电子技术基础 1：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

二极管与晶体管

二极管（恒压降模型）: V_D = 0.7 V when conducting
放大区: V_BE = 0.7 V, I_C = β·I_B, I_E = (β + 1)·I_B
固定偏置: I_B = (V_CC − 0.7)/R_B
分压偏置: I_B = (V_TH − 0.7)/(R_TH + (β + 1)R_E)
分压器的戴维南等效: V_TH = V_CC·R₂/(R₁ + R₂), R_TH = R₁∥R₂
集电极回路: V_CE = V_CC − I_CR_C − I_ER_E
饱和: I_C(sat) = (V_CC − V_CE(sat))/R_C, I_B ≥ I_C(sat)/β

运放电路

反相放大器: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
同相放大器: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
加法放大器: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
理想运放: V₊ = V₋, I_in = 0

RC 和 RL 暂态

时间常数: τ = RC | τ = L/R
响应: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流下的电容: 开路；v_C 不能突变
直流下的电感: 短路；i_L 不能突变
稳态: t ≈ 5τ

方法

求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ。

串并联电阻

电阻串联: R_eq = R₁ + R₂ + …
电阻并联: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
两个电阻并联: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
欧姆定律: V = I·R
功率: P = V·I = I²R = V²/R

方法

从离端子最远的网络末端开始。
串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
每一步之后重新画电路。
重复直到端子之间只剩一个电阻。

DC-DC 变换器

降压: V_o = D·V_in
升压: V_o = V_in/(1 − D)
反相升降压: |V_o| = V_in·D/(1 − D)
理想功率平衡: V_inI_in = V_oI_o
电感纹波: ΔI_L = V_L,on·D/(L·f); buck V_in − V_o, boost and buck-boost V_in
电感平均电流: 降压 I_o；升压和升降压 I_o/(1 − D)
输出纹波: 降压 ΔI_L/(8fC)；升压和升降压 I_o·D/(fC)
CCM 边界: 降压 (1 − D)R/(2f)；升压 D(1 − D)²R/(2f)；升降压 (1 − D)²R/(2f)

方法

判断变换器的类型（降压、升压或升降压），并由电压比求出占空比 D。
对电感用伏秒平衡：电感电压在一个周期内的平均值为零。
求开关导通时的电感电压，再求 ΔI_L = V_L·D/(L·f)。
求输出纹波时，找出流入和流出电容的电荷；求 CCM 边界时，令电感平均电流等于 ΔI_L/2。

惠斯通电桥与应变片

分压器电压: V_a = V_sR₂/(R₁ + R₂), V_b = V_sR₄/(R₃ + R₄)
出量: V_ab = V_a − V_b
平衡: R₁/R₂ = R₃/R₄
滑线电桥: R/R_x = l/(100 − l)
戴维南电阻: R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄
灵敏系数: ΔR/R = GF·ε
电桥输出: 1/4 桥 V_s·GF·ε/4，半桥 V_s·GF·ε/2，全桥 V_s·GF·ε
小变化，一个臂: V_ab ≈ V_s·ΔR/(4R)
应力: σ = E·ε

方法

把电桥看作接在同一电源上的两个分压器。
要使电桥平衡，令 R₁/R₂ = R₃/R₄，并解出未知电阻。
对不平衡电桥，由分压器求出 V_a 和 V_b 再相减；当仪表对输出端有负载时，用戴维南等效电路。
对应变片，把应变换算成 ΔR/R = GF·ε，再用 V_s·GF·ε/4、/2 或 ×1 分别对应 1/4 桥、半桥或全桥。

数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

基本逻辑门: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
布尔规则: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
德摩根律: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
卡诺图的顺序: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
由 2ᵏ 个格子组成的圈: 消去 k 个变量
4 选 1 多路选择器: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
触发器: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
计数器: n 位：2ⁿ 个状态；模 N：满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n； f_out = f_clk/N
行波计数器: f_max = 1/(n·t_pd)
环形计数器与约翰逊计数器: n 个和 2n 个状态

