电子技术基础 1：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。

新题目返回课程

在打印窗口中选择“另存为 PDF”，即可在设备上保存一份副本。

1公式与方法

二极管与晶体管

二极管（恒压降模型）
VD = 0.7 V when conducting
放大区
VBE = 0.7 V, IC = β·IB, IE = (β + 1)·IB
固定偏置
IB = (VCC − 0.7)/RB
分压偏置
IB = (VTH − 0.7)/(RTH + (β + 1)RE)
分压器的戴维南等效
VTH = VCC·R2/(R1 + R2), RTH = R1∥R2
集电极回路
VCE = VCC − ICRC − IERE
饱和
IC(sat) = (VCC − VCE(sat))/RC, IB ≥ IC(sat)/β

运放电路

反相放大器
Vout = −(Rf/Rin)·Vin
同相放大器
Vout = (1 + Rf/R1)·Vin
加法放大器
Vout = −Rf(V1/R1 + V2/R2)
理想运放
V+ = V−, Iin = 0

RC 和 RL 暂态

时间常数
τ = RC | τ = L/R
响应
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
直流下的电容
开路；vC 不能突变
直流下的电感
短路；iL 不能突变
稳态
t ≈ 5τ

方法

  1. 求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
  2. 求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
  3. 求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
  4. 使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ。

串并联电阻

电阻串联
Req = R1 + R2 + …
电阻并联
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
两个电阻并联
Req = R1R2 / (R1 + R2)
欧姆定律
V = I·R
功率
P = V·I = I²R = V²/R

方法

  1. 从离端子最远的网络末端开始。
  2. 串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. 每一步之后重新画电路。
  4. 重复直到端子之间只剩一个电阻。

DC-DC 变换器

降压
Vo = D·Vin
升压
Vo = Vin/(1 − D)
反相升降压
|Vo| = Vin·D/(1 − D)
理想功率平衡
VinIin = VoIo
电感纹波
ΔIL = VL,on·D/(L·f); buck Vin − Vo, boost and buck-boost Vin
电感平均电流
降压 Io；升压和升降压 Io/(1 − D)
输出纹波
降压 ΔIL/(8fC)；升压和升降压 Io·D/(fC)
CCM 边界
降压 (1 − D)R/(2f)；升压 D(1 − D)²R/(2f)；升降压 (1 − D)²R/(2f)

方法

  1. 判断变换器的类型（降压、升压或升降压），并由电压比求出占空比 D。
  2. 对电感用伏秒平衡：电感电压在一个周期内的平均值为零。
  3. 求开关导通时的电感电压，再求 ΔIL = VL·D/(L·f)。
  4. 求输出纹波时，找出流入和流出电容的电荷；求 CCM 边界时，令电感平均电流等于 ΔIL/2。

惠斯通电桥与应变片

分压器电压
Va = VsR2/(R1 + R2), Vb = VsR4/(R3 + R4)
出量
Vab = Va − Vb
平衡
R1/R2 = R3/R4
滑线电桥
R/Rx = l/(100 − l)
戴维南电阻
Rth = R1∥R2 + R3∥R4
灵敏系数
ΔR/R = GF·ε
电桥输出
1/4 桥 Vs·GF·ε/4，半桥 Vs·GF·ε/2，全桥 Vs·GF·ε
小变化，一个臂
Vab ≈ Vs·ΔR/(4R)
应力
σ = E·ε

方法

  1. 把电桥看作接在同一电源上的两个分压器。
  2. 要使电桥平衡，令 R₁/R₂ = R₃/R₄，并解出未知电阻。
  3. 对不平衡电桥，由分压器求出 Va 和 Vb 再相减；当仪表对输出端有负载时，用戴维南等效电路。
  4. 对应变片，把应变换算成 ΔR/R = GF·ε，再用 Vs·GF·ε/4、/2 或 ×1 分别对应 1/4 桥、半桥或全桥。

数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

基本逻辑门
A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
布尔规则
X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
德摩根律
(X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
卡诺图的顺序
00, 01, 11, 10 (Gray code)
由 2ᵏ 个格子组成的圈
消去 k 个变量
4 选 1 多路选择器
F = A′B′I0 + A′BI1 + AB′I2 + ABI3
触发器
D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
计数器
n 位：2ⁿ 个状态； 模 N：满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n； fout = fclk/N
行波计数器
fmax = 1/(n·tpd)
环形计数器与约翰逊计数器
n 个和 2n 个状态

