电子技术基础 1：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

二极管与晶体管

二极管（恒压降模型）
VD = 0.7 V when conducting
放大区
VBE = 0.7 V, IC = β·IB, IE = (β + 1)·IB
固定偏置
IB = (VCC − 0.7)/RB
分压偏置
IB = (VTH − 0.7)/(RTH + (β + 1)RE)
分压器的戴维南等效
VTH = VCC·R2/(R1 + R2), RTH = R1∥R2
集电极回路
VCE = VCC − ICRC − IERE
饱和
IC(sat) = (VCC − VCE(sat))/RC, IB ≥ IC(sat)/β

运放电路

反相放大器
Vout = −(Rf/Rin)·Vin
同相放大器
Vout = (1 + Rf/R1)·Vin
加法放大器
Vout = −Rf(V1/R1 + V2/R2)
理想运放
V+ = V−, Iin = 0

RC 和 RL 暂态

时间常数
τ = RC | τ = L/R
响应
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
直流下的电容
开路；vC 不能突变
直流下的电感
短路；iL 不能突变
稳态
t ≈ 5τ

方法

  1. 求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
  2. 求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
  3. 求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
  4. 使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ。

串并联电阻

电阻串联
Req = R1 + R2 + …
电阻并联
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
两个电阻并联
Req = R1R2 / (R1 + R2)
欧姆定律
V = I·R
功率
P = V·I = I²R = V²/R

方法

  1. 从离端子最远的网络末端开始。
  2. 串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. 每一步之后重新画电路。
  4. 重复直到端子之间只剩一个电阻。

DC-DC 变换器

降压
Vo = D·Vin
升压
Vo = Vin/(1 − D)
反相升降压
|Vo| = Vin·D/(1 − D)
理想功率平衡
VinIin = VoIo
电感纹波
ΔIL = VL,on·D/(L·f); buck Vin − Vo, boost and buck-boost Vin
电感平均电流
降压 Io；升压和升降压 Io/(1 − D)
输出纹波
降压 ΔIL/(8fC)；升压和升降压 Io·D/(fC)
CCM 边界
降压 (1 − D)R/(2f)；升压 D(1 − D)²R/(2f)；升降压 (1 − D)²R/(2f)

方法

  1. 判断变换器的类型（降压、升压或升降压），并由电压比求出占空比 D。
  2. 对电感用伏秒平衡：电感电压在一个周期内的平均值为零。
  3. 求开关导通时的电感电压，再求 ΔIL = VL·D/(L·f)。
  4. 求输出纹波时，找出流入和流出电容的电荷；求 CCM 边界时，令电感平均电流等于 ΔIL/2。

惠斯通电桥与应变片

分压器电压
Va = VsR2/(R1 + R2), Vb = VsR4/(R3 + R4)
出量
Vab = Va − Vb
平衡
R1/R2 = R3/R4
滑线电桥
R/Rx = l/(100 − l)
戴维南电阻
Rth = R1∥R2 + R3∥R4
灵敏系数
ΔR/R = GF·ε
电桥输出
1/4 桥 Vs·GF·ε/4，半桥 Vs·GF·ε/2，全桥 Vs·GF·ε
小变化，一个臂
Vab ≈ Vs·ΔR/(4R)
应力
σ = E·ε

方法

  1. 把电桥看作接在同一电源上的两个分压器。
  2. 要使电桥平衡，令 R₁/R₂ = R₃/R₄，并解出未知电阻。
  3. 对不平衡电桥，由分压器求出 Va 和 Vb 再相减；当仪表对输出端有负载时，用戴维南等效电路。
  4. 对应变片，把应变换算成 ΔR/R = GF·ε，再用 Vs·GF·ε/4、/2 或 ×1 分别对应 1/4 桥、半桥或全桥。

数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

基本逻辑门
A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
布尔规则
X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
德摩根律
(X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
卡诺图的顺序
00, 01, 11, 10 (Gray code)
由 2ᵏ 个格子组成的圈
消去 k 个变量
4 选 1 多路选择器
F = A′B′I0 + A′BI1 + AB′I2 + ABI3
触发器
D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
计数器
n 位：2ⁿ 个状态； 模 N：满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n； fout = fclk/N
行波计数器
fmax = 1/(n·tpd)
环形计数器与约翰逊计数器
n 个和 2n 个状态