方法

对于电路，从输入到输出一个门一个门地分析，并在每根线上写出值；或者写出它的表达式并填写真值表。
化简时，把 1（以及标为 X 的无关项）填入行列按格雷码 00, 01, 11, 10 排列的卡诺图。
用尽可能少而大的圈（由 1、2、4、8 或 16 个格子组成）覆盖所有 1，可以绕过边界；每个圈对应一个乘积项，由保持不变的变量构成。求 POS 形式时圈 0。
对于触发器和计数器，在每个有效时钟边沿读取输入，写出每个边沿之后的状态，并记住 n 位计数器在 2ⁿ 个状态之后回绕。

2练习题

1.二极管与晶体管中等

一只 β = 200 的 NPN 晶体管由 V_CC = 18 V 分压偏置：R₁ = 56 kΩ 接在 V_CC 与基极之间，R₂ = 8.2 kΩ 接在基极与地之间。集电极电阻为 R_C = 2.2 kΩ，发射极电阻为 R_E = 1 kΩ。取 V_BE = 0.7 V，并使用分压器的戴维南等效电路（不忽略基极电流）。求集电极电流 I_C，以 mA 计。

V_CC = 18 VR₁ = 56 kΩR₂ = 8.2 kΩR_C = 2.2 kΩR_E = 1 kΩβ = 200

I_C = mA

2.二极管与晶体管困难

一个二极管被建模为 0.6 V 与 25 Ω 串联（高于 0.6 V 时导通）。它与一个 150 Ω 的电阻串联，接在 6 V 电源两端。求二极管线与负载线相交处的工作电流 I_D。

V_s = 6 VR = 150 ΩV₀ = 0.6 Vr_d = 25 Ω

I_D = mA

3.运放电路中等

选择反馈电阻 R_f，使该同相放大器的电压增益为 5。

R₁ = 1 kΩA_v = 5

R_f = kΩ

4.运放电路困难

两个理想运放级级联连接：一个反相放大器（R₁，R_f1），后接一个同相放大器（R₂ 接地，R_f2 在反馈支路中）。两级都采用 ±15 V 电源。输入为 V_in = 0.2 V。求输出电压 V_out。

R₁ = 2 kΩR_f1 = 4.7 kΩR₂ = 10 kΩR_f2 = 10 kΩV_in = 0.2 V

V_out = V

5.RC 和 RL 暂态中等

电源 Vₛ 通过 R₁ 给电容充电，R₂ 与 C 并联。开关在 t = 0 闭合时电容未充电。求 t = 60 ms 时的电容电压 v_C。

V_s = 24 VR₁ = 6.8 kΩR₂ = 3.3 kΩC = 47 µFt = 60 ms

v_C = V

6.RC 和 RL 暂态困难

跨接在 R₂ 两端的开关已闭合很长时间，所以电感电流是稳定的。在 t = 0 开关断开。求 t = 25 ms 时的电感电流 i。

V_s = 24 VR₁ = 15 ΩR₂ = 5 ΩL = 220 mHt = 25 ms

i = A

7.串并联电阻中等

求流过 R₂ 的电流 I_R2。

V₁ = 24 VR₁ = 2 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 20 ΩR₄ = 10 Ω

I_R2 = A

8.串并联电阻困难

求电源输出并流过 R₁ 的电流 I_R1。

V₁ = 9 VR₁ = 15 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 3 ΩR₄ = 8 ΩR₅ = 12 ΩR₆ = 15 Ω

