电子技术基础 1：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

二极管与晶体管

二极管（恒压降模型）: V_D = 0.7 V when conducting
放大区: V_BE = 0.7 V, I_C = β·I_B, I_E = (β + 1)·I_B
固定偏置: I_B = (V_CC − 0.7)/R_B
分压偏置: I_B = (V_TH − 0.7)/(R_TH + (β + 1)R_E)
分压器的戴维南等效: V_TH = V_CC·R₂/(R₁ + R₂), R_TH = R₁∥R₂
集电极回路: V_CE = V_CC − I_CR_C − I_ER_E
饱和: I_C(sat) = (V_CC − V_CE(sat))/R_C, I_B ≥ I_C(sat)/β

运放电路

反相放大器: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
同相放大器: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
加法放大器: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
理想运放: V₊ = V₋, I_in = 0

RC 和 RL 暂态

时间常数: τ = RC | τ = L/R
响应: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流下的电容: 开路；v_C 不能突变
直流下的电感: 短路；i_L 不能突变
稳态: t ≈ 5τ

方法

求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ。

串并联电阻

电阻串联: R_eq = R₁ + R₂ + …
电阻并联: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
两个电阻并联: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
欧姆定律: V = I·R
功率: P = V·I = I²R = V²/R

方法

从离端子最远的网络末端开始。
串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
每一步之后重新画电路。
重复直到端子之间只剩一个电阻。

DC-DC 变换器

降压: V_o = D·V_in
升压: V_o = V_in/(1 − D)
反相升降压: |V_o| = V_in·D/(1 − D)
理想功率平衡: V_inI_in = V_oI_o
电感纹波: ΔI_L = V_L,on·D/(L·f); buck V_in − V_o, boost and buck-boost V_in
电感平均电流: 降压 I_o；升压和升降压 I_o/(1 − D)
输出纹波: 降压 ΔI_L/(8fC)；升压和升降压 I_o·D/(fC)
CCM 边界: 降压 (1 − D)R/(2f)；升压 D(1 − D)²R/(2f)；升降压 (1 − D)²R/(2f)

方法

判断变换器的类型（降压、升压或升降压），并由电压比求出占空比 D。
对电感用伏秒平衡：电感电压在一个周期内的平均值为零。
求开关导通时的电感电压，再求 ΔI_L = V_L·D/(L·f)。
求输出纹波时，找出流入和流出电容的电荷；求 CCM 边界时，令电感平均电流等于 ΔI_L/2。

惠斯通电桥与应变片

分压器电压: V_a = V_sR₂/(R₁ + R₂), V_b = V_sR₄/(R₃ + R₄)
出量: V_ab = V_a − V_b
平衡: R₁/R₂ = R₃/R₄
滑线电桥: R/R_x = l/(100 − l)
戴维南电阻: R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄
灵敏系数: ΔR/R = GF·ε
电桥输出: 1/4 桥 V_s·GF·ε/4，半桥 V_s·GF·ε/2，全桥 V_s·GF·ε
小变化，一个臂: V_ab ≈ V_s·ΔR/(4R)
应力: σ = E·ε

方法

把电桥看作接在同一电源上的两个分压器。
要使电桥平衡，令 R₁/R₂ = R₃/R₄，并解出未知电阻。
对不平衡电桥，由分压器求出 V_a 和 V_b 再相减；当仪表对输出端有负载时，用戴维南等效电路。
对应变片，把应变换算成 ΔR/R = GF·ε，再用 V_s·GF·ε/4、/2 或 ×1 分别对应 1/4 桥、半桥或全桥。

数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

基本逻辑门: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
布尔规则: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
德摩根律: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
卡诺图的顺序: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
由 2ᵏ 个格子组成的圈: 消去 k 个变量
4 选 1 多路选择器: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
触发器: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
计数器: n 位：2ⁿ 个状态；模 N：满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n； f_out = f_clk/N
行波计数器: f_max = 1/(n·t_pd)
环形计数器与约翰逊计数器: n 个和 2n 个状态

方法

对于电路，从输入到输出一个门一个门地分析，并在每根线上写出值；或者写出它的表达式并填写真值表。
化简时，把 1（以及标为 X 的无关项）填入行列按格雷码 00, 01, 11, 10 排列的卡诺图。
用尽可能少而大的圈（由 1、2、4、8 或 16 个格子组成）覆盖所有 1，可以绕过边界；每个圈对应一个乘积项，由保持不变的变量构成。求 POS 形式时圈 0。
对于触发器和计数器，在每个有效时钟边沿读取输入，写出每个边沿之后的状态，并记住 n 位计数器在 2ⁿ 个状态之后回绕。

