电子技术基础 1：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

二极管与晶体管

二极管（恒压降模型）: V_D = 0.7 V when conducting
放大区: V_BE = 0.7 V, I_C = β·I_B, I_E = (β + 1)·I_B
固定偏置: I_B = (V_CC − 0.7)/R_B
分压偏置: I_B = (V_TH − 0.7)/(R_TH + (β + 1)R_E)
分压器的戴维南等效: V_TH = V_CC·R₂/(R₁ + R₂), R_TH = R₁∥R₂
集电极回路: V_CE = V_CC − I_CR_C − I_ER_E
饱和: I_C(sat) = (V_CC − V_CE(sat))/R_C, I_B ≥ I_C(sat)/β

运放电路

反相放大器: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
同相放大器: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
加法放大器: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
理想运放: V₊ = V₋, I_in = 0

RC 和 RL 暂态

时间常数: τ = RC | τ = L/R
响应: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流下的电容: 开路；v_C 不能突变
直流下的电感: 短路；i_L 不能突变
稳态: t ≈ 5τ

方法

求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ。

串并联电阻

电阻串联: R_eq = R₁ + R₂ + …
电阻并联: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
两个电阻并联: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
欧姆定律: V = I·R
功率: P = V·I = I²R = V²/R

方法

从离端子最远的网络末端开始。
串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
每一步之后重新画电路。
重复直到端子之间只剩一个电阻。

DC-DC 变换器

降压: V_o = D·V_in
升压: V_o = V_in/(1 − D)
反相升降压: |V_o| = V_in·D/(1 − D)
理想功率平衡: V_inI_in = V_oI_o
电感纹波: ΔI_L = V_L,on·D/(L·f); buck V_in − V_o, boost and buck-boost V_in
电感平均电流: 降压 I_o；升压和升降压 I_o/(1 − D)
输出纹波: 降压 ΔI_L/(8fC)；升压和升降压 I_o·D/(fC)
CCM 边界: 降压 (1 − D)R/(2f)；升压 D(1 − D)²R/(2f)；升降压 (1 − D)²R/(2f)

方法

判断变换器的类型（降压、升压或升降压），并由电压比求出占空比 D。
对电感用伏秒平衡：电感电压在一个周期内的平均值为零。
求开关导通时的电感电压，再求 ΔI_L = V_L·D/(L·f)。
求输出纹波时，找出流入和流出电容的电荷；求 CCM 边界时，令电感平均电流等于 ΔI_L/2。

惠斯通电桥与应变片

分压器电压: V_a = V_sR₂/(R₁ + R₂), V_b = V_sR₄/(R₃ + R₄)
出量: V_ab = V_a − V_b
平衡: R₁/R₂ = R₃/R₄
滑线电桥: R/R_x = l/(100 − l)
戴维南电阻: R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄
灵敏系数: ΔR/R = GF·ε
电桥输出: 1/4 桥 V_s·GF·ε/4，半桥 V_s·GF·ε/2，全桥 V_s·GF·ε
小变化，一个臂: V_ab ≈ V_s·ΔR/(4R)
应力: σ = E·ε

方法

把电桥看作接在同一电源上的两个分压器。
要使电桥平衡，令 R₁/R₂ = R₃/R₄，并解出未知电阻。
对不平衡电桥，由分压器求出 V_a 和 V_b 再相减；当仪表对输出端有负载时，用戴维南等效电路。
对应变片，把应变换算成 ΔR/R = GF·ε，再用 V_s·GF·ε/4、/2 或 ×1 分别对应 1/4 桥、半桥或全桥。

数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

基本逻辑门: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
布尔规则: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
德摩根律: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
卡诺图的顺序: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
由 2ᵏ 个格子组成的圈: 消去 k 个变量
4 选 1 多路选择器: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
触发器: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
计数器: n 位：2ⁿ 个状态；模 N：满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n； f_out = f_clk/N
行波计数器: f_max = 1/(n·t_pd)
环形计数器与约翰逊计数器: n 个和 2n 个状态

方法

对于电路，从输入到输出一个门一个门地分析，并在每根线上写出值；或者写出它的表达式并填写真值表。
化简时，把 1（以及标为 X 的无关项）填入行列按格雷码 00, 01, 11, 10 排列的卡诺图。
用尽可能少而大的圈（由 1、2、4、8 或 16 个格子组成）覆盖所有 1，可以绕过边界；每个圈对应一个乘积项，由保持不变的变量构成。求 POS 形式时圈 0。
对于触发器和计数器，在每个有效时钟边沿读取输入，写出每个边沿之后的状态，并记住 n 位计数器在 2ⁿ 个状态之后回绕。