I_R1 = A

9.DC-DC 变换器中等

某理想降压变换器在 100 kHz、L = 33 µH 下把 36 V 变成 14.4 V。求电感纹波电流的峰峰值 ΔI_L。

Vin = 36 VVo = 14.4 Vf = 100 kHzL = 33 µH

ΔI_L = A

10.DC-DC 变换器困难

某降压变换器在 20 kHz、L = 330 µH 下把 15 V 变成 10.5 V。求使其保持连续导通的最小负载电流 I_o,min。

Vin = 15 VVo = 10.5 Vf = 20 kHzL = 330 µH

I_o,min = A

11.惠斯通电桥与应变片中等

某电桥的四个臂均为 500 Ω，V_s = 3 V。传感器 R₂ 增大了 ΔR = 2.5 Ω。用小变化近似求输出 V_ab，单位为 mV。

V_s = 3 VR = 500 ΩΔR = 2.5 Ω

V_ab = mV

12.惠斯通电桥与应变片困难

某电桥的各臂为 1000 Ω，激励电压为 5 V，采用相邻臂上的两个工作应变片，一个受拉、一个受压（半桥）。灵敏系数为 2，应变为 800 µε。求电桥输出 V_o，单位为 mV。

V_s = 5 VGF = 2ε = 800 µε

V_o = mV

13.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器中等

用卡诺图求 F(A, B, C, D) = Σm(0, 4, 5, 6, 8, 9, 12, 13, 14) 的最简和之积 (POS) 形式。它有多少个和项（因子）N？

F(A, B, C, D) = Σm(0, 4, 5, 6, 8, 9, 12, 13, 14)

N =

14.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器困难

一个 4 位约翰逊计数器 Q₃Q₂Q₁Q₀ 从 0000 开始。每个时钟边沿，各位向右移动一位（Q₃ → Q₂ → Q₁ → Q₀），Q₃ 接收 Q₀ 的反相。给出 5 个时钟边沿之后的状态 Q = Q₃Q₂Q₁Q₀，用十进制数表示。

Q₃Q₂Q₁Q₀ = 00005

Q =

3溶液

1.二极管与晶体管

答案: I_C = 1.536 mA

BJT 静态工作点：在放大区，V_BE = 0.7 V，I_C = β·I_B，I_E = (β + 1)·I_B。用 KVL 由基极回路求 I_B，再求 I_C，然后由集电极–发射极回路求 V_CE。基极的分压器用其戴维南等效电路代替：V_TH = V_CC·R₂/(R₁ + R₂)，R_TH = R₁∥R₂；发射极电阻在基极回路中相当于放大了 (β + 1) 倍。

分压器的戴维南等效

V_TH = 18·8.2/(56 + 8.2) = 2.299 V

R_TH = 56·8.2/(56 + 8.2) = 7.153 kΩ

基极电流

沿基极回路列 KVL；发射极电流为 (β + 1)·I_B。

I_B = (2.299 − 0.7)/(7.153 + 201·1) = 7.682 µA

集电极电流

I_C = 200·7.682 µA = 1.536 mA

I_E = 201·7.682 µA = 1.544 mA

答案

I_C = 1.536 mA

2.二极管与晶体管

答案: I_D = 30.86 mA

LED 与二极管电路：正向偏置的 LED 无论电流多大，压降都约为其正向电压 V_F（红光约 2 V，蓝光或白光约 3 V）。串联电阻决定电流：n 个 LED 串联时 R = (V_s − n·V_F)/I。用更精确的二极管模型 V = V₀ + I·r_d 时，工作点在二极管线与负载线 I = (V_s − V)/R 相交处，所以 I = (V_s − V₀)/(R + r_d)。

联立两个方程

6 = 0.6 + I·(150 + 25)