方法

  1. 对于电路，从输入到输出一个门一个门地分析，并在每根线上写出值；或者写出它的表达式并填写真值表。
  2. 化简时，把 1（以及标为 X 的无关项）填入行列按格雷码 00, 01, 11, 10 排列的卡诺图。
  3. 用尽可能少而大的圈（由 1、2、4、8 或 16 个格子组成）覆盖所有 1，可以绕过边界；每个圈对应一个乘积项，由保持不变的变量构成。求 POS 形式时圈 0。
  4. 对于触发器和计数器，在每个有效时钟边沿读取输入，写出每个边沿之后的状态，并记住 n 位计数器在 2ⁿ 个状态之后回绕。

2练习题

1.二极管与晶体管中等
+−12 V150 Ω9.1 V1000 ΩIZ​ = ?

一个 9.1 V 的齐纳稳压器通过 150 Ω 接到 12 V，并向 1000 Ω 的负载供电。求齐纳电流 IZ。

Vin = 12 VVZ = 9.1 VR = 150 ΩRL = 1000 Ω
IZ = mA
2.二极管与晶体管困难
RC​ = 470 Ωβ = 100VCC​ = 12 V5 VRB​ = ?

一只 β = 100 的 NPN 晶体管控制一个接在 VCC = 12 V 与其集电极之间的 470 Ω 负载电阻。发射极接地。基极由 5 V 逻辑输出经基极电阻 RB 驱动。取 VBE = 0.7 V，VCE(sat) = 0.2 V。 求仍能使晶体管刚好进入饱和的最大基极电阻 RB，以 kΩ 计。

VCC = 12 VRC = 470 Ωβ = 100Vin = 5 VVBE = 0.7 VVCE(sat) = 0.2 V
RB = kΩ
3.运放电路中等
−+Vout​Rf​ = 22 kΩR1​ = 4.7 kΩVin​ = −2 VRa​ = 22 kΩRb​ = 47 kΩ

运放为理想运放，采用 ±15 V 电源。 求输出电压 Vout。

Vin = −2 VRa = 22 kΩRb = 47 kΩR1 = 4.7 kΩRf = 22 kΩ
Vout = V
4.运放电路困难
−+Vout​Rf​ = 2 kΩV1​ = 1.5 VR1​ = 1 kΩV2​ = −0.1 VR2​ = 2 kΩIf​

加法放大器使用 ±15 V 供电的理想运放。 求流过反馈电阻、流向输出端的电流 If。

V1 = 1.5 VV2 = −0.1 VR1 = 1 kΩR2 = 2 kΩRf = 2 kΩ
If = mA
5.RC 和 RL 暂态中等
+−Vs​20 Vt = 0R = 47 ΩL33 mHi(t)

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。 求 t = 1 ms 时的电流 i。

Vs = 20 VR = 47 ΩL = 33 mHt = 1 ms
i = A
6.RC 和 RL 暂态困难
+−Vs​5 Vt = 0R = ?C4.7 µF+−vC​

一个定时器在 t = 0 时开始用 5 V 电源通过一个电阻给未充电的电容充电。当电容电压达到 4.5 V 时它必须触发，恰好在开始后 100 ms。 已知 C = 4.7 µF，求所需的电阻 R。

Vs = 5 VVth = 4.5 VT = 100 msC = 4.7 µF
R = kΩ
7.串并联电阻中等
R1​ = 3 ΩIR1​R3​ = 3 Ω+−V1​30 VR2​3 ΩAR4​20 ΩB

求电源输出并流过 R1 的电流 IR1。

V1 = 30 VR1 = 3 ΩR2 = 3 ΩR3 = 3 ΩR4 = 20 Ω
IR1 = A
8.串并联电阻困难
R1​ = 8 ΩR3​ = 15 ΩR5​ = 5 Ω+−V1​9 VR2​4 ΩAR4​6 ΩBR6​12 Ω

求电源 V1 看到的等效电阻 Req。

V1 = 9 VR1 = 8 ΩR2 = 4 ΩR3 = 15 ΩR4 = 6 ΩR5 = 5 ΩR6 = 12 Ω
Req = Ω
9.DC-DC 变换器中等
tiL​Imax​Imin​ΔI = ?DTT2T