2练习题

1.二极管与晶体管中等

一只 β = 100 的 NPN 晶体管由电源 V_CC = 10 V 经基极电阻 R_B = 330 kΩ 偏置。集电极电阻为 R_C = 1 kΩ，发射极接地。取 V_BE = 0.7 V，并假设晶体管工作在放大区。求集电极–发射极电压 V_CE。

V_CC = 10 VR_B = 330 kΩR_C = 1 kΩβ = 100V_BE = 0.7 V

V_CE = V

2.二极管与晶体管困难

一只 β = 80 的 NPN 晶体管控制一个接在 V_CC = 24 V 与其集电极之间的 330 Ω 负载电阻。发射极接地。基极由 3.3 V 逻辑输出经基极电阻 R_B = 33 kΩ 驱动。取 V_BE = 0.7 V，V_CE(sat) = 0.2 V。求输入为高电平时的集电极电流 I_C，以 mA 计。先判断晶体管是否饱和。

V_CC = 24 VR_C = 330 Ωβ = 80V_in = 3.3 VV_BE = 0.7 VV_CE(sat) = 0.2 VR_B = 33 kΩ

I_C = mA

3.运放电路中等

差分放大器使用采用 ±15 V 电源的理想运放，其中 R₃ = R₁，R₄ = R₂。求输出电压 V_out。

V₁ = 1.8 VV₂ = 2.6 VR₁ = R₃ = 1 kΩR₂ = R₄ = 4.7 kΩ

V_out = V

4.运放电路困难

积分器使用采用 ±15 V 电源的理想运放；其输出饱和电压为 ±14 V。在 t = 0 施加恒定输入 V_in = 2.6 V 时，电容未充电。求 t = 500 ms 时的输出电压 V_out。

V_in = 2.6 VR = 100 kΩC = 4.7 µFV_sat = ±14 Vt = 500 ms

V_out = V

5.RC 和 RL 暂态中等

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。求 t = 2 ms 时电感中储存的能量 W，以 mJ 表示。

V_s = 5 VR = 22 ΩL = 33 mHt = 2 ms

W = mJ

6.RC 和 RL 暂态困难

开关在 t = 0 闭合前的一瞬间，电容电压为 8 V，极性如图所示。求 t = 40 ms 时的电容电压 v_C。

V_s = 5 VR = 2.2 kΩC = 33 µFv_C(0) = 8 Vt = 40 ms

v_C = V

7.串并联电阻中等

求电源 V₁ 看到的等效电阻 R_eq。

V₁ = 30 VR₁ = 20 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 5 ΩR₄ = 6 Ω

R_eq = Ω

8.串并联电阻困难

求电源 V₁ 看到的等效电阻 R_eq。

V₁ = 5 VR₁ = 10 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 3 ΩR₅ = 15 ΩR₆ = 30 Ω

R_eq = Ω

9.DC-DC 变换器中等

某理想升压变换器在 250 kHz、L = 150 µH 下把 15 V 变成 30 V。求电感纹波电流的峰峰值 ΔI_L。

Vin = 15 VVo = 30 Vf = 250 kHzL = 150 µH

ΔI_L = A

10.DC-DC 变换器困难

某理想升降压变换器在 40 kHz 下把 24 V 变成 −36 V，负载为 5 Ω。输出电容为 22 µF。求输出电压纹波的峰峰值 ΔV_o，单位为 mV。

Vin = 24 VVo = −36 Vf = 40 kHzC = 22 µFR = 5 Ω

ΔV_o = mV

11.惠斯通电桥与应变片中等

一个电阻为 500 Ω 的检流计接在图示电桥的 a 和 b 之间（V_s = 6 V）。求从 a 流向 b 的检流计电流 I_g，单位为 µA。

V_s = 6 VR₁ = 10 ΩR₂ = 100 ΩR₃ = 80 ΩR₄ = 120 ΩR_g = 500 Ω

I_g = µA

12.惠斯通电桥与应变片困难

某 1/4 桥有一个工作应变片（GF = 2.1），激励电压为 3 V。受载时输出读数为 0.63 mV。求应变 ε，单位为 µε。

V_s = 3 VGF = 2.1V_o = 0.63 mV

ε = µε

13.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器中等

把 F = A′B′ + AB′C + A′BC 化简为最简积之和形式。化简后的表达式包含多少个文字 L？

F = A′B′ + AB′C + A′BC

L =

14.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器困难

对于 F(A, B, C, D) = Σm(0, 1, 7, 8, 10, 11, 12, 13) + d(3, 4, 14, 15)（其中 d 表示无关项），求必要质蕴涵项的个数 N。

F(A, B, C, D) = Σm(0, 1, 7, 8, 10, 11, 12, 13) + d(3, 4, 14, 15)