方法

  1. 对于电路，从输入到输出一个门一个门地分析，并在每根线上写出值；或者写出它的表达式并填写真值表。
  2. 化简时，把 1（以及标为 X 的无关项）填入行列按格雷码 00, 01, 11, 10 排列的卡诺图。
  3. 用尽可能少而大的圈（由 1、2、4、8 或 16 个格子组成）覆盖所有 1，可以绕过边界；每个圈对应一个乘积项，由保持不变的变量构成。求 POS 形式时圈 0。
  4. 对于触发器和计数器，在每个有效时钟边沿读取输入，写出每个边沿之后的状态，并记住 n 位计数器在 2ⁿ 个状态之后回绕。

2练习题

1.二极管与晶体管中等
RC​ = 1 kΩβ = 80IC​ = ?RE​ = 680 ΩVCC​ = 15 VR1​ = 56 kΩR2​ = 22 kΩ

一只 β = 80 的 NPN 晶体管由 VCC = 15 V 分压偏置：R₁ = 56 kΩ 接在 VCC 与基极之间，R₂ = 22 kΩ 接在基极与地之间。集电极电阻为 RC = 1 kΩ，发射极电阻为 RE = 680 Ω。取 VBE = 0.7 V，并使用分压器的戴维南等效电路（不忽略基极电流）。 求集电极电流 IC，以 mA 计。

VCC = 15 VR1 = 56 kΩR2 = 22 kΩRC = 1 kΩRE = 680 Ωβ = 80
IC = mA
2.二极管与晶体管困难
RC​ = 220 Ωβ = 80VCC​ = 24 V5 VRB​ = ?

一只 β = 80 的 NPN 晶体管控制一个接在 VCC = 24 V 与其集电极之间的 220 Ω 负载电阻。发射极接地。基极由 5 V 逻辑输出经基极电阻 RB 驱动。取 VBE = 0.7 V，VCE(sat) = 0.2 V。 为保证可靠开关，按饱和所需最小基极电流的 2 倍来设计基极电流。求 RB，以 kΩ 计。

VCC = 24 VRC = 220 Ωβ = 80Vin = 5 VVBE = 0.7 VVCE(sat) = 0.2 V过驱动系数 = 2
RB = kΩ
3.运放电路中等
−+Vout​Rf​ = 4.7 kΩR1​ = 1 kΩVin​ = 0.7 V

运放为理想运放，采用 ±15 V 电源。 求输出电压 Vout。

Vin = 0.7 VR1 = 1 kΩRf = 4.7 kΩ
Vout = V
4.运放电路困难
−+Vout​Rf​ = 10 kΩV1​ = 1.1 VR1​ = 2 kΩV2​ = 0.9 VR2​ = 100 kΩ

加法放大器使用 ±15 V 供电的理想运放。 求输出电压 Vout。

V1 = 1.1 VV2 = 0.9 VR1 = 2 kΩR2 = 100 kΩRf = 10 kΩ
Vout = V
5.RC 和 RL 暂态中等
+−Vs​10 Vt = 0R = 50 ΩL10 mHi(t)

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。 求 t = 1 ms 时的电流 i。

Vs = 10 VR = 50 ΩL = 10 mHt = 1 ms
i = A
6.RC 和 RL 暂态困难
+−Vs​9 Vt = 0R = ?C4.7 µF+−vC​

一个定时器在 t = 0 时开始用 9 V 电源通过一个电阻给未充电的电容充电。当电容电压达到 8.1 V 时它必须触发，恰好在开始后 500 ms。 已知 C = 4.7 µF，求所需的电阻 R。

Vs = 9 VVth = 8.1 VT = 500 msC = 4.7 µF
R = kΩ
7.串并联电阻中等
R1​ = 5 ΩIR1​R3​ = 10 Ω+−V1​24 VR2​2 ΩAR4​20 ΩB

求电源输出并流过 R1 的电流 IR1。

V1 = 24 VR1 = 5 ΩR2 = 2 ΩR3 = 10 ΩR4 = 20 Ω
IR1 = A
8.串并联电阻困难
R1​ = 30 ΩR3​ = 8 ΩR5​ = 6 Ω+−V1​15 VR2​30 ΩAR4​8 ΩBR6​15 Ω