某理想 升压 变换器在 500 kHz、L = 150 µH 下把 48 V 变成 64 V。求电感纹波电流的峰峰值 ΔIL。

Vin​ = 48 VVo​ = 64 Vf = 500 kHzL = 150 µH
ΔIL = A
10.DC-DC 变换器困难
+−24 VSLC = 100 µFR = 10 Ω−+−8 V

某理想 升降压 变换器在 25 kHz 下把 24 V 变成 −8 V，负载为 10 Ω。输出电容为 100 µF。求输出电压纹波的峰峰值 ΔVo，单位为 mV。

Vin​ = 24 VVo​ = −8 Vf = 25 kHzC = 100 µFR = 10 Ω
ΔVo = mV
11.惠斯通电桥与应变片中等
+−10 V220 Ω220 Ω220 Ω220 Ωab+−

一个 220 Ω 的应变片是电桥的一个臂（R₂），电桥四个臂均为 220 Ω，激励电压为 10 V。求应变片上消耗的功率 Pg，单位为 mW。自热限制了激励电压。

Vs = 10 VR = 220 Ω
Pg = mW
12.惠斯通电桥与应变片困难
+−5 V1000 Ω − ΔR1000 Ω + ΔR1000 Ω + ΔR1000 Ω − ΔRab+−Vo​ = ?

某称重传感器（应变片全桥）在额定载荷 500 kg 时的额定输出为 2 mV/V。激励电压为 5 V。求它在 400 kg 载荷下的输出 Vo。

2 mV/VFrated = 500 kgVs = 5 VF = 400 kg
Vo = mV
13.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器中等
ABCD000111100001111000010302040507161120131150141809111010

用卡诺图求 F(A, B, C, D) = Σm(6, 8, 11, 12, 15) 的最简积之和 (SOP) 形式。它有多少个乘积项 N？

F(A, B, C, D) = Σm(6, 8, 11, 12, 15)
N =
14.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器困难
DQ0​Q0​DQ1​Q1​DQ2​Q2​DQ3​Q3​DQ4​Q4​DQ5​Q5​CLKJOHNSON

一个约翰逊（扭环）计数器由 6 个 D 触发器构成，最后一个输出取反后反馈到第一个输入，并从全 0 开始。它经历多少种不同的状态 N？

n = 6
N =

3溶液

1.二极管与晶体管

答案: IZ = 10.23 mA

齐纳稳压器：反向偏置的齐纳二极管在电流保持高于最小值 IZ,min 时维持其电压 VZ。串联电阻 R 承担输入与输出之间的差值：IR = (Vin − VZ)/R。该电流分给负载 IL = VZ/RL 和齐纳管 IZ = IR − IL。按最坏情况设计：最低输入与最大负载时仍须留有 IZ,min，而最高输入与空载时齐纳管功率最大，PZ = VZ·IZ。

电阻电流

IR = 2.9/150 = 19.33 mA

负载电流

IL = 9.1/1000 = 9.1 mA

齐纳电流

IZ = 19.33 − 9.1 = 10.23 mA

答案

IZ = 10.23 mA
2.二极管与晶体管

答案: RB = 17.13 kΩ

BJT 用作开关：要使负载完全导通，晶体管须驱动到饱和，此时 VCE = VCE(sat)，集电极电流由负载决定：IC(sat) = (VCC − VCE(sat))/RC。饱和至少需要 IB = IC(sat)/β。若基极电流更小，晶体管仍处于放大区，IC = β·IB。