2练习题

1.二极管与晶体管中等

一只 β = 120 的 NPN 晶体管由 V_CC = 18 V 分压偏置：R₁ = 33 kΩ 接在 V_CC 与基极之间，R₂ = 12 kΩ 接在基极与地之间。集电极电阻为 R_C = 3.3 kΩ，发射极电阻为 R_E = 1 kΩ。取 V_BE = 0.7 V，并使用分压器的戴维南等效电路（不忽略基极电流）。求集电极–发射极电压 V_CE。

V_CC = 18 VR₁ = 33 kΩR₂ = 12 kΩR_C = 3.3 kΩR_E = 1 kΩβ = 120

V_CE = V

2.二极管与晶体管困难

一个二极管被建模为 0.7 V 与 20 Ω 串联（高于 0.7 V 时导通）。它与一个 470 Ω 的电阻串联，接在 3 V 电源两端。求二极管线与负载线相交处的工作电流 I_D。

V_s = 3 VR = 470 ΩV₀ = 0.7 Vr_d = 20 Ω

I_D = mA

3.运放电路中等

运放为理想运放，采用 ±15 V 电源。求输出电压 V_out。

V_in = 1.5 VR_a = 22 kΩR_b = 100 kΩR₁ = 4.7 kΩR_f = 10 kΩ

V_out = V

4.运放电路困难

积分器使用采用 ±15 V 电源的理想运放；其输出饱和电压为 ±13 V。在 t = 0 施加恒定输入 V_in = −0.8 V 时，电容未充电。求 t = 5 ms 时的输出电压 V_out。

V_in = −0.8 VR = 2.2 kΩC = 2.2 µFV_sat = ±13 Vt = 5 ms

V_out = V

5.RC 和 RL 暂态中等

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。求 t = 1 ms 时电感两端的电压 v_L。

V_s = 5 VR = 68 ΩL = 10 mHt = 1 ms

v_L = V

6.RC 和 RL 暂态困难

一个定时器在 t = 0 时开始用 5 V 电源通过一个电阻给未充电的电容充电。当电容电压达到 3.75 V 时它必须触发，恰好在开始后 20 ms。已知 C = 2.2 µF，求所需的电阻 R。

V_s = 5 VV_th = 3.75 VT = 20 msC = 2.2 µF

R = kΩ

7.串并联电阻中等

求电源输出并流过 R₁ 的电流 I_R1。

V₁ = 30 VR₁ = 15 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 3 ΩR₄ = 15 Ω

I_R1 = A

8.串并联电阻困难

求电源输出并流过 R₁ 的电流 I_R1。

V₁ = 12 VR₁ = 4 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 2 ΩR₄ = 15 ΩR₅ = 10 ΩR₆ = 6 Ω

I_R1 = A

9.DC-DC 变换器中等

某降压变换器把 48 V 变成 19.2 V，负载为 8 Ω。开关频率为 250 kHz，L = 22 µH。求电感电流峰值 I_max。

Vin = 48 VVo = 19.2 Vf = 250 kHzL = 22 µHR = 8 Ω

I_max = A

10.DC-DC 变换器困难

某理想反相升降压变换器在 500 kHz 下把 24 V 变成 −36 V，负载为 20 Ω。求连续导通所需的最小电感 L_crit。

Vin = 24 VVo = −36 Vf = 500 kHzR = 20 Ω

L_crit = µH

11.惠斯通电桥与应变片中等

一个 100 Ω 的应变片是电桥的一个臂（R₂），电桥四个臂均为 100 Ω，激励电压为 2 V。求应变片上消耗的功率 P_g，单位为 mW。自热限制了激励电压。

V_s = 2 VR = 100 Ω

P_g = mW

12.惠斯通电桥与应变片困难

某称重传感器（应变片全桥）在额定载荷 500 kg 时的额定输出为 1.5 mV/V。激励电压为 5 V。求它在 400 kg 载荷下的输出 V_o。

1.5 mV/VF_rated = 500 kgV_s = 5 VF = 400 kg

V_o = mV

13.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器中等

一个 4 选 1 多路选择器的选择输入为 S₁ = A 和 S₀ = B，数据输入分别接 I₀ = 0，I₁ = C′，I₂ = 0，I₃ = 0。在 A、B、C 的 8 种组合中，有多少种使输出 F = 1？求 N。

I₀ = 0I₁ = C′I₂ = 0I₃ = 0

N =

14.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器困难

对于 F(A, B, C, D) = Σm(1, 2, 5, 7, 9, 10, 12, 14) + d(4, 15)（其中 d 表示无关项），求必要质蕴涵项的个数 N。