工作电流

I_D = 5.4/175 = 30.86 mA

V_D = 0.6 + 0.03086·25 = 1.371 V

答案

I_D = 30.86 mA

3.运放电路

答案: R_f = 4 kΩ

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

同相放大器的增益

V₋ = V₊ = V_in，且流过 R₁ 的电流也流过 R_f，所以 V_out = V_in·(1 + R_f/R₁)。

A_v = 1 + R_f/R₁

R_f = (5 − 1)·1 = 4 kΩ

答案

R_f = 4 kΩ

4.运放电路

答案: V_out = −0.94 V

各级的增益

A₁ = −R_f1/R₁ = −4.7/2 = −2.35

A₂ = 1 + R_f2/R₂ = 1 + 10/10 = 2

逐级计算

V₁ = −2.35·0.2 = −0.47 V

V_out = 2·(−0.47) = −0.94 V

答案

V_out = −0.94 V

5.RC 和 RL 暂态

答案: v_C = 3.427 V

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

电容看到的戴维南等效电路

把电源短路求 R_th；把电容断开，求它最终稳定的电压。

R_th = R₁ ∥ R₂ = 6.8·3.3/(6.8 + 3.3) = 2.222 kΩ

v_C(∞) = 24·3.3/(6.8 + 3.3) = 7.842 V

时间常数

τ = R_th·C = 2.222·47 = 104.4 ms

充电曲线

v_C(t) = 7.842·(1 − e^−60/104.4) = 3.427 V

答案

v_C = 3.427 V

6.RC 和 RL 暂态

答案: i = 1.241 A

初始值、终值、时间常数

在 t = 0 之前，闭合的开关把 R₂ 旁路；之后 R₁ 和 R₂ 都在回路中。

i(0) = 24/15 = 1.6 A

i(∞) = 24/(15 + 5) = 1.2 A

τ = L/R = 220/20 = 11 ms

i(t) = 1.2 + (1.6 − 1.2)·e^−t/τ

给定时刻的电流

i(25) = 1.2 + (0.4)·e^−25/11 = 1.241 A

答案

i = 1.241 A

7.串并联电阻

答案: I_R2 = 1.029 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₃ + R₄ = 20 + 10 = 30 Ω

R₂ ∥ 30 = 20·30/(20+30) = 12 Ω

R_eq = R₁ + 12 = 2 + 12 = 14 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 24/14 = 1.714 A

流过 R₂ 的电流

减去 R₁ 上的压降得到节点 A 的电压，即 R₂ 两端的电压。

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 24 − 1.714·2 = 20.57 V

I_R2 = V_A/R₂ = 20.57/20 = 1.029 A

答案

I_R2 = 1.029 A

8.串并联电阻

答案: I_R1 = 0.4456 A

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₅ + R₆ = 12 + 15 = 27 Ω

R₄ ∥ 27 = 6.171 Ω

R₃ + 6.171 = 9.171 Ω

R₂ ∥ 9.171 = 5.198 Ω

R_eq = R₁ + 5.198 = 15 + 5.198 = 20.2 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 9/20.2 = 0.4456 A

答案

I_R1 = 0.4456 A

9.DC-DC 变换器

答案: ΔI_L = 2.618 A

DC-DC 变换器：开关 S 在每个周期 T = 1/f 中有 D 的比例处于导通。稳态时电感的平均电压为零（伏秒平衡），由此得到连续导通模式下的理想变换比：降压（buck）V_o = D·V_in，升压（boost）V_o = V_in/(1 − D)，反相升降压（buck-boost）|V_o| = V_in·D/(1 − D)。理想变换器功率守恒：V_in·I_in = V_o·I_o。开关导通期间，电感电流上升 ΔI_L = V_L·D·T/L，其中降压变换器的 V_L = V_in − V_o，升压和升降压变换器为 V_in。输出纹波对降压变换器为 ΔV_o = ΔI_L/(8fC)，对升压和升降压变换器为 I_o·D/(fC)。当平均电感电流等于 ΔI_L/2 时，电感电流刚好触及零（连续导通模式的边界）。

