电子技术基础 1：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

二极管与晶体管

二极管（恒压降模型）
VD = 0.7 V when conducting
放大区
VBE = 0.7 V, IC = β·IB, IE = (β + 1)·IB
固定偏置
IB = (VCC − 0.7)/RB
分压偏置
IB = (VTH − 0.7)/(RTH + (β + 1)RE)
分压器的戴维南等效
VTH = VCC·R2/(R1 + R2), RTH = R1∥R2
集电极回路
VCE = VCC − ICRC − IERE
饱和
IC(sat) = (VCC − VCE(sat))/RC, IB ≥ IC(sat)/β

运放电路

反相放大器
Vout = −(Rf/Rin)·Vin
同相放大器
Vout = (1 + Rf/R1)·Vin
加法放大器
Vout = −Rf(V1/R1 + V2/R2)
理想运放
V+ = V−, Iin = 0

RC 和 RL 暂态

时间常数
τ = RC | τ = L/R
响应
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
直流下的电容
开路；vC 不能突变
直流下的电感
短路；iL 不能突变
稳态
t ≈ 5τ

方法

  1. 求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
  2. 求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
  3. 求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
  4. 使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ。

串并联电阻

电阻串联
Req = R1 + R2 + …
电阻并联
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
两个电阻并联
Req = R1R2 / (R1 + R2)
欧姆定律
V = I·R
功率
P = V·I = I²R = V²/R

方法

  1. 从离端子最远的网络末端开始。
  2. 串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. 每一步之后重新画电路。
  4. 重复直到端子之间只剩一个电阻。

DC-DC 变换器

降压
Vo = D·Vin
升压
Vo = Vin/(1 − D)
反相升降压
|Vo| = Vin·D/(1 − D)
理想功率平衡
VinIin = VoIo
电感纹波
ΔIL = VL,on·D/(L·f); buck Vin − Vo, boost and buck-boost Vin
电感平均电流
降压 Io；升压和升降压 Io/(1 − D)
输出纹波
降压 ΔIL/(8fC)；升压和升降压 Io·D/(fC)
CCM 边界
降压 (1 − D)R/(2f)；升压 D(1 − D)²R/(2f)；升降压 (1 − D)²R/(2f)

方法

  1. 判断变换器的类型（降压、升压或升降压），并由电压比求出占空比 D。
  2. 对电感用伏秒平衡：电感电压在一个周期内的平均值为零。
  3. 求开关导通时的电感电压，再求 ΔIL = VL·D/(L·f)。
  4. 求输出纹波时，找出流入和流出电容的电荷；求 CCM 边界时，令电感平均电流等于 ΔIL/2。

惠斯通电桥与应变片

分压器电压
Va = VsR2/(R1 + R2), Vb = VsR4/(R3 + R4)
出量
Vab = Va − Vb
平衡
R1/R2 = R3/R4
滑线电桥
R/Rx = l/(100 − l)
戴维南电阻
Rth = R1∥R2 + R3∥R4
灵敏系数
ΔR/R = GF·ε
电桥输出
1/4 桥 Vs·GF·ε/4，半桥 Vs·GF·ε/2，全桥 Vs·GF·ε
小变化，一个臂
Vab ≈ Vs·ΔR/(4R)
应力
σ = E·ε

方法

  1. 把电桥看作接在同一电源上的两个分压器。
  2. 要使电桥平衡，令 R₁/R₂ = R₃/R₄，并解出未知电阻。
  3. 对不平衡电桥，由分压器求出 Va 和 Vb 再相减；当仪表对输出端有负载时，用戴维南等效电路。
  4. 对应变片，把应变换算成 ΔR/R = GF·ε，再用 Vs·GF·ε/4、/2 或 ×1 分别对应 1/4 桥、半桥或全桥。

数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

基本逻辑门
A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
布尔规则
X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
德摩根律
(X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
卡诺图的顺序
00, 01, 11, 10 (Gray code)
由 2ᵏ 个格子组成的圈
消去 k 个变量
4 选 1 多路选择器
F = A′B′I0 + A′BI1 + AB′I2 + ABI3
触发器
D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
计数器
n 位：2ⁿ 个状态； 模 N：满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n； fout = fclk/N
行波计数器
fmax = 1/(n·tpd)
环形计数器与约翰逊计数器
n 个和 2n 个状态