N =

3溶液

1.二极管与晶体管

答案: V_CE = 7.182 V

BJT 静态工作点：在放大区，V_BE = 0.7 V，I_C = β·I_B，I_E = (β + 1)·I_B。用 KVL 由基极回路求 I_B，再求 I_C，然后由集电极–发射极回路求 V_CE。基极的分压器用其戴维南等效电路代替：V_TH = V_CC·R₂/(R₁ + R₂)，R_TH = R₁∥R₂；发射极电阻在基极回路中相当于放大了 (β + 1) 倍。

基极电流

I_B = (V_CC − V_BE)/R_B = (10 − 0.7)/330 kΩ = 28.18 µA

集电极电流

I_C = β·I_B = 100·28.18 µA = 2.818 mA

集电极–发射极电压

V_CE = 10 − 2.818 mA·1 kΩ = 7.182 V

答案

V_CE = 7.182 V

2.二极管与晶体管

答案: I_C = 6.303 mA

BJT 用作开关：要使负载完全导通，晶体管须驱动到饱和，此时 V_CE = V_CE(sat)，集电极电流由负载决定：I_C(sat) = (V_CC − V_CE(sat))/R_C。饱和至少需要 I_B = I_C(sat)/β。若基极电流更小，晶体管仍处于放大区，I_C = β·I_B。