占空比

D = 14.4/36 = 0.4

导通期间的电感电压

S 导通时，电感连接在 V_in 和 V_o 之间。

V_L = 36 − 14.4 = 21.6 V

纹波电流

ΔI_L = V_L·D/(L·f) = 21.6·0.4/(33·10⁻⁶·100·10³) = 2.618 A

答案

ΔI_L = 2.618 A

10.DC-DC 变换器

答案: I_o,min = 0.2386 A

占空比

D = 10.5/15 = 0.7

纹波电流

ΔI_L = 10.5·0.3/(330·10⁻⁶·20·10³) = 0.4773 A

边界负载电流

I_o,min = ΔI_L/2 = 0.2386 A

答案

I_o,min = 0.2386 A

低于这个电流时，变换器进入断续导通模式，V_o 会升高到 D·V_in 以上。

11.惠斯通电桥与应变片

答案: V_ab = 3.75 mV

惠斯通电桥：两个分压器共用一个电源 V_s。左侧分压器 R₁–R₂ 给出 V_a = V_s·R₂/(R₁ + R₂)，右侧分压器 R₃–R₄ 给出 V_b = V_s·R₄/(R₃ + R₄)；输出为 V_ab = V_a − V_b。当 R₁/R₂ = R₃/R₄，即 R₁·R₄ = R₂·R₃ 时，电桥平衡（V_ab = 0，检流计中没有电流）。从输出端看，电桥是一个戴维南电源，其 R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄。

相对变化

ΔR/R = 2.5/500 = 0.005

线性化输出

V_ab ≈ 3·0.005/4 = 3.75 mV

答案

V_ab = 3.75 mV

精确值为 3.741 mV；只要 ΔR/R 很小，这个近似就很好。

12.惠斯通电桥与应变片

答案: V_o = 4 mV

应变片：应变片的电阻随应变变化：ΔR/R = GF·ε，其中金属箔的灵敏系数 GF 约为 2。在各臂都等于 R 的电桥中，一个工作应变片（1/4 桥）给出 V_o ≈ V_s·GF·ε/4。相邻臂上两个应变相反的工作应变片（半桥）给出 V_s·GF·ε/2，四个（全桥）给出 V_s·GF·ε。应力由胡克定律得出，σ = E·ε。称重传感器的灵敏度以 mV/V 表示：每伏激励电压在满载时的输出。

电阻相对变化

ΔR/R = 2·800·10⁻⁶ = 0.0016

电桥输出

V_o = V_s·GF·ε/2 = 5·0.0016/2 = 4 mV

答案

V_o = 4 mV

13.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: N = 3

卡诺图：各格按格雷码（00, 01, 11, 10）排列，所以相邻的格子（包括跨越边界的格子）恰好只有一个变量不同。把 1 圈成由 1、2、4、8 或 16 个格子组成的矩形，圈尽可能大、尽可能少，直到每个 1 都被覆盖。每个圈对应一个乘积项：圈内保持不变的变量。由 2ᵏ 个格子组成的圈会消去 k 个变量。无关项 (X) 可用来使圈变大，但不必被覆盖。改为圈 0 则得到最简 POS 形式。

圈 0

每个圈都是由 2ᵏ 个格子组成的矩形；边上的格子与对边上的格子相邻。

(C′ + D′)

(B + C′)

(A + B + D′)

最简 POS 形式

F = (C′ + D′)(B + C′)(A + B + D′)

N = 3

答案

N = 3

14.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: Q = 7

触发器与计数器：触发器只在时钟的有效边沿改变。D 复制其输入 (Q⁺ = D)；T 在 T = 1 时翻转；JK 在 00 时保持，01 时复位，10 时置位，11 时翻转。n 位二进制计数器有 2ⁿ 个状态，按模 2ⁿ 计数；模 N 计数器依次计 0, 1, …, N − 1 然后回到 0，需要满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n 个触发器。行波计数器的每一级使频率减半，所以模 N 计数器的最后一级输出频率为 f_clk/N。n 个触发器的约翰逊计数器有 2n 个状态，环形计数器有 n 个。

每个边沿之后的状态

0000 → 1000 → 1100 → 1110 → 1111 → 0111

十进制值

0111₂ = 7

答案

Q = 7

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