方法

  1. 对于电路，从输入到输出一个门一个门地分析，并在每根线上写出值；或者写出它的表达式并填写真值表。
  2. 化简时，把 1（以及标为 X 的无关项）填入行列按格雷码 00, 01, 11, 10 排列的卡诺图。
  3. 用尽可能少而大的圈（由 1、2、4、8 或 16 个格子组成）覆盖所有 1，可以绕过边界；每个圈对应一个乘积项，由保持不变的变量构成。求 POS 形式时圈 0。
  4. 对于触发器和计数器，在每个有效时钟边沿读取输入，写出每个边沿之后的状态，并记住 n 位计数器在 2ⁿ 个状态之后回绕。

2练习题

1.二极管与晶体管中等
+−24 VR = ?2 × 3 V15 mA

2 个白色 LED（每个正向电压 3 V）与一个电阻串联，接到 24 V 电源上。求使电流为 15 mA 的电阻 R。

Vs = 24 VVF = 3 Vn = 2I = 15 mA
R = Ω
2.二极管与晶体管困难
RC​ = 680 Ωβ = 50IC​ = ?VCC​ = 24 V3.3 VRB​ = 4.7 kΩ

一只 β = 50 的 NPN 晶体管控制一个接在 VCC = 24 V 与其集电极之间的 680 Ω 负载电阻。发射极接地。基极由 3.3 V 逻辑输出经基极电阻 RB = 4.7 kΩ 驱动。取 VBE = 0.7 V，VCE(sat) = 0.2 V。 求输入为高电平时的集电极电流 IC，以 mA 计。先判断晶体管是否饱和。

VCC = 24 VRC = 680 Ωβ = 50Vin = 3.3 VVBE = 0.7 VVCE(sat) = 0.2 VRB = 4.7 kΩ
IC = mA
3.运放电路中等
−+Vout​Rf​ = ?R1​ = 2 kΩVin​

选择反馈电阻 Rf，使该同相放大器的电压增益为 5。

R1 = 2 kΩAv = 5
Rf = kΩ
4.运放电路困难
Vin​V1​Vout​第 1 级：反相R1​ = 10 kΩRf1​ = 10 kΩ第 2 级：同相R2​ = 22 kΩRf2​ = 4.7 kΩ

两个理想运放级级联连接：一个反相放大器（R1，Rf1），后接一个同相放大器（R2 接地，Rf2 在反馈支路中）。两级都采用 ±15 V 电源。 输入为 Vin = 0.4 V。求输出电压 Vout。

R1 = 10 kΩRf1 = 10 kΩR2 = 22 kΩRf2 = 4.7 kΩVin = 0.4 V
Vout = V
5.RC 和 RL 暂态中等
R = 10 Ωt = 0L47 mHi(t)

电感中流过 0.5 A 的稳定电流。在 t = 0 开关使回路经 R 闭合并移除电源，于是电感电流经 R 衰减。 求 t = 5 ms 时的电流 i。

i(0) = 0.5 AR = 10 ΩL = 47 mHt = 5 ms
i = A
6.RC 和 RL 暂态困难
+−Vs​10 Vt = 0R = 3.3 kΩC22 µF+−vC​vC​(0) = 2 V

开关在 t = 0 闭合前的一瞬间，电容电压为 2 V，极性如图所示。 vC 需要多长时间达到 4.4 V？求 t。

Vs = 10 VR = 3.3 kΩC = 22 µFvC(0) = 2 V
t = ms
7.串并联电阻中等
R1​ = 4 ΩR3​ = 15 Ω+−V1​9 VR2​2 ΩIR2​AR4​20 ΩB

求流过 R2 的电流 IR2。

V1 = 9 VR1 = 4 ΩR2 = 2 ΩR3 = 15 ΩR4 = 20 Ω
IR2 = A
8.串并联电阻困难
R1​ = 4 ΩIR1​R3​ = 2 ΩR5​ = 8 Ω+−V1​10 VR2​5 ΩAR4​4 ΩBR6​6 Ω

求电源输出并流过 R1 的电流 IR1。

V1 = 10 VR1 = 4 ΩR2 = 5 ΩR3 = 2 ΩR4 = 4 ΩR5 = 8 ΩR6 = 6 Ω
IR1 = A
9.DC-DC 变换器中等
tiL​Imax​Imin​ΔI = ?DTT2T