求电源 V1 看到的等效电阻 Req。

V1 = 15 VR1 = 30 ΩR2 = 30 ΩR3 = 8 ΩR4 = 8 ΩR5 = 6 ΩR6 = 15 Ω
Req = Ω
9.DC-DC 变换器中等
tiL​Imax​Imin​ΔI = ?DTT2T

某理想 升压 变换器在 40 kHz、L = 150 µH 下把 12 V 变成 40 V。求电感纹波电流的峰峰值 ΔIL。

Vin​ = 12 VVo​ = 40 Vf = 40 kHzL = 150 µH
ΔIL = A
10.DC-DC 变换器困难
tiL​Imax​IL​DTT2T

某理想反相升降压变换器在 40 kHz 下把 24 V 变成 −72 V，负载为 10 Ω。求连续导通所需的最小电感 Lcrit。

Vin​ = 24 VVo​ = −72 Vf = 40 kHzR = 10 Ω
Lcrit = µH
11.惠斯通电桥与应变片中等
+−5 V330 Ω330 Ω + ΔR330 Ω330 Ωab+−12.44 mV

某电桥的四个臂均为 330 Ω，由 5 V 供电。当传感器 R₂ 变化时，输出读数为 Vab = 12.44 mV。求 R₂ 的精确变化量 ΔR。

Vs = 5 VR = 330 ΩVab = 12.44 mV
ΔR = Ω
12.惠斯通电桥与应变片困难
+−10 V350 Ω350 Ω + ΔR350 Ω350 Ωab+−Vo​ = ?

某电桥的各臂为 350 Ω，激励电压为 10 V，采用 一个工作应变片（1/4 桥）。灵敏系数为 2.05，应变为 400 µε。求电桥输出 Vo，单位为 mV。

Vs = 10 VGF = 2.05ε = 400 µε
Vo = mV
13.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器中等
ABCD000111100001111010111312140507160121130151141819111010

用卡诺图求 F(A, B, C, D) = Σm(0, 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 11, 13, 14) 的最简积之和 (SOP) 形式。它总共包含多少个文字 L（带撇的变量算一个文字）？

F(A, B, C, D) = Σm(0, 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 11, 13, 14)
L =
14.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器困难
ABCD0001111000011110101113021415070611211301501418X9X11X10

求 F(A, B, C, D) = Σm(0, 1, 3, 4, 5, 8, 12, 13) + d(9, 10, 11) 的最简 SOP 形式，其中 d 表示无关项。它包含多少个文字 L？

F(A, B, C, D) = Σm(0, 1, 3, 4, 5, 8, 12, 13) + d(9, 10, 11)
L =

3溶液

1.二极管与晶体管

答案: IC = 3.985 mA

BJT 静态工作点：在放大区，VBE = 0.7 V，IC = β·IB，IE = (β + 1)·IB。用 KVL 由基极回路求 IB，再求 IC，然后由集电极–发射极回路求 VCE。基极的分压器用其戴维南等效电路代替：VTH = VCC·R₂/(R₁ + R₂)，RTH = R₁∥R₂；发射极电阻在基极回路中相当于放大了 (β + 1) 倍。

分压器的戴维南等效

VTH = 15·22/(56 + 22) = 4.231 V
RTH = 56·22/(56 + 22) = 15.79 kΩ

基极电流

沿基极回路列 KVL；发射极电流为 (β + 1)·IB。

IB = (4.231 − 0.7)/(15.79 + 81·0.68) = 49.82 µA

集电极电流

IC = 80·49.82 µA = 3.985 mA
IE = 81·49.82 µA = 4.035 mA

答案

IC = 3.985 mA
2.二极管与晶体管

答案: RB = 1.59 kΩ

BJT 用作开关：要使负载完全导通，晶体管须驱动到饱和，此时 VCE = VCE(sat)，集电极电流由负载决定：IC(sat) = (VCC − VCE(sat))/RC。饱和至少需要 IB = IC(sat)/β。若基极电流更小，晶体管仍处于放大区，IC = β·IB。