F(A, B, C, D) = Σm(1, 2, 5, 7, 9, 10, 12, 14) + d(4, 15)

N =

3溶液

1.二极管与晶体管

答案: V_CE = 1.669 V

BJT 静态工作点：在放大区，V_BE = 0.7 V，I_C = β·I_B，I_E = (β + 1)·I_B。用 KVL 由基极回路求 I_B，再求 I_C，然后由集电极–发射极回路求 V_CE。基极的分压器用其戴维南等效电路代替：V_TH = V_CC·R₂/(R₁ + R₂)，R_TH = R₁∥R₂；发射极电阻在基极回路中相当于放大了 (β + 1) 倍。

分压器的戴维南等效

V_TH = 18·12/(33 + 12) = 4.8 V

R_TH = 33·12/(33 + 12) = 8.8 kΩ

基极电流

沿基极回路列 KVL；发射极电流为 (β + 1)·I_B。

I_B = (4.8 − 0.7)/(8.8 + 121·1) = 31.59 µA

集电极电流

I_C = 120·31.59 µA = 3.79 mA

I_E = 121·31.59 µA = 3.822 mA

集电极–发射极电压

V_CE = 18 − 3.79·3.3 − 3.822·1 = 1.669 V

答案

V_CE = 1.669 V

2.二极管与晶体管

答案: I_D = 4.694 mA

LED 与二极管电路：正向偏置的 LED 无论电流多大，压降都约为其正向电压 V_F（红光约 2 V，蓝光或白光约 3 V）。串联电阻决定电流：n 个 LED 串联时 R = (V_s − n·V_F)/I。用更精确的二极管模型 V = V₀ + I·r_d 时，工作点在二极管线与负载线 I = (V_s − V)/R 相交处，所以 I = (V_s − V₀)/(R + r_d)。

联立两个方程

3 = 0.7 + I·(470 + 20)

工作电流

I_D = 2.3/490 = 4.694 mA

V_D = 0.7 + 0.004694·20 = 0.7939 V

答案

I_D = 4.694 mA

3.运放电路

答案: V_out = 3.845 V

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

+ 输入端的电压

V₊ = V_in·R_b/(R_a + R_b) = 1.5·100/(22 + 100) = 1.23 V

同相增益

V₋ = V₊，流过 R₁ 的电流也流过 R_f。

V_out = V₊·(1 + R_f/R₁) = 1.23·(1 + 10/4.7) = 3.845 V

答案

V_out = 3.845 V

4.运放电路

答案: V_out = 0.8264 V

输入电流和斜坡速率

kΩ 乘以 µF 得到毫秒。

RC = 2.2 kΩ · 2.2 µF = 4.84 ms

斜坡速率 = −V_in/(RC) = −(−0.8)/4.84 = 0.1653 V/ms

给定时刻的输出

理想值在 ±V_sat 以内，所以积分器尚未限幅。

V_out = −V_in·t/(RC) = −(−0.8)·5/4.84 = 0.8264 V

答案

V_out = 0.8264 V

5.RC 和 RL 暂态

答案: v_L = 0.005569 V

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 10 mH / 68 Ω = 0.1471 ms

i(∞) = V_s/R = 5/68 = 0.07353 A

电感电压

t = 0 时全部电源电压加在电感上；之后衰减到零。

v_L(t) = V_s·e^−t/τ = 5·e^−1/0.1471 = 0.005569 V

答案

v_L = 0.005569 V

6.RC 和 RL 暂态

答案: R = 6.558 kΩ

所需的时间常数

3.75 = 5·(1 − e^−20/τ) → τ = 20/ln(5/(5 − 3.75))

τ = 20/1.386 = 14.43 ms

电阻

kΩ 乘以 µF 得到毫秒。

R = τ/C = 14.43/2.2 = 6.558 kΩ

答案

R = 6.558 kΩ

7.串并联电阻

答案: I_R1 = 1.707 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₃ + R₄ = 3 + 15 = 18 Ω

R₂ ∥ 18 = 3·18/(3+18) = 2.571 Ω

R_eq = R₁ + 2.571 = 15 + 2.571 = 17.57 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 30/17.57 = 1.707 A

答案

I_R1 = 1.707 A

8.串并联电阻

答案: I_R1 = 1.556 A

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₅ + R₆ = 10 + 6 = 16 Ω

R₄ ∥ 16 = 7.742 Ω

R₃ + 7.742 = 9.742 Ω

R₂ ∥ 9.742 = 3.713 Ω

R_eq = R₁ + 3.713 = 4 + 3.713 = 7.713 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 12/7.713 = 1.556 A