某理想反相升降压变换器在 40 kHz、L = 100 µH 下把 9 V 变成 −21 V。求电感纹波电流的峰峰值 ΔIL。

Vin​ = 9 VVo​ = −21 Vf = 40 kHzL = 100 µH
ΔIL = A
10.DC-DC 变换器困难
tiL​Imax​IL​DTT2T

某理想反相升降压变换器在 500 kHz 下把 24 V 变成 −72 V，负载为 4 Ω。求连续导通所需的最小电感 Lcrit。

Vin​ = 24 VVo​ = −72 Vf = 500 kHzR = 4 Ω
Lcrit = µH
11.惠斯通电桥与应变片中等
+−5 V200 Ω200 Ω200 Ω200 Ωab+−

一个 200 Ω 的应变片是电桥的一个臂（R₂），电桥四个臂均为 200 Ω，激励电压为 5 V。求应变片上消耗的功率 Pg，单位为 mW。自热限制了激励电压。

Vs = 5 VR = 200 Ω
Pg = mW
12.惠斯通电桥与应变片困难
+−2.5 V350 Ω350 Ω + ΔR350 Ω350 Ωab+−1.5 mV

某 1/4 桥有一个工作应变片（GF = 2），激励电压为 2.5 V。受载时输出读数为 1.5 mV。求应变 ε，单位为 µε。

Vs = 2.5 VGF = 2Vo = 1.5 mV
ε = µε
13.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器中等
ABC00011110011011130204150716

用卡诺图求 F(A, B, C) = Σm(0, 1, 3, 5, 6) 的最简和之积 (POS) 形式。它有多少个和项（因子）N？

F(A, B, C) = Σm(0, 1, 3, 5, 6)
N =
14.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器困难
TQ0​Q0​TQ1​Q1​TQ2​Q2​TQ3​Q3​CLKMOD-12

同步模 12 计数器依次计 0, 1, …, 11，然后回到 0。它从 1 开始。经过 41 个时钟脉冲后，它显示的计数 Q（十进制）是多少？

Q0 = 141N = 12
Q =

3溶液

1.二极管与晶体管

答案: R = 1200 Ω

LED 与二极管电路：正向偏置的 LED 无论电流多大，压降都约为其正向电压 VF（红光约 2 V，蓝光或白光约 3 V）。串联电阻决定电流：n 个 LED 串联时 R = (Vs − n·VF)/I。用更精确的二极管模型 V = V₀ + I·rd 时，工作点在二极管线与负载线 I = (Vs − V)/R 相交处，所以 I = (Vs − V₀)/(R + rd)。

电阻两端的电压

VR = 24 − 2·3 = 18 V

电阻

R = 18/0.015 = 1200 Ω

答案

R = 1200 Ω

电阻耗散 270 mW。

2.二极管与晶体管

答案: IC = 27.66 mA

BJT 用作开关：要使负载完全导通，晶体管须驱动到饱和，此时 VCE = VCE(sat)，集电极电流由负载决定：IC(sat) = (VCC − VCE(sat))/RC。饱和至少需要 IB = IC(sat)/β。若基极电流更小，晶体管仍处于放大区，IC = β·IB。