饱和时的集电极电流

IC(sat) = (24 − 0.2)/220 = 108.2 mA

最小基极电流

IB(min) = IC(sat)/β = 108.2/80 = 1352 µA

设计基极电流

IB = 2·1352 µA = 2705 µA

基极电阻

RB = (5 − 0.7)/IB = 4.3 V/2.705 mA = 1.59 kΩ

答案

RB = 1.59 kΩ
3.运放电路

答案: Vout = 3.99 V

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

反相输入端跟随输入

V₋ = V₊ = 0.7 V
I = V₋/R1 = 0.7/1 = 0.7 mA

输出电压

流过 R₁ 的电流也流过 Rf。

Vout = V₋ + I·Rf = 0.7 + 0.7·4.7 = 3.99 V

答案

Vout = 3.99 V
4.运放电路

答案: Vout = −5.59 V

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

输入电流

V₋ = 0，所以每个输入电阻两端就是其全部输入电压。

I1 = V1/R1 = 1.1/2 = 0.55 mA
I2 = V2/R2 = 0.9/100 = 0.009 mA
If = I1 + I2 = 0.559 mA

输出电压

Vout = −Rf·If = −10·0.559 = −5.59 V

答案

Vout = −5.59 V
5.RC 和 RL 暂态

答案: i = 0.1987 A

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 10 mH / 50 Ω = 0.2 ms
i(∞) = Vs/R = 10/50 = 0.2 A

给定时刻的电流

i(t) = i(∞)·(1 − e−t/τ) = 0.2·(1 − e−1/0.2) = 0.1987 A

答案

i = 0.1987 A
6.RC 和 RL 暂态

答案: R = 46.2 kΩ

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

所需的时间常数

8.1 = 9·(1 − e−500/τ) → τ = 500/ln(9/(9 − 8.1))
τ = 500/2.303 = 217.1 ms

电阻

kΩ 乘以 µF 得到毫秒。

R = τ/C = 217.1/4.7 = 46.2 kΩ

答案

R = 46.2 kΩ
7.串并联电阻

答案: IR1 = 3.491 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

R1​ = 5 ΩR3​ = 10 Ω+−V1​24 VR2​2 ΩAR4​20 ΩB

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R3 + R4 = 10 + 20 = 30 Ω
R2 ∥ 30 = 2·30/(2+30) = 1.875 Ω
Req = R1 + 1.875 = 5 + 1.875 = 6.875 Ω

电源电流

电源只看到 Req，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

IR1 = V1/Req = 24/6.875 = 3.491 A

答案

IR1 = 3.491 A
8.串并联电阻

答案: Req = 39.45 Ω

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

R1​ = 30 ΩR3​ = 8 ΩR5​ = 6 Ω+−V1​15 VR2​30 ΩAR4​8 ΩBR6​15 Ω

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R5 + R6 = 6 + 15 = 21 Ω
R4 ∥ 21 = 5.793 Ω
R3 + 5.793 = 13.79 Ω
R2 ∥ 13.79 = 9.449 Ω
Req = R1 + 9.449 = 30 + 9.449 = 39.45 Ω

答案

Req = 39.45 Ω
9.DC-DC 变换器

答案: ΔIL = 1.4 A

DC-DC 变换器：开关 S 在每个周期 T = 1/f 中有 D 的比例处于导通。稳态时电感的平均电压为零（伏秒平衡），由此得到连续导通模式下的理想变换比：降压（buck）Vo = D·Vin，升压（boost）Vo = Vin/(1 − D)，反相升降压（buck-boost）|Vo| = Vin·D/(1 − D)。理想变换器功率守恒：Vin·Iin = Vo·Io。开关导通期间，电感电流上升 ΔIL = VL·D·T/L，其中降压变换器的 VL = Vin − Vo，升压和升降压变换器为 Vin。输出纹波对降压变换器为 ΔVo = ΔIL/(8fC)，对升压和升降压变换器为 Io·D/(fC)。当平均电感电流等于 ΔIL/2 时，电感电流刚好触及零（连续导通模式的边界）。

占空比

D = 1 − 12/40 = 0.7

导通期间的电感电压

S 导通时，电感直接跨接在 Vin 两端。

VL = 12 V

纹波电流

ΔIL = VL·D/(L·f) = 12·0.7/(150·10⁻⁶·40·10³) = 1.4 A

答案

ΔIL = 1.4 A
10.DC-DC 变换器

答案: Lcrit = 7.813 µH

DC-DC 变换器：开关 S 在每个周期 T = 1/f 中有 D 的比例处于导通。稳态时电感的平均电压为零（伏秒平衡），由此得到连续导通模式下的理想变换比：降压（buck）Vo = D·Vin，升压（boost）Vo = Vin/(1 − D)，反相升降压（buck-boost）|Vo| = Vin·D/(1 − D)。理想变换器功率守恒：Vin·Iin = Vo·Io。开关导通期间，电感电流上升 ΔIL = VL·D·T/L，其中降压变换器的 VL = Vin − Vo，升压和升降压变换器为 Vin。输出纹波对降压变换器为 ΔVo = ΔIL/(8fC)，对升压和升降压变换器为 Io·D/(fC)。当平均电感电流等于 ΔIL/2 时，电感电流刚好触及零（连续导通模式的边界）。