基极电流

I_B = (3.3 − 0.7)/33 kΩ = 78.79 µA

饱和还是放大？

β·I_B 小于 I_C(sat)，所以晶体管仍处于放大区。

β·I_B = 6.303 mA

I_C(sat) = (24 − 0.2)/330 = 72.12 mA

集电极电流

I_C = β·I_B = 6.303 mA

答案

I_C = 6.303 mA

晶体管处于放大区，所以负载没有完全接通。

3.运放电路

答案: V_out = 3.76 V

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

输入端的电压

R₃ 和 R₄ 流过相同的电流，所以构成分压器；反馈使 V₋ = V₊。

V₊ = V₂·R₄/(R₃ + R₄) = 2.6·4.7/(1 + 4.7) = 2.144 V

V₋ = V₊

反相输入端的 KCL

(1.8 − 2.144)/1 = (2.144 − V_out)/4.7

V_out = (R₂/R₁)·(V₂ − V₁) = (4.7/1)·(2.6 − 1.8) = 3.76 V

答案

V_out = 3.76 V

4.运放电路

答案: V_out = −2.766 V

输入电流和斜坡速率

kΩ 乘以 µF 得到毫秒。

RC = 100 kΩ · 4.7 µF = 470 ms

斜坡速率 = −V_in/(RC) = −2.6/470 = −0.005532 V/ms

给定时刻的输出

理想值在 ±V_sat 以内，所以积分器尚未限幅。

V_out = −V_in·t/(RC) = −2.6·500/470 = −2.766 V

答案

V_out = −2.766 V

5.RC 和 RL 暂态

答案: W = 0.4622 mJ

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 33 mH / 22 Ω = 1.5 ms

i(∞) = V_s/R = 5/22 = 0.2273 A

给定时刻的电流

i(t) = 0.2273·(1 − e^−2/1.5) = 0.1674 A

储存的能量

W = ½·L·i² = ½·33·0.1674² = 0.4622 mJ

答案

W = 0.4622 mJ

6.RC 和 RL 暂态

答案: v_C = 6.729 V

初始值、终值、时间常数

电容电压不能突变，所以它从储存值开始，趋向电源电压。

v_C(0) = 8 V, v_C(∞) = V_s = 5 V

τ = R·C = 2.2 kΩ · 33 µF = 72.6 ms

v_C(t) = 5 + (8 − 5)·e^−t/τ

给定时刻的电压

v_C(40) = 5 + (3)·e^−40/72.6 = 6.729 V

答案

v_C = 6.729 V

7.串并联电阻

答案: R_eq = 21.69 Ω

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₃ + R₄ = 5 + 6 = 11 Ω

R₂ ∥ 11 = 2·11/(2+11) = 1.692 Ω

R_eq = R₁ + 1.692 = 20 + 1.692 = 21.69 Ω

答案

R_eq = 21.69 Ω

8.串并联电阻

答案: R_eq = 14.49 Ω

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₅ + R₆ = 15 + 30 = 45 Ω

R₄ ∥ 45 = 2.813 Ω

R₃ + 2.813 = 17.81 Ω

R₂ ∥ 17.81 = 4.488 Ω

R_eq = R₁ + 4.488 = 10 + 4.488 = 14.49 Ω

答案

R_eq = 14.49 Ω

9.DC-DC 变换器

答案: ΔI_L = 0.2 A

DC-DC 变换器：开关 S 在每个周期 T = 1/f 中有 D 的比例处于导通。稳态时电感的平均电压为零（伏秒平衡），由此得到连续导通模式下的理想变换比：降压（buck）V_o = D·V_in，升压（boost）V_o = V_in/(1 − D)，反相升降压（buck-boost）|V_o| = V_in·D/(1 − D)。理想变换器功率守恒：V_in·I_in = V_o·I_o。开关导通期间，电感电流上升 ΔI_L = V_L·D·T/L，其中降压变换器的 V_L = V_in − V_o，升压和升降压变换器为 V_in。输出纹波对降压变换器为 ΔV_o = ΔI_L/(8fC)，对升压和升降压变换器为 I_o·D/(fC)。当平均电感电流等于 ΔI_L/2 时，电感电流刚好触及零（连续导通模式的边界）。

占空比

D = 1 − 15/30 = 0.5

导通期间的电感电压

S 导通时，电感直接跨接在 V_in 两端。

V_L = 15 V

纹波电流

ΔI_L = V_L·D/(L·f) = 15·0.5/(150·10⁻⁶·250·10³) = 0.2 A

答案

ΔI_L = 0.2 A

10.DC-DC 变换器

答案: ΔV_o = 4909 mV

占空比

D = 36/(24 + 36) = 0.6

负载电流

I_o = 36/5 = 7.2 A

输出纹波

ΔV_o = 7.2·0.6/(40·10³·22·10⁻⁶) = 4909 mV

答案

ΔV_o = 4909 mV

11.惠斯通电桥与应变片

答案: I_g = 3329 µA

惠斯通电桥：两个分压器共用一个电源 V_s。左侧分压器 R₁–R₂ 给出 V_a = V_s·R₂/(R₁ + R₂)，右侧分压器 R₃–R₄ 给出 V_b = V_s·R₄/(R₃ + R₄)；输出为 V_ab = V_a − V_b。当 R₁/R₂ = R₃/R₄，即 R₁·R₄ = R₂·R₃ 时，电桥平衡（V_ab = 0，检流计中没有电流）。从输出端看，电桥是一个戴维南电源，其 R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄。

戴维南电压

V_th = 6·(100/110 − 120/200) = 1.855 V

戴维南电阻

R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄ = 57.09 Ω

检流计电流

I_g = 1.855/(57.09 + 500) = 3329 µA

答案

I_g = 3329 µA

12.惠斯通电桥与应变片

答案: ε = 400 µε

应变片：应变片的电阻随应变变化：ΔR/R = GF·ε，其中金属箔的灵敏系数 GF 约为 2。在各臂都等于 R 的电桥中，一个工作应变片（1/4 桥）给出 V_o ≈ V_s·GF·ε/4。相邻臂上两个应变相反的工作应变片（半桥）给出 V_s·GF·ε/2，四个（全桥）给出 V_s·GF·ε。应力由胡克定律得出，σ = E·ε。称重传感器的灵敏度以 mV/V 表示：每伏激励电压在满载时的输出。

解 1/4 桥方程

ε = 4·0.00063/(3·2.1) = 0.0004

以微应变表示

ε = 400 µε

答案

ε = 400 µε

13.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: L = 6

布尔代数：化简表达式的规则有 X + X′ = 1 和 X·X′ = 0、X + X = X、吸收律 X + X·Y = X、合并律 X·Y + X·Y′ = X、X + X′Y = X + Y，以及一致性定理 XY + X′Z + YZ = XY + X′Z。德摩根律把 (X·Y)′ 变成 X′ + Y′，把 (X + Y)′ 变成 X′·Y′。卡诺图以图形方式应用这些规则：每个由两个相邻格子组成的圈，就是一次使用 XY + XY′ = X。

表达式的最小项

A′B′ → m(0, 1)

AB′C → m(5)

A′BC → m(3)

圈组并读出结果

F = B′C + A′C + A′B′

数出文字个数

L = 6

答案

L = 6

14.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: N = 2

卡诺图：各格按格雷码（00, 01, 11, 10）排列，所以相邻的格子（包括跨越边界的格子）恰好只有一个变量不同。把 1 圈成由 1、2、4、8 或 16 个格子组成的矩形，圈尽可能大、尽可能少，直到每个 1 都被覆盖。每个圈对应一个乘积项：圈内保持不变的变量。由 2ᵏ 个格子组成的圈会消去 k 个变量。无关项 (X) 可用来使圈变大，但不必被覆盖。改为圈 0 则得到最简 POS 形式。

质蕴涵项

由 1 和 X 能够构成的最大的圈。

C′D′, CD, AD′, AC, AB, A′B′D, A′B′C′

必要质蕴涵项

CD, AB

N = 2

答案

N = 2

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