基极电流

IB = (3.3 − 0.7)/4.7 kΩ = 553.2 µA

饱和还是放大？

β·IB 小于 IC(sat)，所以晶体管仍处于放大区。

β·IB = 27.66 mA
IC(sat) = (24 − 0.2)/680 = 35 mA

集电极电流

IC = β·IB = 27.66 mA

答案

IC = 27.66 mA

晶体管处于放大区，所以负载没有完全接通。

3.运放电路

答案: Rf = 8 kΩ

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

同相放大器的增益

V₋ = V₊ = Vin，且流过 R₁ 的电流也流过 Rf，所以 Vout = Vin·(1 + Rf/R₁)。

Av = 1 + Rf/R1
Rf = (5 − 1)·2 = 8 kΩ

答案

Rf = 8 kΩ
4.运放电路

答案: Vout = −0.4855 V

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

各级的增益

A1 = −Rf1/R1 = −10/10 = −1
A2 = 1 + Rf2/R2 = 1 + 4.7/22 = 1.214

逐级计算

V1 = −1·0.4 = −0.4 V
Vout = 1.214·(−0.4) = −0.4855 V

答案

Vout = −0.4855 V
5.RC 和 RL 暂态

答案: i = 0.1726 A

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数

τ = L/R = 47 mH / 10 Ω = 4.7 ms

电流的衰减

i(t) = 0.5·e−5/4.7 = 0.1726 A

答案

i = 0.1726 A
6.RC 和 RL 暂态

答案: t = 25.89 ms

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

初始值、终值、时间常数

电容电压不能突变，所以它从储存值开始，趋向电源电压。

vC(0) = 2 V, vC(∞) = Vs = 10 V
τ = R·C = 3.3 kΩ · 22 µF = 72.6 ms
vC(t) = 10 + (2 − 10)·e−t/τ

求解时间

4.4 = 10 + (−8)·e−t/τ → e−t/τ = (4.4 − 10)/(2 − 10) = 0.7
t = τ·ln((2 − 10)/(4.4 − 10)) = 72.6·ln(1.429) = 25.89 ms

答案

t = 25.89 ms
7.串并联电阻

答案: IR2 = 1.445 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

R1​ = 4 ΩR3​ = 15 Ω+−V1​9 VR2​2 ΩAR4​20 ΩB

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R3 + R4 = 15 + 20 = 35 Ω
R2 ∥ 35 = 2·35/(2+35) = 1.892 Ω
Req = R1 + 1.892 = 4 + 1.892 = 5.892 Ω

电源电流

电源只看到 Req，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

IR1 = V1/Req = 9/5.892 = 1.528 A

流过 R₂ 的电流

减去 R₁ 上的压降得到节点 A 的电压，即 R₂ 两端的电压。

VA = V1 − IR1·R1 = 9 − 1.528·4 = 2.89 V
IR2 = VA/R2 = 2.89/2 = 1.445 A

答案

IR2 = 1.445 A
8.串并联电阻

答案: IR1 = 1.532 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

R1​ = 4 ΩR3​ = 2 ΩR5​ = 8 Ω+−V1​10 VR2​5 ΩAR4​4 ΩBR6​6 Ω

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R5 + R6 = 8 + 6 = 14 Ω
R4 ∥ 14 = 3.111 Ω
R3 + 3.111 = 5.111 Ω
R2 ∥ 5.111 = 2.527 Ω
Req = R1 + 2.527 = 4 + 2.527 = 6.527 Ω

电源电流

电源只看到 Req，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

IR1 = V1/Req = 10/6.527 = 1.532 A

答案

IR1 = 1.532 A
9.DC-DC 变换器

答案: ΔIL = 1.575 A

DC-DC 变换器：开关 S 在每个周期 T = 1/f 中有 D 的比例处于导通。稳态时电感的平均电压为零（伏秒平衡），由此得到连续导通模式下的理想变换比：降压（buck）Vo = D·Vin，升压（boost）Vo = Vin/(1 − D)，反相升降压（buck-boost）|Vo| = Vin·D/(1 − D)。理想变换器功率守恒：Vin·Iin = Vo·Io。开关导通期间，电感电流上升 ΔIL = VL·D·T/L，其中降压变换器的 VL = Vin − Vo，升压和升降压变换器为 Vin。输出纹波对降压变换器为 ΔVo = ΔIL/(8fC)，对升压和升降压变换器为 Io·D/(fC)。当平均电感电流等于 ΔIL/2 时，电感电流刚好触及零（连续导通模式的边界）。

占空比

D = 21/(9 + 21) = 0.7

导通期间的电感电压

S 导通时，电感直接跨接在 Vin 两端。

VL = 9 V

纹波电流

ΔIL = VL·D/(L·f) = 9·0.7/(100·10⁻⁶·40·10³) = 1.575 A

答案

ΔIL = 1.575 A
10.DC-DC 变换器

答案: Lcrit = 0.25 µH

DC-DC 变换器：开关 S 在每个周期 T = 1/f 中有 D 的比例处于导通。稳态时电感的平均电压为零（伏秒平衡），由此得到连续导通模式下的理想变换比：降压（buck）Vo = D·Vin，升压（boost）Vo = Vin/(1 − D)，反相升降压（buck-boost）|Vo| = Vin·D/(1 − D)。理想变换器功率守恒：Vin·Iin = Vo·Io。开关导通期间，电感电流上升 ΔIL = VL·D·T/L，其中降压变换器的 VL = Vin − Vo，升压和升降压变换器为 Vin。输出纹波对降压变换器为 ΔVo = ΔIL/(8fC)，对升压和升降压变换器为 Io·D/(fC)。当平均电感电流等于 ΔIL/2 时，电感电流刚好触及零（连续导通模式的边界）。