占空比

D = 72/(24 + 72) = 0.75

边界条件

令电感平均电流等于纹波电流的一半，解出 L。

Lcrit = (1 − D)²·R/(2f)

临界电感

Lcrit = (1 − 0.75)²·10/(240·10³) = 7.813 µH

答案

Lcrit = 7.813 µH
11.惠斯通电桥与应变片

答案: ΔR = 3.301 Ω

惠斯通电桥：两个分压器共用一个电源 Vs。左侧分压器 R1–R2 给出 Va = Vs·R2/(R1 + R2)，右侧分压器 R3–R4 给出 Vb = Vs·R4/(R3 + R4)；输出为 Vab = Va − Vb。当 R1/R2 = R3/R4，即 R1·R4 = R2·R3 时，电桥平衡（Vab = 0，检流计中没有电流）。从输出端看，电桥是一个戴维南电源，其 Rth = R1∥R2 + R3∥R4。

节点电压

Va = 2.5 + 0.01244 = 2.512 V

解分压公式

R₂ = 330·2.512/(5 − 2.512) = 333.3 Ω
ΔR = 333.3 − 330 = 3.301 Ω

答案

ΔR = 3.301 Ω
12.惠斯通电桥与应变片

答案: Vo = 2.05 mV

应变片：应变片的电阻随应变变化：ΔR/R = GF·ε，其中金属箔的灵敏系数 GF 约为 2。在各臂都等于 R 的电桥中，一个工作应变片（1/4 桥）给出 Vo ≈ Vs·GF·ε/4。相邻臂上两个应变相反的工作应变片（半桥）给出 Vs·GF·ε/2，四个（全桥）给出 Vs·GF·ε。应力由胡克定律得出，σ = E·ε。称重传感器的灵敏度以 mV/V 表示：每伏激励电压在满载时的输出。

电阻相对变化

ΔR/R = 2.05·400·10⁻⁶ = 0.00082

电桥输出

Vo ≈ Vs·GF·ε/4 = 10·0.00082/4 = 2.05 mV

答案

Vo = 2.05 mV
13.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: L = 12

卡诺图：各格按格雷码（00, 01, 11, 10）排列，所以相邻的格子（包括跨越边界的格子）恰好只有一个变量不同。把 1 圈成由 1、2、4、8 或 16 个格子组成的矩形，圈尽可能大、尽可能少，直到每个 1 都被覆盖。每个圈对应一个乘积项：圈内保持不变的变量。由 2ᵏ 个格子组成的圈会消去 k 个变量。无关项 (X) 可用来使圈变大，但不必被覆盖。改为圈 0 则得到最简 POS 形式。

ABCD000111100001111010111312140507160121130151141819111010

圈 1

每个圈都是由 2ᵏ 个格子组成的矩形；边上的格子与对边上的格子相邻。

B′D
B′C′
BCD′
A′D′
AC′D

最简 SOP 形式

F = B′D + B′C′ + BCD′ + A′D′ + AC′D
L = 12

答案

L = 12
14.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: L = 3

卡诺图：各格按格雷码（00, 01, 11, 10）排列，所以相邻的格子（包括跨越边界的格子）恰好只有一个变量不同。把 1 圈成由 1、2、4、8 或 16 个格子组成的矩形，圈尽可能大、尽可能少，直到每个 1 都被覆盖。每个圈对应一个乘积项：圈内保持不变的变量。由 2ᵏ 个格子组成的圈会消去 k 个变量。无关项 (X) 可用来使圈变大，但不必被覆盖。改为圈 0 则得到最简 POS 形式。

质蕴涵项

由 1 和 X 能够构成的最大的圈。

C′, B′D, AB′
ABCD0001111000011110101113021415070611211301501418X9X11X10

最小覆盖

F = C′ + B′D
L = 3

答案

L = 3

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