饱和时的集电极电流

IC(sat) = (12 − 0.2)/470 = 25.11 mA

最小基极电流

IB(min) = IC(sat)/β = 25.11/100 = 251.1 µA

基极电阻

RB = (5 − 0.7)/IB = 4.3 V/0.2511 mA = 17.13 kΩ

答案

RB = 17.13 kΩ

任何更小的基极电阻也能使晶体管饱和；实际中通常选小几倍的电阻。

3.运放电路

答案: Vout = −7.739 V

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

+ 输入端的电压

V₊ = Vin·Rb/(Ra + Rb) = −2·47/(22 + 47) = −1.362 V

同相增益

V₋ = V₊，流过 R₁ 的电流也流过 Rf。

Vout = V₊·(1 + Rf/R1) = −1.362·(1 + 22/4.7) = −7.739 V

答案

Vout = −7.739 V
4.运放电路

答案: If = 1.45 mA

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

输入电流

V₋ = 0，所以每个输入电阻两端就是其全部输入电压。

I1 = V1/R1 = 1.5/1 = 1.5 mA
I2 = V2/R2 = −0.1/2 = −0.05 mA
If = I1 + I2 = 1.45 mA

答案

If = 1.45 mA
5.RC 和 RL 暂态

答案: i = 0.3231 A

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 33 mH / 47 Ω = 0.7021 ms
i(∞) = Vs/R = 20/47 = 0.4255 A

给定时刻的电流

i(t) = i(∞)·(1 − e−t/τ) = 0.4255·(1 − e−1/0.7021) = 0.3231 A

答案

i = 0.3231 A
6.RC 和 RL 暂态

答案: R = 9.24 kΩ

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

所需的时间常数

4.5 = 5·(1 − e−100/τ) → τ = 100/ln(5/(5 − 4.5))
τ = 100/2.303 = 43.43 ms

电阻

kΩ 乘以 µF 得到毫秒。

R = τ/C = 43.43/4.7 = 9.24 kΩ

答案

R = 9.24 kΩ
7.串并联电阻

答案: IR1 = 5.306 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

R1​ = 3 ΩR3​ = 3 Ω+−V1​30 VR2​3 ΩAR4​20 ΩB

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R3 + R4 = 3 + 20 = 23 Ω
R2 ∥ 23 = 3·23/(3+23) = 2.654 Ω
Req = R1 + 2.654 = 3 + 2.654 = 5.654 Ω

电源电流

电源只看到 Req，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

IR1 = V1/Req = 30/5.654 = 5.306 A

答案

IR1 = 5.306 A
8.串并联电阻

答案: Req = 11.32 Ω

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

R1​ = 8 ΩR3​ = 15 ΩR5​ = 5 Ω+−V1​9 VR2​4 ΩAR4​6 ΩBR6​12 Ω

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R5 + R6 = 5 + 12 = 17 Ω
R4 ∥ 17 = 4.435 Ω
R3 + 4.435 = 19.43 Ω
R2 ∥ 19.43 = 3.317 Ω
Req = R1 + 3.317 = 8 + 3.317 = 11.32 Ω

答案

Req = 11.32 Ω
9.DC-DC 变换器

答案: ΔIL = 0.16 A

DC-DC 变换器：开关 S 在每个周期 T = 1/f 中有 D 的比例处于导通。稳态时电感的平均电压为零（伏秒平衡），由此得到连续导通模式下的理想变换比：降压（buck）Vo = D·Vin，升压（boost）Vo = Vin/(1 − D)，反相升降压（buck-boost）|Vo| = Vin·D/(1 − D)。理想变换器功率守恒：Vin·Iin = Vo·Io。开关导通期间，电感电流上升 ΔIL = VL·D·T/L，其中降压变换器的 VL = Vin − Vo，升压和升降压变换器为 Vin。输出纹波对降压变换器为 ΔVo = ΔIL/(8fC)，对升压和升降压变换器为 Io·D/(fC)。当平均电感电流等于 ΔIL/2 时，电感电流刚好触及零（连续导通模式的边界）。