占空比

D = 72/(24 + 72) = 0.75

边界条件

令电感平均电流等于纹波电流的一半，解出 L。

Lcrit = (1 − D)²·R/(2f)

临界电感

Lcrit = (1 − 0.75)²·4/(2500·10³) = 0.25 µH

答案

Lcrit = 0.25 µH
11.惠斯通电桥与应变片

答案: Pg = 31.25 mW

惠斯通电桥：两个分压器共用一个电源 Vs。左侧分压器 R1–R2 给出 Va = Vs·R2/(R1 + R2)，右侧分压器 R3–R4 给出 Vb = Vs·R4/(R3 + R4)；输出为 Vab = Va − Vb。当 R1/R2 = R3/R4，即 R1·R4 = R2·R3 时，电桥平衡（Vab = 0，检流计中没有电流）。从输出端看，电桥是一个戴维南电源，其 Rth = R1∥R2 + R3∥R4。

应变片两端的电压

V = 5/2 = 2.5 V

功率

Pg = 2.5²/200 = 31.25 mW

答案

Pg = 31.25 mW
12.惠斯通电桥与应变片

答案: ε = 1200 µε

应变片：应变片的电阻随应变变化：ΔR/R = GF·ε，其中金属箔的灵敏系数 GF 约为 2。在各臂都等于 R 的电桥中，一个工作应变片（1/4 桥）给出 Vo ≈ Vs·GF·ε/4。相邻臂上两个应变相反的工作应变片（半桥）给出 Vs·GF·ε/2，四个（全桥）给出 Vs·GF·ε。应力由胡克定律得出，σ = E·ε。称重传感器的灵敏度以 mV/V 表示：每伏激励电压在满载时的输出。

解 1/4 桥方程

ε = 4·0.0015/(2.5·2) = 0.0012

以微应变表示

ε = 1200 µε

答案

ε = 1200 µε
13.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: N = 3

卡诺图：各格按格雷码（00, 01, 11, 10）排列，所以相邻的格子（包括跨越边界的格子）恰好只有一个变量不同。把 1 圈成由 1、2、4、8 或 16 个格子组成的矩形，圈尽可能大、尽可能少，直到每个 1 都被覆盖。每个圈对应一个乘积项：圈内保持不变的变量。由 2ᵏ 个格子组成的圈会消去 k 个变量。无关项 (X) 可用来使圈变大，但不必被覆盖。改为圈 0 则得到最简 POS 形式。

ABC00011110011011130204150716

圈 0

每个圈都是由 2ᵏ 个格子组成的矩形；边上的格子与对边上的格子相邻。

(A + B′ + C)
(A′ + B + C)
(A′ + B′ + C′)

最简 POS 形式

F = (A + B′ + C)(A′ + B + C)(A′ + B′ + C′)
N = 3

答案

N = 3
14.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: Q = 6

触发器与计数器：触发器只在时钟的有效边沿改变。D 复制其输入 (Q⁺ = D)；T 在 T = 1 时翻转；JK 在 00 时保持，01 时复位，10 时置位，11 时翻转。n 位二进制计数器有 2ⁿ 个状态，按模 2ⁿ 计数；模 N 计数器依次计 0, 1, …, N − 1 然后回到 0，需要满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n 个触发器。行波计数器的每一级使频率减半，所以模 N 计数器的最后一级输出频率为 fclk/N。n 个触发器的约翰逊计数器有 2n 个状态，环形计数器有 n 个。

完整循环

每 12 个脉冲使计数器回到相同的状态。

41 = 3·12 + 5

剩余脉冲之后的计数

Q = (1 + 5) mod 12 = 6
Q = 0110₂

答案

Q = 6

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