电子技术基础 1：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

二极管与晶体管

二极管（恒压降模型）
VD = 0.7 V when conducting
放大区
VBE = 0.7 V, IC = β·IB, IE = (β + 1)·IB
固定偏置
IB = (VCC − 0.7)/RB
分压偏置
IB = (VTH − 0.7)/(RTH + (β + 1)RE)
分压器的戴维南等效
VTH = VCC·R2/(R1 + R2), RTH = R1∥R2
集电极回路
VCE = VCC − ICRC − IERE
饱和
IC(sat) = (VCC − VCE(sat))/RC, IB ≥ IC(sat)/β

运放电路

反相放大器
Vout = −(Rf/Rin)·Vin
同相放大器
Vout = (1 + Rf/R1)·Vin
加法放大器
Vout = −Rf(V1/R1 + V2/R2)
理想运放
V+ = V−, Iin = 0

RC 和 RL 暂态

时间常数
τ = RC | τ = L/R
响应
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
直流下的电容
开路；vC 不能突变
直流下的电感
短路；iL 不能突变
稳态
t ≈ 5τ

方法

  1. 求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
  2. 求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
  3. 求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
  4. 使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ。

串并联电阻

电阻串联
Req = R1 + R2 + …
电阻并联
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
两个电阻并联
Req = R1R2 / (R1 + R2)
欧姆定律
V = I·R
功率
P = V·I = I²R = V²/R

方法

  1. 从离端子最远的网络末端开始。
  2. 串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. 每一步之后重新画电路。
  4. 重复直到端子之间只剩一个电阻。

DC-DC 变换器

降压
Vo = D·Vin
升压
Vo = Vin/(1 − D)
反相升降压
|Vo| = Vin·D/(1 − D)
理想功率平衡
VinIin = VoIo
电感纹波
ΔIL = VL,on·D/(L·f); buck Vin − Vo, boost and buck-boost Vin
电感平均电流
降压 Io；升压和升降压 Io/(1 − D)
输出纹波
降压 ΔIL/(8fC)；升压和升降压 Io·D/(fC)
CCM 边界
降压 (1 − D)R/(2f)；升压 D(1 − D)²R/(2f)；升降压 (1 − D)²R/(2f)

方法

  1. 判断变换器的类型（降压、升压或升降压），并由电压比求出占空比 D。
  2. 对电感用伏秒平衡：电感电压在一个周期内的平均值为零。
  3. 求开关导通时的电感电压，再求 ΔIL = VL·D/(L·f)。
  4. 求输出纹波时，找出流入和流出电容的电荷；求 CCM 边界时，令电感平均电流等于 ΔIL/2。

惠斯通电桥与应变片

分压器电压
Va = VsR2/(R1 + R2), Vb = VsR4/(R3 + R4)
出量
Vab = Va − Vb
平衡
R1/R2 = R3/R4
滑线电桥
R/Rx = l/(100 − l)
戴维南电阻
Rth = R1∥R2 + R3∥R4
灵敏系数
ΔR/R = GF·ε
电桥输出
1/4 桥 Vs·GF·ε/4，半桥 Vs·GF·ε/2，全桥 Vs·GF·ε
小变化，一个臂
Vab ≈ Vs·ΔR/(4R)
应力
σ = E·ε

方法

  1. 把电桥看作接在同一电源上的两个分压器。
  2. 要使电桥平衡，令 R₁/R₂ = R₃/R₄，并解出未知电阻。
  3. 对不平衡电桥，由分压器求出 Va 和 Vb 再相减；当仪表对输出端有负载时，用戴维南等效电路。
  4. 对应变片，把应变换算成 ΔR/R = GF·ε，再用 Vs·GF·ε/4、/2 或 ×1 分别对应 1/4 桥、半桥或全桥。

数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

基本逻辑门
A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
布尔规则
X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
德摩根律
(X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
卡诺图的顺序
00, 01, 11, 10 (Gray code)
由 2ᵏ 个格子组成的圈
消去 k 个变量
4 选 1 多路选择器
F = A′B′I0 + A′BI1 + AB′I2 + ABI3
触发器
D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
计数器
n 位：2ⁿ 个状态； 模 N：满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n； fout = fclk/N
行波计数器
fmax = 1/(n·tpd)
环形计数器与约翰逊计数器
n 个和 2n 个状态

