸取 31 kW，功率因数为 0.65（滞后）。求它吸收的无功功率 Q。

P = 31 kWpf = 0.65V = 230 V

Q = kvar

12.交流功率和功率因数困难

一个单相负载从 230 V、60 Hz 电源吸取 35 kW，功率因数为 0.65（滞后）。并联一个电容将功率因数提高到 0.95。求新的线路电流 I_new。

P = 35 kWpf₁ = 0.65pf₂ = 0.95V = 230 Vf = 60 Hz

I_new = A

13.三相电中等

一个对称三相负载从线电压为 400 V 的电源取用 30 A 的线电流，功率因数为 0.7（滞后）。求负载取用的总有功功率 P，以 kW 计。

V_L = 400 VI_L = 30 Acos φ = 0.7

P = kW

14.三相电困难

一个对称三相负载从 690 V（线电压）、50 Hz 的电源取用 150 kW，功率因数为 0.78（滞后）。与负载并联的三相电容器组须把总功率因数提高到 0.92（滞后）。有功功率保持不变。求电容器组须提供的总无功功率 Q_C，以 kvar 计。

P = 150 kWpf₁ = 0.78pf₂ = 0.92V_L = 690 Vf = 50 Hz

Q_C = kvar

15.变压器中等

一台输出电阻为 10800 Ω 的放大器通过理想变压器驱动一个 75 Ω 的扬声器。为实现最大功率传输，从放大器看扬声器须相当于 10800 Ω。求匝数比 a = N₁/N₂。

R_s = 10800 ΩR_L = 75 Ω

a =

16.变压器困难

一台单相 75 kVA 变压器的铁损为 225 W。在额定负载、功率因数为 0.9（滞后）时，其效率为 98.2%。求满载铜损 P_cu,fl，以 W 计。

S = 75 kVAP_core = 225 Wpf = 0.9η = 98.2%

P_cu,fl = W

3溶液

1.串并联电阻

答案: R_eq = 7.778 Ω

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₃ + R₄ = 12 + 4 = 16 Ω

R₂ ∥ 16 = 2·16/(2+16) = 1.778 Ω

R_eq = R₁ + 1.778 = 6 + 1.778 = 7.778 Ω

答案

R_eq = 7.778 Ω

2.串并联电阻

答案: I_R2 = 0.04677 A

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₅ + R₆ = 15 + 10 = 25 Ω

R₄ ∥ 25 = 1.852 Ω

R₃ + 1.852 = 5.852 Ω

R₂ ∥ 5.852 = 4.897 Ω

R_eq = R₁ + 4.897 = 30 + 4.897 = 34.9 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 10/34.9 = 0.2866 A