答案

I_R1 = 1.556 A

9.DC-DC 变换器

答案: I_max = 3.447 A

DC-DC 变换器：开关 S 在每个周期 T = 1/f 中有 D 的比例处于导通。稳态时电感的平均电压为零（伏秒平衡），由此得到连续导通模式下的理想变换比：降压（buck）V_o = D·V_in，升压（boost）V_o = V_in/(1 − D)，反相升降压（buck-boost）|V_o| = V_in·D/(1 − D)。理想变换器功率守恒：V_in·I_in = V_o·I_o。开关导通期间，电感电流上升 ΔI_L = V_L·D·T/L，其中降压变换器的 V_L = V_in − V_o，升压和升降压变换器为 V_in。输出纹波对降压变换器为 ΔV_o = ΔI_L/(8fC)，对升压和升降压变换器为 I_o·D/(fC)。当平均电感电流等于 ΔI_L/2 时，电感电流刚好触及零（连续导通模式的边界）。

占空比

D = 19.2/48 = 0.4

平均电流和纹波电流

I_o = 19.2/8 = 2.4 A

ΔI_L = V_L·D/(L·f) = 28.8·0.4/(22·10⁻⁶·250·10³) = 2.095 A

峰值电流

I_max = 2.4 + 2.095/2 = 3.447 A

答案

I_max = 3.447 A

10.DC-DC 变换器

答案: L_crit = 3.2 µH

占空比

D = 36/(24 + 36) = 0.6

边界条件

令电感平均电流等于纹波电流的一半，解出 L。

L_crit = (1 − D)²·R/(2f)

临界电感

L_crit = (1 − 0.6)²·20/(2500·10³) = 3.2 µH

答案

L_crit = 3.2 µH

11.惠斯通电桥与应变片

答案: P_g = 10 mW

惠斯通电桥：两个分压器共用一个电源 V_s。左侧分压器 R₁–R₂ 给出 V_a = V_s·R₂/(R₁ + R₂)，右侧分压器 R₃–R₄ 给出 V_b = V_s·R₄/(R₃ + R₄)；输出为 V_ab = V_a − V_b。当 R₁/R₂ = R₃/R₄，即 R₁·R₄ = R₂·R₃ 时，电桥平衡（V_ab = 0，检流计中没有电流）。从输出端看，电桥是一个戴维南电源，其 R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄。

应变片两端的电压

V = 2/2 = 1 V

功率

P_g = 1²/100 = 10 mW

答案

P_g = 10 mW

12.惠斯通电桥与应变片

答案: V_o = 6 mV

应变片：应变片的电阻随应变变化：ΔR/R = GF·ε，其中金属箔的灵敏系数 GF 约为 2。在各臂都等于 R 的电桥中，一个工作应变片（1/4 桥）给出 V_o ≈ V_s·GF·ε/4。相邻臂上两个应变相反的工作应变片（半桥）给出 V_s·GF·ε/2，四个（全桥）给出 V_s·GF·ε。应力由胡克定律得出，σ = E·ε。称重传感器的灵敏度以 mV/V 表示：每伏激励电压在满载时的输出。

满量程输出

1.5·5 = 7.5 mV

该载荷下的输出

V_o = 7.5·400/500 = 6 mV

答案

V_o = 6 mV

13.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: N = 1

多路选择器：2ⁿ 选 1 多路选择器把其数据输入之一传到输出；选择线按二进制数读取，决定选哪一个。对于选择端 S₁S₀ = AB 的 4 选 1 MUX，F = A′B′·I₀ + A′B·I₁ + AB′·I₂ + AB·I₃。把数据输入接到 0、1、C 或 C′，可使 MUX 产生 A、B、C 的任意函数，这是用一块芯片实现逻辑的常用方法。

输出表达式

F = A′BC′

F = 1 的行

ABC = 010

N = 1

答案

N = 1

14.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: N = 2

卡诺图：各格按格雷码（00, 01, 11, 10）排列，所以相邻的格子（包括跨越边界的格子）恰好只有一个变量不同。把 1 圈成由 1、2、4、8 或 16 个格子组成的矩形，圈尽可能大、尽可能少，直到每个 1 都被覆盖。每个圈对应一个乘积项：圈内保持不变的变量。由 2ᵏ 个格子组成的圈会消去 k 个变量。无关项 (X) 可用来使圈变大，但不必被覆盖。改为圈 0 则得到最简 POS 形式。

质蕴涵项

由 1 和 X 能够构成的最大的圈。

B′C′D, B′CD′, BC′D′, BCD, A′C′D, ACD′, A′BD, ABD′, A′BC′, ABC

必要质蕴涵项

B′C′D, B′CD′

N = 2

答案

N = 2

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