占空比

D = 1 − 48/64 = 0.25

导通期间的电感电压

S 导通时，电感直接跨接在 Vin 两端。

VL = 48 V

纹波电流

ΔIL = VL·D/(L·f) = 48·0.25/(150·10⁻⁶·500·10³) = 0.16 A

答案

ΔIL = 0.16 A
10.DC-DC 变换器

答案: ΔVo = 80 mV

DC-DC 变换器：开关 S 在每个周期 T = 1/f 中有 D 的比例处于导通。稳态时电感的平均电压为零（伏秒平衡），由此得到连续导通模式下的理想变换比：降压（buck）Vo = D·Vin，升压（boost）Vo = Vin/(1 − D)，反相升降压（buck-boost）|Vo| = Vin·D/(1 − D)。理想变换器功率守恒：Vin·Iin = Vo·Io。开关导通期间，电感电流上升 ΔIL = VL·D·T/L，其中降压变换器的 VL = Vin − Vo，升压和升降压变换器为 Vin。输出纹波对降压变换器为 ΔVo = ΔIL/(8fC)，对升压和升降压变换器为 Io·D/(fC)。当平均电感电流等于 ΔIL/2 时，电感电流刚好触及零（连续导通模式的边界）。

占空比

D = 8/(24 + 8) = 0.25

负载电流

Io = 8/10 = 0.8 A

输出纹波

ΔVo = 0.8·0.25/(25·10³·100·10⁻⁶) = 80 mV

答案

ΔVo = 80 mV
11.惠斯通电桥与应变片

答案: Pg = 113.6 mW

惠斯通电桥：两个分压器共用一个电源 Vs。左侧分压器 R1–R2 给出 Va = Vs·R2/(R1 + R2)，右侧分压器 R3–R4 给出 Vb = Vs·R4/(R3 + R4)；输出为 Vab = Va − Vb。当 R1/R2 = R3/R4，即 R1·R4 = R2·R3 时，电桥平衡（Vab = 0，检流计中没有电流）。从输出端看，电桥是一个戴维南电源，其 Rth = R1∥R2 + R3∥R4。

应变片两端的电压

V = 10/2 = 5 V

功率

Pg = 5²/220 = 113.6 mW

答案

Pg = 113.6 mW
12.惠斯通电桥与应变片

答案: Vo = 8 mV

应变片：应变片的电阻随应变变化：ΔR/R = GF·ε，其中金属箔的灵敏系数 GF 约为 2。在各臂都等于 R 的电桥中，一个工作应变片（1/4 桥）给出 Vo ≈ Vs·GF·ε/4。相邻臂上两个应变相反的工作应变片（半桥）给出 Vs·GF·ε/2，四个（全桥）给出 Vs·GF·ε。应力由胡克定律得出，σ = E·ε。称重传感器的灵敏度以 mV/V 表示：每伏激励电压在满载时的输出。

满量程输出

2·5 = 10 mV

该载荷下的输出

Vo = 10·400/500 = 8 mV

答案

Vo = 8 mV
13.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: N = 3

卡诺图：各格按格雷码（00, 01, 11, 10）排列，所以相邻的格子（包括跨越边界的格子）恰好只有一个变量不同。把 1 圈成由 1、2、4、8 或 16 个格子组成的矩形，圈尽可能大、尽可能少，直到每个 1 都被覆盖。每个圈对应一个乘积项：圈内保持不变的变量。由 2ᵏ 个格子组成的圈会消去 k 个变量。无关项 (X) 可用来使圈变大，但不必被覆盖。改为圈 0 则得到最简 POS 形式。

ABCD000111100001111000010302040507161120131150141809111010

圈 1

每个圈都是由 2ᵏ 个格子组成的矩形；边上的格子与对边上的格子相邻。

AC′D′
ACD
A′BCD′

最简 SOP 形式

F = AC′D′ + ACD + A′BCD′
N = 3

答案

N = 3
14.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: N = 12

触发器与计数器：触发器只在时钟的有效边沿改变。D 复制其输入 (Q⁺ = D)；T 在 T = 1 时翻转；JK 在 00 时保持，01 时复位，10 时置位，11 时翻转。n 位二进制计数器有 2ⁿ 个状态，按模 2ⁿ 计数；模 N 计数器依次计 0, 1, …, N − 1 然后回到 0，需要满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n 个触发器。行波计数器的每一级使频率减半，所以模 N 计数器的最后一级输出频率为 fclk/N。n 个触发器的约翰逊计数器有 2n 个状态，环形计数器有 n 个。

6 个触发器的序列

000000 → 100000 → 110000 → 111000 → 111100 → 111110 → 111111 → 011111 → 001111 → 000111 → 000011 → 000001

状态数

N = 12

答案

N = 12

ExamProblems · examproblems.com/courses/electronics-1