方法

  1. 对于电路，从输入到输出一个门一个门地分析，并在每根线上写出值；或者写出它的表达式并填写真值表。
  2. 化简时，把 1（以及标为 X 的无关项）填入行列按格雷码 00, 01, 11, 10 排列的卡诺图。
  3. 用尽可能少而大的圈（由 1、2、4、8 或 16 个格子组成）覆盖所有 1，可以绕过边界；每个圈对应一个乘积项，由保持不变的变量构成。求 POS 形式时圈 0。
  4. 对于触发器和计数器，在每个有效时钟边沿读取输入，写出每个边沿之后的状态，并记住 n 位计数器在 2ⁿ 个状态之后回绕。

2练习题

1.二极管与晶体管中等
RC​ = 1.5 kΩβ = 150IC​ = ?VCC​ = 9 VRB​ = 560 kΩ

一只 β = 150 的 NPN 晶体管由电源 VCC = 9 V 经基极电阻 RB = 560 kΩ 偏置。集电极电阻为 RC = 1.5 kΩ，发射极接地。取 VBE = 0.7 V，并假设晶体管工作在放大区。 求集电极电流 IC，以 mA 计。

VCC = 9 VRB = 560 kΩRC = 1.5 kΩβ = 150VBE = 0.7 V
IC = mA
2.二极管与晶体管困难
RC​ = 100 Ωβ = 200VCC​ = 9 V3.3 VRB​ = ?

一只 β = 200 的 NPN 晶体管控制一个接在 VCC = 9 V 与其集电极之间的 100 Ω 负载电阻。发射极接地。基极由 3.3 V 逻辑输出经基极电阻 RB 驱动。取 VBE = 0.7 V，VCE(sat) = 0.2 V。 求仍能使晶体管刚好进入饱和的最大基极电阻 RB，以 kΩ 计。

VCC = 9 VRC = 100 Ωβ = 200Vin = 3.3 VVBE = 0.7 VVCE(sat) = 0.2 V
RB = kΩ
3.运放电路中等
−+Vout​Rf​ = ?R1​ = 47 kΩVin​

选择反馈电阻 Rf，使该同相放大器的电压增益为 51。

R1 = 47 kΩAv = 51
Rf = kΩ
4.运放电路困难
−+Vout​Rf​ = 4.7 kΩV1​ = −0.3 VR1​ = 47 kΩV2​ = −0.2 VR2​ = 4.7 kΩIf​

加法放大器使用 ±15 V 供电的理想运放。 求流过反馈电阻、流向输出端的电流 If。

V1 = −0.3 VV2 = −0.2 VR1 = 47 kΩR2 = 4.7 kΩRf = 4.7 kΩ
If = mA
5.RC 和 RL 暂态中等
+−Vs​12 Vt = 0R = 33 ΩL100 mHi(t)

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。 求 t = 5 ms 时的电流 i。

Vs = 12 VR = 33 ΩL = 100 mHt = 5 ms
i = A
6.RC 和 RL 暂态困难
+−Vs​20 VR1​ = 20 ΩR2​ = 10 Ω在 t = 0 断开L68 mHi(t)

跨接在 R2 两端的开关已闭合很长时间，所以电感电流是稳定的。在 t = 0 开关断开。 求 t = 5 ms 时的电感电流 i。

Vs = 20 VR1 = 20 ΩR2 = 10 ΩL = 68 mHt = 5 ms
i = A
7.串并联电阻中等
R1​ = 3 ΩIR1​R3​ = 10 Ω+−V1​30 VR2​6 ΩAR4​5 ΩB

求电源输出并流过 R1 的电流 IR1。

V1 = 30 VR1 = 3 ΩR2 = 6 ΩR3 = 10 ΩR4 = 5 Ω
IR1 = A
8.串并联电阻困难
R1​ = 4 ΩIR1​R3​ = 8 ΩR5​ = 8 Ω+−V1​18 VR2​2 ΩAR4​25 ΩBR6​25 Ω

求电源输出并流过 R1 的电流 IR1。

V1 = 18 VR1 = 4 ΩR2 = 2 ΩR3 = 8 ΩR4 = 25 ΩR5 = 8 ΩR6 = 25 Ω
IR1 = A
9.DC-DC 变换器中等
tiL​Imax​Imin​ΔI = ?DTT2T