流过 R₂ 的电流

减去 R₁ 上的压降得到节点 A 的电压，即 R₂ 两端的电压。

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 10 − 0.2866·30 = 1.403 V

I_R2 = V_A/R₂ = 1.403/30 = 0.04677 A

答案

I_R2 = 0.04677 A

3.节点分析

答案: V_A = 14.77 V

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

设定节点

地为底部导线。已知节点电压直接来自电源（V₁ = 30 V）。未知量：V_A, V_B。

节点 A 的 KCL

经电阻流出 A 的电流等于电源注入 A 的电流。

V_A/R₂ + (V_A − V₁)/R₁ + (V_A − V_B)/R₃ = 0

V_A/6 + (V_A − 30)/5 + (V_A − V_B)/12 = 0

0.45·V_A − 0.08333·V_B = 6

节点 B 的 KCL

经电阻流出 B 的电流等于电源注入 B 的电流。

V_B/R₄ + (V_B − V_A)/R₃ = I_s

V_B/3 + (V_B − V_A)/12 = 2

−0.08333·V_A + 0.4167·V_B = 2

求解

Δ = (0.45)(0.4167) − (−0.08333)(−0.08333) = 0.1806

V_A = Δ₁/Δ = 2.667/0.1806 = 14.77 V

V_B = Δ₂/Δ = 1.4/0.1806 = 7.754 V

答案

V_A = 14.77 V

4.节点分析

答案: I_R4 = 2.467 A

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

设定节点

地为底部导线。已知节点电压直接来自电源（V₁ = 5 V, V₂ = −18 V）。未知量：V_A, V_B。

节点 A 的 KCL

经电阻流出 A 的电流等于电源注入 A 的电流。

V_A/R₃ + (V_A − V₁)/R₁ + (V_A − V_B)/R₂ = 0

V_A/15 + (V_A − 5)/30 + (V_A − V_B)/5 = 0

0.3·V_A − 0.2·V_B = 0.1667

节点 B 的 KCL

经电阻流出 B 的电流等于电源注入 B 的电流。

V_B/R₅ + (V_B − V_A)/R₂ + (V_B − V₂)/R₄ = I_s

V_B/10 + (V_B − V_A)/5 + (V_B − (−18))/4 = 1

−0.2·V_A + 0.55·V_B = −3.5

求解

Δ = (0.3)(0.55) − (−0.2)(−0.2) = 0.125

V_A = Δ₁/Δ = −0.6083/0.125 = −4.867 V

V_B = Δ₂/Δ = −1.017/0.125 = −8.133 V

答案

I_R4 = (V_B − V₂)/R₄ = (−8.133 − −18)/4 = 2.467 A

5.戴维南和诺顿

答案: I_L = 0.6383 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 4·20/(4+20) = 3.333 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 3.333 + 8 = 11.33 Ω

求开路电压 V_th

a–b 开路时 R₃ 中没有电流，因此其上无压降，V_b = V_A。R₁ 和 R₂ 构成分压电路。

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 24·20/(4+20) = 20 V

将负载接到戴维南等效电路上

戴维南电源与串联的 R_th 在 a–b 处的表现与原电路完全相同，因此负载看到的是一个简单串联回路。

I_L = V_th/(R_th + R_L) = 20/(11.33 + 20) = 0.6383 A

6.戴维南和诺顿

答案: I_N = 6.294 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 6·12/(6+12) = 4 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 4 + 30 = 34 Ω

求开路电压 V_th

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 10 + 6·4 = 34 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 34 + 6·30 = 214 V

诺顿等效

诺顿电源是同一电路看作与 R_th 并联的电流源。其电流就是 a–b 的短路电流。

I_N = V_th/R_th = 214/34 = 6.294 A

7.RC 和 RL 暂态

答案: W = 3.186 mJ

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 22 mH / 10 Ω = 2.2 ms

i(∞) = V_s/R = 6/10 = 0.6 A

给定时刻的电流

i(t) = 0.6·(1 − e^−5/2.2) = 0.5382 A

储存的能量

W = ½·L·i² = ½·22·0.5382² = 3.186 mJ

答案

W = 3.186 mJ

8.RC 和 RL 暂态

答案: C = 250.1 µF

所需的时间常数

9.48 = 15·(1 − e^−250/τ) → τ = 250/ln(15/(15 − 9.48))

τ = 250/0.9997 = 250.1 ms

电容

kΩ 乘以 µF 得到毫秒。

C = τ/R = 250.1/1 = 250.1 µF

答案

C = 250.1 µF

9.交流阻抗和相量

答案: φ = −60.03 °

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

电抗

ω = 2πf = 2π·50 = 314.2 rad/s

X_L = ωL = 314.2·0.05 = 15.71 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(314.2·47·10⁻⁶) = 67.73 Ω

阻抗

串联时阻抗按复数相加：Z = R + j(X_L − X_C)。

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(30² + (−52.02)²) = 60.05 Ω

相角

φ = arctan((X_L − X_C)/R) = arctan(−52.02/30) = −60.03°

答案

φ = −60.03°

10.交流阻抗和相量

答案: V_L = 301.5 V

谐振

谐振时电抗相互抵消，所以阻抗就是 R。

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0.02·0.22·10⁻⁶) = 15076 rad/s