某理想 降压 变换器在 20 kHz、L = 68 µH 下把 9 V 变成 4.5 V。求电感纹波电流的峰峰值 ΔIL。

Vin​ = 9 VVo​ = 4.5 Vf = 20 kHzL = 68 µH
ΔIL = A
10.DC-DC 变换器困难
tiL​Imax​Io​DTT2T

某降压变换器在 50 kHz、L = 68 µH 下把 48 V 变成 14.4 V。求使其保持连续导通的最小负载电流 Io,min。

Vin​ = 48 VVo​ = 14.4 Vf = 50 kHzL = 68 µH
Io,min = A
11.惠斯通电桥与应变片中等
+−12 VR1​ = 500 ΩR2​ = 20 ΩR3​ = 80 ΩR4​ = 500 Ωab+−Rth​ = ?

求图示电桥从输出端 a、b 看进去的戴维南电阻 Rth。

Vs = 12 VR1 = 500 ΩR2 = 20 ΩR3 = 80 ΩR4 = 500 Ω
Rth = Ω
12.惠斯通电桥与应变片困难
+−2.5 V1000 Ω1000 Ω + ΔR1000 Ω1000 Ωab+−Vo​ = ?

某电桥的各臂为 1000 Ω，激励电压为 2.5 V，采用 一个工作应变片（1/4 桥）。灵敏系数为 2.05，应变为 1500 µε。求电桥输出 Vo，单位为 mV。

Vs = 2.5 VGF = 2.05ε = 1500 µε
Vo = mV
13.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器中等
MUX0I0​CI1​0I2​0I3​ABS1​S0​F

一个 4 选 1 多路选择器的选择输入为 S₁ = A 和 S₀ = B，数据输入分别接 I₀ = 0，I₁ = C，I₂ = 0，I₃ = 0。在 A、B、C 的 8 种组合中，有多少种使输出 F = 1？求 N。

I₀ = 0I₁ = CI₂ = 0I₃ = 0
N =
14.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器困难
CLKT123456

一个上升沿触发的 T 触发器从 Q = 0 开始，在 6 个时钟上升沿接收到所示的输入。Q 改变状态的次数 N 是多少？

Q₀ = 0T
N =

3溶液

1.二极管与晶体管

答案: IC = 2.223 mA

BJT 静态工作点：在放大区，VBE = 0.7 V，IC = β·IB，IE = (β + 1)·IB。用 KVL 由基极回路求 IB，再求 IC，然后由集电极–发射极回路求 VCE。基极的分压器用其戴维南等效电路代替：VTH = VCC·R₂/(R₁ + R₂)，RTH = R₁∥R₂；发射极电阻在基极回路中相当于放大了 (β + 1) 倍。

基极电流

IB = (VCC − VBE)/RB = (9 − 0.7)/560 kΩ = 14.82 µA

集电极电流

IC = β·IB = 150·14.82 µA = 2.223 mA

答案

IC = 2.223 mA

验算：VCE = 5.665 V 远高于 0.2 V，所以晶体管确实工作在放大区。

2.二极管与晶体管

答案: RB = 5.909 kΩ

BJT 用作开关：要使负载完全导通，晶体管须驱动到饱和，此时 VCE = VCE(sat)，集电极电流由负载决定：IC(sat) = (VCC − VCE(sat))/RC。饱和至少需要 IB = IC(sat)/β。若基极电流更小，晶体管仍处于放大区，IC = β·IB。

饱和时的集电极电流

IC(sat) = (9 − 0.2)/100 = 88 mA

最小基极电流

IB(min) = IC(sat)/β = 88/200 = 440 µA

基极电阻

RB = (3.3 − 0.7)/IB = 2.6 V/0.44 mA = 5.909 kΩ

答案

RB = 5.909 kΩ

任何更小的基极电阻也能使晶体管饱和；实际中通常选小几倍的电阻。

3.运放电路

答案: Rf = 2350 kΩ

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

同相放大器的增益

V₋ = V₊ = Vin，且流过 R₁ 的电流也流过 Rf，所以 Vout = Vin·(1 + Rf/R₁)。

Av = 1 + Rf/R1
Rf = (51 − 1)·47 = 2350 kΩ

答案

Rf = 2350 kΩ
4.运放电路

答案: If = −0.04894 mA

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

输入电流

V₋ = 0，所以每个输入电阻两端就是其全部输入电压。

I1 = V1/R1 = −0.3/47 = −0.006383 mA
I2 = V2/R2 = −0.2/4.7 = −0.04255 mA
If = I1 + I2 = −0.04894 mA