I = V/R = 10/10 = 1 A

电感两端的电压

X_L = ω₀L = 15076·0.02 = 301.5 Ω

V_L = I·X_L = 1·301.5 = 301.5 V

答案

V_L = 301.5 V

这是电源电压的 Q = 30.15 倍。

11.交流功率和功率因数

答案: Q = 36.24 kvar

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

相角

φ = arccos(0.65) = 49.46°, tan φ = 1.169

无功功率

Q = P·tan φ = 31·1.169 = 36.24 kvar

答案

Q = 36.24 kvar

12.交流功率和功率因数

答案: I_new = 160.2 A

补偿前后的无功功率

有功功率 P 不变；改变的只是从电源吸取的无功功率。

Q₁ = P·tan φ₁ = 35·tan(49.46°) = 40.92 kvar

Q₂ = P·tan φ₂ = 35·tan(18.19°) = 11.5 kvar

Q_C = Q₁ − Q₂ = 29.42 kvar

新的线路电流

I_new = P/(V·cos φ₂) = 35000/(230·0.95) = 160.2 A

答案

I_new = 160.2 A

13.三相电

答案: P = 14.55 kW

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，V_L = √3·V_ph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，I_L = √3·I_ph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ。

视在功率

S = √3·V_L·I_L = √3·400·30 = 20.78 kVA

有功功率

P = S·cos φ = 20.78·0.7 = 14.55 kW

答案

P = 14.55 kW

14.三相电

答案: Q_C = 56.44 kvar

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，V_L = √3·V_ph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，I_L = √3·I_ph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ。 功率因数校正：电容就地提供无功功率，Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂)。三个电容各提供 Q_C/3 = V²·ω·C，其中 V 是该电容两端的电压：Δ 联结电容器组为 V_L，Y 联结电容器组为 V_L/√3。

补偿前后的无功功率

有功功率不变，因此每个功率因数对应确定的无功功率：Q = P·tan φ。

Q₁ = 150·tan(acos 0.78) = 150·0.8023 = 120.3 kvar

Q₂ = 150·tan(acos 0.92) = 150·0.426 = 63.9 kvar

电容提供的无功功率

Q_C = Q₁ − Q₂ = 56.44 kvar

答案

Q_C = 56.44 kvar

15.变压器

答案: a = 12

理想变压器：电压之比等于匝数之比，电流之比等于匝数的反比：V₁/V₂ = N₁/N₂ = a，I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a，因此输入功率等于输出功率，V₁·I₁ = V₂·I₂。二次侧的负载阻抗 Z 从一次侧看相当于 a²·Z。

匹配折算负载

a²·75 = 10800

a = √(10800/75) = √144 = 12

答案

a = 12

16.变压器

答案: P_cu,fl = 1012 W

变压器损耗：铁损（磁滞和涡流）取决于电压，在任何负载下都相同。绕组中的铜损与电流的平方成正比，因此在额定负载的 x 倍时为 x²·P_cu,fl。效率 η = P_out/(P_out + P_core + P_cu)，其中 P_out = x·S·pf。铜损等于铁损时的负载下效率最高。

输出功率和输入功率

P_out = 75·0.9 = 67.5 kW

P_in = 67500/0.982 = 68737 W

总损耗和铜损

P_loss = 68737 − 67500 = 1237 W

P_cu,fl = 1237 − 225 = 1012 W

答案

P_cu,fl = 1012 W

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电工学：速成包

1公式与方法

串并联电阻

方法

节点分析

方法

戴维南和诺顿

方法

RC 和 RL 暂态

方法

交流阻抗和相量

方法

交流功率和功率因数

三相电

变压器

2练习题

3溶液

从远端开始合并电阻

答案

从远端开始合并电阻

电源电流

流过 R₂ 的电流

答案

设定节点

节点 A 的 KCL

节点 B 的 KCL

求解

答案

设定节点

节点 A 的 KCL

节点 B 的 KCL

求解

答案

将所有电源置零，求 Rth

求开路电压 Vth

将负载接到戴维南等效电路上

将所有电源置零，求 Rth

求开路电压 Vth

诺顿等效

时间常数和终值电流

给定时刻的电流

储存的能量

答案

所需的时间常数

电容

答案

电抗

阻抗

相角

答案

谐振

电感两端的电压

答案

相角

无功功率

答案

补偿前后的无功功率

新的线路电流

答案

视在功率

有功功率

答案

补偿前后的无功功率

电容提供的无功功率

答案

匹配折算负载

答案

输出功率和输入功率

总损耗和铜损

答案

将所有电源置零，求 R_th

求开路电压 V_th

将所有电源置零，求 R_th

求开路电压 V_th