答案

If = −0.04894 mA
5.RC 和 RL 暂态

答案: i = 0.2938 A

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 100 mH / 33 Ω = 3.03 ms
i(∞) = Vs/R = 12/33 = 0.3636 A

给定时刻的电流

i(t) = i(∞)·(1 − e−t/τ) = 0.3636·(1 − e−5/3.03) = 0.2938 A

答案

i = 0.2938 A
6.RC 和 RL 暂态

答案: i = 0.7034 A

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

初始值、终值、时间常数

在 t = 0 之前，闭合的开关把 R₂ 旁路；之后 R₁ 和 R₂ 都在回路中。

i(0) = 20/20 = 1 A
i(∞) = 20/(20 + 10) = 0.6667 A
τ = L/R = 68/30 = 2.267 ms
i(t) = 0.6667 + (1 − 0.6667)·e−t/τ

给定时刻的电流

i(5) = 0.6667 + (0.3333)·e−5/2.267 = 0.7034 A

答案

i = 0.7034 A
7.串并联电阻

答案: IR1 = 4.118 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

R1​ = 3 ΩR3​ = 10 Ω+−V1​30 VR2​6 ΩAR4​5 ΩB

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R3 + R4 = 10 + 5 = 15 Ω
R2 ∥ 15 = 6·15/(6+15) = 4.286 Ω
Req = R1 + 4.286 = 3 + 4.286 = 7.286 Ω

电源电流

电源只看到 Req，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

IR1 = V1/Req = 30/7.286 = 4.118 A

答案

IR1 = 4.118 A
8.串并联电阻

答案: IR1 = 3.085 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

R1​ = 4 ΩR3​ = 8 ΩR5​ = 8 Ω+−V1​18 VR2​2 ΩAR4​25 ΩBR6​25 Ω

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R5 + R6 = 8 + 25 = 33 Ω
R4 ∥ 33 = 14.22 Ω
R3 + 14.22 = 22.22 Ω
R2 ∥ 22.22 = 1.835 Ω
Req = R1 + 1.835 = 4 + 1.835 = 5.835 Ω

电源电流

电源只看到 Req，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

IR1 = V1/Req = 18/5.835 = 3.085 A

答案

IR1 = 3.085 A
9.DC-DC 变换器

答案: ΔIL = 1.654 A

DC-DC 变换器：开关 S 在每个周期 T = 1/f 中有 D 的比例处于导通。稳态时电感的平均电压为零（伏秒平衡），由此得到连续导通模式下的理想变换比：降压（buck）Vo = D·Vin，升压（boost）Vo = Vin/(1 − D)，反相升降压（buck-boost）|Vo| = Vin·D/(1 − D)。理想变换器功率守恒：Vin·Iin = Vo·Io。开关导通期间，电感电流上升 ΔIL = VL·D·T/L，其中降压变换器的 VL = Vin − Vo，升压和升降压变换器为 Vin。输出纹波对降压变换器为 ΔVo = ΔIL/(8fC)，对升压和升降压变换器为 Io·D/(fC)。当平均电感电流等于 ΔIL/2 时，电感电流刚好触及零（连续导通模式的边界）。

占空比

D = 4.5/9 = 0.5

导通期间的电感电压

S 导通时，电感连接在 Vin 和 Vo 之间。

VL = 9 − 4.5 = 4.5 V

纹波电流

ΔIL = VL·D/(L·f) = 4.5·0.5/(68·10⁻⁶·20·10³) = 1.654 A

答案

ΔIL = 1.654 A
10.DC-DC 变换器

答案: Io,min = 1.482 A

DC-DC 变换器：开关 S 在每个周期 T = 1/f 中有 D 的比例处于导通。稳态时电感的平均电压为零（伏秒平衡），由此得到连续导通模式下的理想变换比：降压（buck）Vo = D·Vin，升压（boost）Vo = Vin/(1 − D)，反相升降压（buck-boost）|Vo| = Vin·D/(1 − D)。理想变换器功率守恒：Vin·Iin = Vo·Io。开关导通期间，电感电流上升 ΔIL = VL·D·T/L，其中降压变换器的 VL = Vin − Vo，升压和升降压变换器为 Vin。输出纹波对降压变换器为 ΔVo = ΔIL/(8fC)，对升压和升降压变换器为 Io·D/(fC)。当平均电感电流等于 ΔIL/2 时，电感电流刚好触及零（连续导通模式的边界）。

占空比

D = 14.4/48 = 0.3

纹波电流

ΔIL = 14.4·0.7/(68·10⁻⁶·50·10³) = 2.965 A

边界负载电流

Io,min = ΔIL/2 = 1.482 A

答案

Io,min = 1.482 A

低于这个电流时，变换器进入断续导通模式，Vo 会升高到 D·Vin 以上。

11.惠斯通电桥与应变片

答案: Rth = 88.2 Ω

惠斯通电桥：两个分压器共用一个电源 Vs。左侧分压器 R1–R2 给出 Va = Vs·R2/(R1 + R2)，右侧分压器 R3–R4 给出 Vb = Vs·R4/(R3 + R4)；输出为 Vab = Va − Vb。当 R1/R2 = R3/R4，即 R1·R4 = R2·R3 时，电桥平衡（Vab = 0，检流计中没有电流）。从输出端看，电桥是一个戴维南电源，其 Rth = R1∥R2 + R3∥R4。

电源短路

R₁∥R₂ = 500·20/520 = 19.23 Ω
R₃∥R₄ = 80·500/580 = 68.97 Ω

戴维南电阻

Rth = 88.2 Ω

答案

Rth = 88.2 Ω
12.惠斯通电桥与应变片

答案: Vo = 1.922 mV

应变片：应变片的电阻随应变变化：ΔR/R = GF·ε，其中金属箔的灵敏系数 GF 约为 2。在各臂都等于 R 的电桥中，一个工作应变片（1/4 桥）给出 Vo ≈ Vs·GF·ε/4。相邻臂上两个应变相反的工作应变片（半桥）给出 Vs·GF·ε/2，四个（全桥）给出 Vs·GF·ε。应力由胡克定律得出，σ = E·ε。称重传感器的灵敏度以 mV/V 表示：每伏激励电压在满载时的输出。

电阻相对变化

ΔR/R = 2.05·1500·10⁻⁶ = 0.003075

电桥输出

Vo ≈ Vs·GF·ε/4 = 2.5·0.003075/4 = 1.922 mV

答案

Vo = 1.922 mV
13.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: N = 1

多路选择器：2ⁿ 选 1 多路选择器把其数据输入之一传到输出；选择线按二进制数读取，决定选哪一个。对于选择端 S₁S₀ = AB 的 4 选 1 MUX，F = A′B′·I₀ + A′B·I₁ + AB′·I₂ + AB·I₃。把数据输入接到 0、1、C 或 C′，可使 MUX 产生 A、B、C 的任意函数，这是用一块芯片实现逻辑的常用方法。

输出表达式

F = A′BC

F = 1 的行

ABC = 011
N = 1

答案

N = 1
14.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: N = 2

触发器与计数器：触发器只在时钟的有效边沿改变。D 复制其输入 (Q⁺ = D)；T 在 T = 1 时翻转；JK 在 00 时保持，01 时复位，10 时置位，11 时翻转。n 位二进制计数器有 2ⁿ 个状态，按模 2ⁿ 计数；模 N 计数器依次计 0, 1, …, N − 1 然后回到 0，需要满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n 个触发器。行波计数器的每一级使频率减半，所以模 N 计数器的最后一级输出频率为 fclk/N。n 个触发器的约翰逊计数器有 2n 个状态，环形计数器有 n 个。

每个边沿之后的 Q

T 触发器在 T = 1 时每个上升沿翻转，在 T = 0 时保持。

1: T = 0 → Q = 0
2: T = 0 → Q = 0
3: T = 1 → Q = 1
4: T = 0 → Q = 1
5: T = 0 → Q = 1
6: T = 1 → Q = 0

数出变化的次数

0 → 0 → 0 → 1 → 1 → 1 → 0
N = 2

答案

N = 2

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